09级结构第一章3.ppt

1、1.3箱中粒子的schrodinger方程及其解,量子力学处理问题的一般步骤： 根据已知条件写出体系V(r),写出哈密顿算符 写出薛定谔方程 求解方程，求出满足边界条件的解，得到体系的波函数和相应的能量 对结果进行讨论分析，作出适当的结论,x,X=0,X=l,I,II,III,V(x)=0,区和区,势函数V(x)为,1.求解,V(x),V(x),区,势函数V(x)=0,其Schrdinger方程为,辅助方程,波函数在x=0处连续,A=0,波函数在x=l处连续,解,0,(1) 波函数,2.讨论,这里的n是待定的，,，因而导致,2，当然取-1，-2亦可，但乘-1与不乘描述的是同一状态，只是相位不同

2、。,，n可取1，,与,的图象（为直观地了解）,n=1,n=2,n=3,根据上式有下图：, 图形说明的问题,A)一维势箱中粒子的运动状态原则上有无数多种，因n=1，2 无限取值。,B)粒子的运动具有波动性（有“+”“-”）。除,和,外，,出现，那如何过去的呢？这正是微观粒子运动的特点，举例异功能一例，随着n，节点，E。,之点为节点，此意味着电子不能在此处,C)粒子的运动具有几率分布规律（,图可看出）。, 不同能量的定态波函数具有正交性,定态波函数的正交性,如果对应不同能量状态的两个波函数,和,满足下列,关系：,则称,和,两函数相互正交。,定态波函数的一个重要性质就是不同能量状态的波函数满足正交性

3、，如一维势箱的波函数即为定态波函数就满足正交关系。,表明不同能量的,具有正交性。,正交归一关系,(2)能级公式的意义：,1.受束缚的粒子其能量必须是量子化的，即边界条 件迫使能量量子化(一维势箱中的量子化是解方程 自然得到的，而非象旧量子论是人为附加的.),2.相邻两能级差：,若将一个电子束缚于l =10-8cm的势箱中，能级差为：,若将一个质量为m=1g的物体束缚于l =1cm的势箱中， 能级差为：,3.En0. n0, 否则,n=1基态最低能量：,称为“零点能”表明运动的永恒性,4.对于给定的n：,离域效应粒子活动范围扩大，粒子能量降低的效应,如丁二烯的共轭体系能量低.,（4）没有经典的运

4、动轨道，只有几率分布；,受力场束缚的微观粒子具有的共同特性 量子效应：,(5）波函数可为正值、负值和零值， 为零值的节点越多，能量越高。,（1）粒子可存在多种运动状态；,（2）能量量子化；,（3）存在零点能；,随着粒子质量m的增大，箱子的长度l 增大，量子效应减弱。,当m、l 增大到宏观的数量级时，量子效应消失，体系变为 宏观体系，其运动规律又可用经典力学描述。,结论：,箱中粒子的各种物理量,只要知道了，体系中各力学量便可用各自的算符作用于而得到： （1）粒子在箱中的平均位置,粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右两个半边出现的几率各为0.5，即 图形对势箱中心点是对称的。,（2）粒子

5、动量的x轴分量px,（3）粒子的动量平方px2值,一维试箱模型应用示例,丁二烯的离域效应： E定=22h28ml2=4E1 E离=2h2/8m(3l)2+222h2/8m(3l)2 =(10/9)E1 势箱长度的增加，使分子能量降低，更稳定。,花菁燃料的吸收光谱 R2N(CHCH)r CHN+R2,势箱总长L248r+565pm，共有2r22个电子，基态时需占r+2个分子轨道，当电子由第（r+2）个轨道跃迁到第（r+3）个轨道时，需吸收光的频率为=E/h=(h/8mL2)(r+3)2-(r+2)2=(h/8mL2)(2r+5), 由=c/，=8mL2c/(2r+5)h,r 计算 实验 311.

