在数学教学中培养学生的创造性思维品质.

1、在数学教学中培养学生的创造性思维品质 陈艳芽 在浩瀚无际的撒哈拉大沙漠,有两位迷失方向的科学考察工作者， 由于长时间干渴难忍， 终于倒下去， 数小时后，当救护人员找到他们时，这两个人已气绝身亡。在清理遗物时，人们发现他们身上除了一些食 品和记录的资料外， 还有两支钢笔， 钢笔内有满满的两袋子墨水， 救护人员设想： 如果他们在焦渴的时候， 能想到喝钢笔的墨水，再坚持几个小时，或许有得救的希望。这个故事，是否可以给人一些启迪呢？墨水 本来是作书写记录用的，这是人们的思维定势，但在极其异常的环境中，它又何尝不能用来止渴呢？这看 似荒唐，但实际上是人在特殊情况下对思维定势的突破，是一种创造性思维。 一

2、位教育家说过： “如果留在学校里学习的结果，是使自己什么也不会创造，那么，这种教育就是一 种失败的教育。 ”数学教学的实质是数学思维活动的教学，在数学思维中最宝贵、最高层次的思维品质是 创造性思维。数学教学中所研究的创造性思维一般是指：对思维主体来说是新颖独到的思维活动，它包括 发现新事物、揭示新规律、创造新方法、建立新理论、发明新技术、研制新产品、解决新问题的思维过程。 这里所指的“新”不一定是指对于人类来说的全新的创造，而是特指对于思维主体来说是首次出现的和超 越常规的。这种思维的基本特征是“新” ，它要求避常道，走新路，标新立异，求异存“同” 。 一般地说，创造性思维具有以下特征： 1变

3、通性，也叫灵活性。指思维灵活多变，能举一反三，触类旁通，不易受已往旧经验和消极定势 的桎梏，能从不同的角度看问题，产生超常的构想。 2流畅性。指思维活动流畅而不阻滞，在较短的时间内能够流畅而快速地想出很多解决问题的方案 的能力。它反映了一个人思维敏捷的程度。只要不离开问题，在较短时间内，产生的观念和设想越多，思 维流畅性越大，反之则流畅性越小。 3独特性，也叫独创性。指从新的角度，能用新的观点认识和反映事物，对事物能提出超乎俗套的 独特见解，产生不落俗套的反应。它反映了一个人突破常规和创新的能力。 创造性思维是一种优秀的思维方式。 心理学的研究表明：人的思维能力受先天和后天两方面因素 的影响，

4、后天的影响是主要的。因此，人的创造性思维可以通过后天有意识的训练获得。笔者在近几年的 数学教学中，对“如何培养学生的创造性思维”进行了初步的探索。 一、科学归纳，合理构建知识结构，培养学生思维的广阔性，为培养学生的创造性思维奠定知识基 础与技能基础。 笔者以为，我们不能一提起培养学生的创造性思维，就抛弃了基础。人的任何一种能力的形成都不 是一蹴而就的，也不是空中楼阁。创造性思维是复杂的高级思维过程，但它不是脱离任何其它思维的另一 种特殊的思维， 它是多种思维有机结合的产物。 创造性思维能力的形成是以一般思维能力为基础的， 其中， 1 思维的广阔性是变通性、流畅性、独创性的前提和基础。 所谓思维

5、的广阔性是指思维发挥作用的广阔程度。它集中表现为思路宽广，善于全面地考察问题， 能用多方面的知识经验去寻求解决问题的方法。 它主要是指思维在面上的延展与扩散。 对于思维狭隘的人 来说，无从谈起创造性地思维。然而，思维的广阔性依赖于个人所掌握的知识、技能、经验的多少和熟练 程度，以及知识结构的合理性。狭隘的知识面会造成思维的单一性，技能薄弱、经验欠缺会使人的思维僵 化，凌乱的知识结构同样会使人的思维凌乱无序。 笔者在初三总复习阶段，曾作过这样一个调查： （1）请学生例举在练习中做过的求二次函数解析式的几种常见的考查方法，并简单写出每种考查方 法的解题思路。应当说，在初三总复习阶段，学生做过大量的

6、求二次函数解析式的试题，但在调查中我们 发现，能归纳出“一般式” 、 “顶点式” 、 “坐标式”三种方法的学生只占65%。 （2）笔者设计了这样三道题目： 题 1已知 A、M、B 在一直线上，且 MB=MA， B B O O C C B B F F E E AB 切O 于点 B，MCD、AFD、ACE 是O 的割 线（图 1） 。求证 ABEF。 题 2已知 MB 切O 于点 B， 且 MB=MA， MCD、 D D ACE、AFD 是O 的割线（图 2） 。求证 AMEF。 题 3已知 MB 切O 于点 B，且 AM=BM，MCD 是 M M A A E E O O C C M M 1 1

