2018版高中数学 第二章 统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征学案 新人教B版必修3

1、2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征1.会求样本的平均数、标准差、方差.(重点)2.理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法.(重点)3.会应用相关知识解决实际统计问题.(难点)基础初探教材整理1样本的平均数阅读教材P65P66，完成下列问题.1.定义：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数.2.特点：平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平.用样本的平均数估计总体的平均数时，样本平均数只是总体平均数的近似.3.作用：n个样本数据x1，x2，xn的平均数，则有nx1x2xn，也就是把每个xi(i1,2，n)都用代替后，数据总和保持不变.所以平均数对数据有“取齐

2、”的作用，代表了一组数据的数值平均水平.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值约为()A.4.55B.4.5C.12.5 D.1.64【解析】4.55.【答案】A教材整理2样本的方差和标准差阅读教材P66“最后一段”至P68，完成下列问题.1.数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述.样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.一般地，设样本的元素为x1，x2，xn，样本的平均数为，定义s2.s2表示样本方差.2.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差的算术平方根s.s表示样本标准差.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,

3、7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为_；(2)命中环数的标准差为_.【解析】(1)7.(2)s2(77)2(87)2(77)2(97)2(57)2(47)2(97)2(107)2(77)2(47)24，s2.【答案】(1)7(2)2小组合作型平均数的求法甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图2220所示，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为_和_.甲乙98117932100212445113002图2220【精彩点拨】由茎叶图分别提取出甲、乙10天中每天加工零件的个数，然后求平均数

4、.【尝试解答】甲每天加工零件的个数分别为：18,19,20,20,21,22, 23,31,31,35，所求平均数为甲(18192020212223313135)24.乙每天加工零件的个数分别为：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，所求平均数为：乙(11171921222424303032)23.【答案】2423茎叶图与平均数相结合的问题，关键是识别茎叶图的意义.在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用平均数计算公式；当数据较大，且大部分数据在某一常数a左右波动时，可建立一组新的数据(各个数据减去a)，再利用平均数简化公式计算，应用此法可减少运算量.再练一题1.某中学

5、号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)，该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图2221所示.求合唱团学生参加活动的人均次数.图2221【解】由图可知，该合唱团学生参加的人均次数为2.3.方差和标准差甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为： 甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定.【精彩点拨】【尝试解答】(1)甲9910098100100103100，乙9910010299100100100，s(9

6、9100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)由(1)知甲乙，比较它们的方差，ss，故乙机床加工零件的质量更稳定.1.在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定.2.关于统计的有关性质及规律：(1)若x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mxna的平均数是ma；(2)数据x1，x2，xn与数据x1a

7、，x2a，xna的方差相等；(3)若x1，x2，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，axn的方差为a2s2.再练一题2.某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：甲127138130137135131乙133129138134128136求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛.【解】设甲、乙两人成绩的平均数分别为甲，乙，则甲130(380751)133，乙130(318426)133，s(6)252(3)24222(2)2，s02(4)25212(5

8、)232.因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适.频率分布直方图与数字特征的综合应用已知一组数据：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：分组频数累计频数频率120.5,122.5)122.5,124.5)124.5,126.5)126.5,128.5)128.5,130.5合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 【精彩点拨】将数据分组后依次填写分布表.然后画出直方图，

9、最后根据数字特征在直方图中的求法求解.【尝试解答】(1)分组频数累计频数频率120.5,122.5)20.1122.5,124.5)30.15124.5,126.5)80.4126.5,128.5)40.2128.5,130.530.15合计201(2)(3)在124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.52125.75，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：121.50.1123.50.15125.50.4127.50.2129.50.15125.8，事实上平均数的精确值为

10、125.75.1.利用频率分布直方图求数字特征：(1)众数是最高的矩形的底边的中点；(2)中位数左右两侧直方图的面积相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.2.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.再练一题3.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图2222所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：图2222(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平

11、均成绩.【解】(1)由题图可知众数为65，又第一个小矩形的面积为0.3，设中位数为60x，则0.3x0.040.5，得x5，中位数为60565.(2)依题意，平均成绩为：550.3650.4750.15850.1950.0567，平均成绩约为67.探究共研型平均数、中位数、众数的特征探究1一组数据的平均数、中位数、众数唯一吗？【提示】一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有.如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数.探究2如何从样本的数字特征中了解数据中是否存在极端数据？【提示】中位数不受几个极端数

12、据的影响，而平均数受每个数据的影响，“越离群”的数据，对平均数的影响越大，因此如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以了解样本数据中极端数据的信息.探究3众数、中位数有哪些应用？【提示】(1)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，众数往往更能反映问题.(2)中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势.方差、标准差的特征探究4从数据的哪些数字特征可以得到数据的离散

13、程度？【提示】(1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差.(2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大.因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差.样本的数字特征探究5样本的数字特征具有哪些性质？【提示】(1)样本的数字特征具有随机性，这种随机性是由样本的随机性引起的.(

14、2)样本的数字特征具有规律性，在很广泛的条件下，简单随机样本的数字特征(如众数、中位数、平均数和标准差等)随样本容量的增加而稳定于总体相应的数字特征(总体的数字特征是一定的，不存在随机性).某班4个小组的人数为10,10，x,8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数.【精彩点拨】x的大小未知，可根据x的取值不同分别求中位数.【尝试解答】该组数据的平均数为(x28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x不知是多少，所以要分几种情况讨论：(1)当x8时，原数据按从小到大的顺序排列为x,8,10,10，其中位数为(108)9. 若(x28)9，则x8，此时中位数为9.(2)当8x1

15、0时，原数据按从小到大的顺序排列为8，x,10,10，其中位数为(x10).若(x28)(x10)，则x8，而8不在810时，原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10，x，其中位数为(1010)10.若(x28)10，则x12，此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9或10.当在数据中含有未知数x，求该组数据的中位数时，由于x的取值不同，所以数据由小到大(或由大到小)排列的顺序不同，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，故需分情况讨论，讨论时要做到全面合理，不重不漏.再练一题4.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级

16、参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_.【解析】设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则由题意知7，(x17)2(x27)2(x37)2(x47)2(x57)220，五个整数的平方和为20，则必为0119920，由|x7|3可得x10或x4.由|x7|1可得x8或x6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.【答案】101.样本101,98,102,100,99的标准差为()A. B.0C.1D.2【解析】样本平均数100，方差为s22，标准差s，故选A.【答案】A2.甲乙两名学生六

17、次数学测验成绩(百分制)如图2223所示.图2223甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；甲同学的平均分比乙同学高；甲同学的平均分比乙同学低；甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.上面说法正确的是()A. B. C. D.【解析】甲的中位数81，乙的中位数87.5，故错，排除B、D；甲的平均分(767280828690)81，乙的平均分(697887889296)85，故错，对，排除C，故选A.【答案】A3.甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是()甲乙丙丁7887s26.36.378.7A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】乙丙甲丁

18、，且ssss，应选择乙进入决赛.【答案】B4.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图2224，则图2224(1)这20名工人中一天生产该产品数量在55,75)的人数是_.(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为_.(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为_. 【解析】(1)(0.040100.02510)2013.(2)设中位数为x，则0.2(x55)0.040.5，x62.5.(3)0.2500.4600.25700.1800.059064.【答案】(1)13(2)62.5(3)645.甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图2225所示：图2225(1)填写下表：平均数方差中位数命中9环及以上甲71.21乙5.43(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：从平均数和方差结合分析偏离程度；从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.【解】(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以乙(24687789910)7；乙的射靶环