6、6 309.0 412.8 409.0 514.0 511.0,说明此体系可近似看做一维势箱。,x,y,z,a,b,c,一粒子在边长为a,b,c的势箱中运动，取箱的一角为坐标原点，数个箱放在第一象限类内，其势函数满足：,箱外= 0,3.三维无限深势阱中的粒子,(3.5.1),(3.5.2),(3.5.3),(3.5.4),(3.5.6),零点能:,基态：,如a=b=c，则为立方势箱，有,(3.5.7),较低能级的一些态,量子数不同的态可以有相同的能量，例如211，121，112为三个不同的态，对应有三个不同的波函数，但他们有相同的能量，称之为简并。,简并性一般地与对称性有关。,一维问题中不出现

7、简并性。,在一立方势箱中，,的能级数和状态数分别是(势箱,宽度为l， 粒子质量为m)：,(A) 5，11 (B) 6，17 (C) 5，14 (D) 6，14,讨论简并性,假设有n个独立的函数1，2，3n属于简并 本征函数，本征值为，试问：由它们任意的线性 组合形成的新函数是否仍是原算符的本征函数？,定理：简并本征函数的任意线性组合仍是原算符 的具有同样本征值的本征函数。,证明如下：,(3.6.1),对任一简并能级,通过线性组合可构成无数个波函数,其都是的本征函数，但我们感兴趣的只是线性独立的波函数,线性独立？,为线性独立函数,具有相同能量的线形独立本征函数的数目为能级简并度。,1.4 The

8、 Tunneling Effect,1.实验现象 NH3、PH3、AsH3、CH3的瓦尔登转; 低于121K时，KH2PO4为铁电体材料（自发极化作用），具有优良的非线性光学材料，是传统的，应用广泛的功能材料; 基因工程中的DNA编码，碱基配对中的氢键. 2.隧道效应 质量为m的粒子，其势函数V（x）如下,N:,H,H,H,:N,H,H,H,x,I,II,III,0,x1,x2,V0,V0E（粒子的能量）,可见,穿透系数与,、k1、及a有关,当V0,E确定后，,当V0，E，a确定后，随m的减小而增加。象这样其能量不足以翻越势垒的粒子仍可穿过该势垒的现象称为量子力学隧道效应。,当a=0.1nm（

9、原子线度）， 增大 a=1.0nm ， 很小,扫描隧道显微镜工作原理示意图,经典理论和量子理论的差别,扫描隧道显微镜,48个铁原子在铜表面排列成直径为14.2 纳米的圆形量子栅栏,用扫描隧道显微镜的针尖将原子一个个地排列成汉字，汉字的大小只有几个纳米,Structure of Sodium Chloride,Images of NaCl obtained using Scanning Tunneling Microscope,本章结束,七、练习题,1、考虑一量子数为n，在长为l 的一维势箱中运动的粒子：,1)、求在箱的左端1/4区找到粒子的几率;,2)、n为何值时此几率最大？,3)、当n时，几

10、率的极限为何？说明什么道理？,2、若把苯分子中的电子视为在边长为280pm的二维势箱中运动,1)、计算最低的三个能级值及简并度(E1、E2、E3)；,2)、将6个电子分配到最低可进入的能级轨道；,3)、计算苯中电子从E2能级跃迁到E3态所吸收的光的波长。,解 1：,2)、n=3时，几率最大，其值为：1/4+1/6=0.3031,3)、n时，几率的极限值为1/4，即:,结果说明：,玻尔对应原理：即当n时，E突破边界限制条件， 能量非量子化，量子力学还原为经典力学，即随着粒子 能量的增加，粒子在箱内的分布趋于平均化（用经典力 学处理一维箱中粒子，在左端1/4区的概率正是1/4）。,解 2：,1)、,则：,nx=ny=1 简并度：g=1,nx=1 ny=2 nx=2 ny=1,简并度：g=2,nx=