7、D D O 的割线，CA、DA 分别交O 于 E、F（图 3） 。求证MA EF。 F F 2 2 A A 在调查中我们发现：有 72%的学生能正确完成这三道题目.。然后，笔者又提出“请同学归纳出这三 B B 道题目的共同点” ， 遗憾的是， 竟然没有一位学生能说出个所以然。 C C M M D D O O 这是三道“形”不同“质”相同的题目，即题2、题 3 是 A A F F 由题 1 中的 MA 绕点 M 旋转不同的角度而得到的形不同而实质 E E 3 3 相同的题目，其实质是：从等线段代换相似三角形同弧 所对的圆周角相等内错角相等两直线平行。 由此我们可以发现，我们学生的比较、归纳、经验

8、积累、构建知识结构的能力较弱。因此，笔者认为， 我们在培养学生创造性思维时，首先必须夯实学生的双基，科学构建知识结构，只有做到这一点，学生的 思维才能左右逢源、举一反三、灵活变通、创造性地发现问题、分析问题和解决问题。 二、采用灵活多样的命题方式，进行开放式思维训练，突破思维的单一性，培养思维的流畅性与变通 性。 魏书生老师有一句口头禅： “对一个问题，有一百种解决的办法。 ”然而，现在的中学生由于受传统灌 2 输教学模式的制约，受考试、考查所谓“一个标准答案”的制约，长期以来，学生思维的单一性潜滋暗长， 思维形式直线一条， 似乎一定的条件只能产生一个结果， 一定的问题只有一种解决问题的模式。

9、 长期以往， 会给学生设定一种固定的、单一的思维模式。一旦出现类同问题时，往往只会用原有的思维定势来解决， 不能创造性解决问题。 传统的练习来自于教材、教师或其他资料，一般地，学生很少参与习题的编制过程；传统的习题由固 定的题设和求证结论两部分构成。这种命题方式有利于师生精选习题，节省时间，增大教学容量，但却不 利于培养学生发现问题的能力，也不利于培养学生的发散性思维能力。因此，笔者在日常课堂教学中在吸 收传统教学命题优点的同时，采用了开放性命题方式，主要有以下几种方法： 1限制题设，开放结论的命题形式。通常是提供一定的已知条件，但不点 明思维目标，要求学生根据已知条件推理尽可能多的结论。例如

10、： 已知 ： 如图 4， O 内切于四边形 ABCD， ABAD， 连结 AC、 BD， 由这些条件你能推出哪些结论？（本题可以推理出六条以上的结论） A A B B C C 4 4 D D 2限定结论，开放题设的命题形式。通常是提供一定的情景，如：生 活中的实际问题，几何图形等，点明思维目标，编制所需题设。例如： 已知：如图5，四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以 A A 组合，能否得出 ABCD 是平行四边形的结论？ ABCDBCAD AB=CDBC=AD D D B B 5 5 C C 上述条件两两结合，可知有6 种组合方式，就每一种组合进行分析归纳，可得出如下结论： 两组对边分别

11、平行（和） 两组对边分别相等（和） 一组对边平行且相等 （和） （和） 以上三种情况都可判定ABCD 为平行四边形。 一组对边平行，另一组对边相等（和） （和） 此种情况下不能判定 ABCD 为平行四边形。反例：等腰梯形。进一步，若将题中条件增加两个： =，则原题的结论又如何？ 这两种开放性命题方式能极大地激发学生学习数学的积极性，满足学生的好奇心，激活学生的思维， 充分发挥学生的联想、类比能力，有利于冲破单一、僵化的思维模式，培养思维的变通性、流畅性与深刻 性。 三、一题多变，诱发学生参与变式教学，激活思维运动，突破思维僵化模式，在思维运动过程中培 养思维的敏捷性、流畅性和变通性。 3 .思

12、维的运动性，就是根据客观条件及其变化而改变思维方向， “由此及彼”和“由表及里”的联想。 在考虑问题时，思维的运动性常表现为顺向思维、逆向思维、横向思维、纵向思维相互交错运用的形式。 一方面引导学生通过知识与知识之间、知识与方法之间、方法与方法之间进行对比、类比和联想，从旧知 识、旧方法、旧观点中找出或发现新知识、新方法、新观点，在思维的横向运动中培养思维的变通性；另 一方面，引导学生对问题引伸、推广，从偶然中寻找必然，发现并探索出新颖的、带有普遍性的规律，在 思维的纵向运动中培养思维的变通性；再则，引导学生从问题的反面去分析、探索、认识，求得对事物正 反两方面的全面观察和深刻理解，在思维的逆

13、向运动中培养思维的变通性。笔者以为，组织学生参与变式 教学，是激活学生思维，引导学生思维多向运动的最有效的方法。 初中几何教材中有这样一道例题：求证顺次连接四边形四边的中点所得的四边形是平行四边形。如 果我们诱发下列变式组织教学，将有效地培养学生思维的变通性。 变式 1：连接任意四边形对边中点的线段具有怎样的性质？ 学生：画图猜想转化化归（原问题）结论（互相平分） ，如图 6 A A E E B B H HD D G G E E B B 6 6 H H A A D D G G F F C C F F C C 变式 2：将四边形分别改为矩形、菱形、正方形、等腰梯形，结论又怎么样？ 学生：画图观察

