321几类不同增长的函数模型课件（人教A版必修1）

1、3.2函数模型及其应用 3.2.1几类不同增长的函数模型,1三种函数模型的性质,自学导引,增函数,增函数,增函数,陡,稳定,2指数函数yax(a1)，对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)增长速度的比较 (1)对于指数函数yax和幂函数yxn(n0)在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于_的增长快于_的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有_ (2)对于对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于_的增长慢于_的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有

2、_,yax,yxn,axxn,ylogax,yxn,logaxxn,1函数yx2与y2x在(0，)上具有相同的增长速度吗？ 【答案】增长速度不同如图所示，在(0,2)之间yx2的增长速度较快，在(2,4)之间函数值均从4增大到16，而x4之后，y2x的增长速度远远快于yx2的增长速度,自主探究,2函数yax(0a1)，yxn(n0)，ylogax(0a1)在区间(0，)上哪一个衰减得快？ 【答案】函数ylogax(0a1),1当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是() Ay100 xBylog100 x Cyx100Dy100 x 【答案】D,预习测评,2y12x，y2x2，y3lo

3、g2x，当2y2y3By2y1y3 Cy1y3y2Dy2y3y1 【答案】B 3某种细胞分裂时，由1个分裂成2个、2个分裂成4个这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是_ 【答案】y2x(xN*),4某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是_,1直线上升、指数爆炸、对数增长 对于直线ykxb(k0)、指数函数yax(a1)、对数函数ylogbx(b1) (1)通过实例结合图象初步发现：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比

4、对数函数增长得快,要点阐释,(2)通过计算器或计算机得出多组数据，结合函数图象(图象可借助于现代信息技术手段画出)进一步体会： 直线上升，其增长量固定不变 指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法企及的随着自变量的不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大得惊人，所以“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容 对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升的速度,2三类函数模型函数增长的变化规律 我们知道，对数函数ylogax(a1)，指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0)在区间(0，)上都是增函数，这三类函数的增长是有差异的下面，

5、我们不妨先以函数y2x，yx2，ylog2x为例进行探究 (1)在同一坐标系内，先用计算机列表，然后作出函数图象(如右图所示) 观察归纳结论：y2x和yx2都比ylog2x增长得快得多，但y2x与yx2的增长情况区分度不明显,(2)观察y2x和yx2的增长情况 在同一坐标系内画出函数y2x和yx2的图象(如下图所示),观察归纳结论：从图上可观察到y2x与yx2有两个交点，有时2xx2，有时x22x，但是当自变量越来越大时，可以看到2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎是微不足道的 一般地，对于指数函数yax(a1)和幂函数yxn(n0)，通过探索可以发现，在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽

6、管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.,(3)观察yx2和ylog2x的增长情况 在同一直角坐标系内画出函数yx2和ylog2x的图象(如右图所示) 观察归纳结论：在区间(0，)上，总有x2log2x. 对于对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就渐渐与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn.,题型一一次函数模型的应用 【

7、例1】 北京市的一家报刊摊点，从报社买进北京晚报的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社在一个月(30天计算)里， 有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获得利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元,典例剖析,思路点拨：本题根据题意可求得函数解析式，再利用单调性求最值 解：设每天从报社买进x(250 x400)(xN)份报纸，每月获得利润y元， 则y0.10(20 x10250)0.1510(x250)0.5x625，x250,400 函数

8、y在250,400上单调递增， 当x400时，ymax825(元) 即摊主每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为825元,1学校商店出售软皮本和精美铅笔，软皮本每本2元，铅笔每枝0.5元该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本，赠送一枝精美铅笔；(2)按总价的92%付款某位同学需买软皮本4本，铅笔若干枝(不少于4枝)，若购买铅笔x枝，总付款为y(角)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式,解：付款分两部分，软皮本款和铅笔款，需要分别计算 由优惠办法(1)，得函数关系式为 y12045(x4)5x60(x4且xN*) 由优惠办法(2)，可得函数关系式为 y2(5x

9、204)92%4.6x73.6(x4且xN*),题型二指数函数模型的应用 【例2】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年) (1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210) 思路点拨：根据指数函数的增长速度进行求解即可,解：(1)1年后该城市人口总数为 y1001001.2%100(11.2%) 2年后该城市人口总数为 y100(11.2

10、%)100(11.2%)1.2% 100(11.2%)2. 3年后该城市人口总数为 y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)2(11.2%)100(11.2%)3. x年后该城市人口总数为y100(11.2%)x(xN),(2)10年后人口数为100(11.2%)10112.7(万) (3)设x年后该城市人口将达到120万人， 即100(11.2%)x120，xlog1.0121.2016(年) 因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人,2某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利

11、率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种投资比另一种投资可多得利息多少元？(注：单利是指当年的本金转为下一年初的本金，复利是指当年的本金和利息转为下一年初的本金),解：本金为100万元，按单利计算时，年利率为10%， 5年后的本利和为100(110%5)150(万元)， 按复利计算，年利率为9%,5年后的本利和为100(19%)51001.095153.86(万元) 由此可见，按年利率9%的复利计算投资要比年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元,思路点拨：本题的关键是对数的运算,方法点评：直接以对数函数为模型的应用问题不是很多此类问题一

12、般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解,【例4】 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向作匀速直线运动，其位移y(km)和运动时间x(h)(0 x5)的关系如图所示，给出以下说法：,误区解密 未读懂图中的信息而出错,甲、乙运动的速度相同，都是 5 km/h；甲、乙运动的时间相同，开始运动后相等时间内甲的位移比乙大；甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4 km/h；当甲、乙运动了3小时后，甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处 其中正确的说法是() AB CD,错解：和一定是一对一错，经分析，是对的；对于，因为乙的图象在甲的上方，所以应是甲的位移比乙小，故错误；对于，当甲、乙运动了3小时，甲的位移为3515(km)，乙的位移为53417(km)，故错误故选A. 错因分析：错因在于未读懂图象，从而作出错误判断对于，不能依据图象的位置判断位移大小，要经计算判断；对于，乙的位移计算错误,正解：和一定是一对一错，经分析，是对的；对于，甲、乙运动的时间显然都是5小时，因为甲的速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h，所以开始移动后相等时间内甲的位移比乙大，故正确；对于，当甲、乙运动了3小时，甲的位移为3515(km)，乙的位移为3412(km)，又因为乙是从甲前方5 km处开始运动的，所以甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处，所以正确，故选D.