14、演变选择方法探索规律，如图 7 A A A A E E D D H H G G C C B B F F C C 7 7 G G E EH H D D A A E E B B F F H H D D G G C C B B A A E E H H D D G G F F C C F F B B 这里教师可作如下诱发： （1）从数学美学（即简洁美、和谐美、奇异美）的角度来鉴赏图甲和图乙。 （矩形菱形，和谐美） （2）从辩证法的角度来确定图甲与图丁是偶然还是必然？（均为菱形，必然） （3）你认为决定顺次连结 其四边形中点所得的四边形形状的要素是什么？（两条对角线的关系） 变式 3：当一般四边形 AB

15、CD 的两条对角线 AC、BD 分别满足什么条件，顺次连结各边中点所得四 边形 EFGH 是菱形？矩形？正方形？会是梯形吗？（学生由图6 展开想象） 当学生进入高中阶段后还可提出： 变式 4：顺次连结空间四边形ABCD 四边中点的四边形还是平行四边形吗？（是！ ） 4 这种应用运动变化的观点，不断变换问题情境，纵横变通，正逆呼应，一线串珠，纵深发展的变式教 学方式，能使学生在发现、认识、掌握数学知识间的变与不变的联系中，发展思维的运动性品质，提高学 生思维的敏捷性、流畅性和变通性。 四、一题多解，形成多角度思维习惯，培养思维的广阔性、流畅性和变通性。 教学实践表明，选择典型的题目，引导学生从多

16、角度、多方位、多层次地寻求解题方法，能使学生的 思维成辐射状展开，从而培养思维的广阔性、流畅性和变通性。 例如，测池塘距离是一个实际问题，它可以激发学生的学习积极性，提高学生解决实际问题的能力， 培养思维的变通性和创造性。 测池塘距离可以有多种方法，笔者与学生一起讨论后，找到了五种方法： 1全等法 如图 8，有一池塘，要测池塘两端A、B 的距离，可先在平 A A 地上取一个可以直接到达 A 和 B 的 C 点。连结 AC 并延长到 D，使 CD=CA，连结BC 并延长到 E，使CE=CB，连结DE。很显然ACB 和DCE 全等，那么量出 DE 的长，就是 A、B 两点的距离。 2中位线法 如图

17、 9，A、B 两点被池塘割开，在AB 外选一点 C，连结AC 和 BC，并分 别找出 AC 和 BC 的中点 M、N，连结 MN。那么 MN 就是ABC 的中位 线，测得 MN 的长，A、B 两点之间的距离就是 MN 长的两倍。 3相似法 C C N N B B M M A A B B 1 1 C C 2 2 8 8 D D E E 如图 10，要测池塘两端的距离，同样可先在平地上取一个可以直接 9 9 到达 A 和 B 的点 C，连结AC、BC，在AC、BC 上取 E、D 两点，使DEAB。很显然，CDECBA。 如果测得 CD、DB、DE 的长，根据相似三角形的性质，那么就可以求出A、B

18、两点之间的距离。 4勾股定理法 A A D D C C 1010 B B 如图 11，隔湖有两点A、B，从与BA 成直角的 BC 方向上取点 C， 测得 CA、CB 的长，由勾股定理可以求出A、B 两点之间的距离。 5三角函数法 如图 11，隔湖有两点 A、B，从与 BA 成直角的 BC 方向上取点 C，测得 CB 的长，C 的度数，利用正切函 数，可以求出 A、B 两点之间的距离。 五、探索猜想，培养思维的独创性 引导学生根据已有的知识、经验和方法，对数学问题广泛联想、积极探索、大胆猜想、寻觅规律，能 5 E E 有效地培养学生思维的独创性。猜想教学一般包括以下几个环节：提出问题，试验、猜想

19、，证明，推广， 应用。 在平时的教学中，笔者根据初中数学第二册异分母分式的加减法这一节的“想一想” ，设计了以 下一个探索性问题。 提出问题 已知一个正分数 m（nm0） ，如果分子，分母同时增加1，这个分数增大呢，还是减小？如果mn0， 结果又怎样？ 问题是数学的心脏， 是数学的出发点。 提出一个问题有时比解决一个问题更重要。 提出一个需要探索、 思考和讨论的问题，能使学生产生强烈的创新欲望。 试验、猜想 没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。提高学生的数学猜想能力，这对培养学生的创新思维能力极 为有益。当学生对教师提出的问题跃跃欲试的时侯，教师趁热打铁，引导学生取特殊值试验，通过试验， 得出猜想。 n nn1 (n m 0) mm1 nn1 m m1 (m n 0) 证明 （1） （2） 有了猜想的结果，猜想正确性的证明就变成了学生自发的需要。先猜，后证，这是大都数人的发现之 道。于是学生很快地用比较法给予证明。即 nn1nmnmnmnm 0(n m 0) mm1m(m1)m(m1) （2）证明略 推广 数学概念的完整性和数学模型的普遍性是数学探索的主要内容。 将以证的结论进行推广，这既符合数 学知识本身发展的规律，也符合学生个体心理发展的规律。于是进一步引导学生联想。 若把原