工程力学(静力学与材料力学)弯曲强度(剪力图与弯矩图

1、范钦珊教育与教学工作室,工程力学(静力学与材料力学）,课堂教学软件,返回总目录,弯曲强度剪力图与弯矩图,工程力学（静力学与材料力学）,材料力学,返回总目录,杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bending）。主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。,在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩两种内力。,在很多情形下，剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的。,对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这些横截面称为危险面。弯矩和剪力最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题，但

2、是也必须知道弯矩沿梁长度方向是怎样变化的。,第7章A 弯曲强度剪力图与弯矩图,弯曲时，由于横截面上应力非均匀分布，失效当然最先从应力最大点处发生。因此，进行弯曲强度计算不仅要考虑内力最大的“危险截面”，而且要考虑应力最大的点，这些点称为“危险点”。,绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，剪应力的影响是次要的。本章将主要确定梁横截面上正应力以及与正应力有关的强度问题。,本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；怎样根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图与弯矩图，讨论载荷、剪力、弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用；然后应用平衡、变形协调以及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍

3、弯曲强度设计方法。,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图, 工程中的弯曲构件, 剪力方程与弯矩方程, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系, 梁的内力及其与外力的相互关系, 剪力图与弯矩图, 结论与讨论,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,返回总目录, 工程中的弯曲构件,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,返回,工程中可以看作梁的杆件是很多的:,桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布载荷q)的作用下,大梁将发生弯曲。, 工程中的弯曲构件,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,工程中可以看作梁的杆件是很多的:,石油、化工设备中各种直立式反

4、应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。, 工程中的弯曲构件,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,工程中可以看作梁的杆件是很多的:,火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外伸梁。由于轴自身重量与车厢以及车厢内装载的人与货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。, 工程中的弯曲构件,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两边各开一个半圆孔可以吗？, 工程中的弯曲构件,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,梁为什么做成变

5、截面的？,孔开在哪里最合理?,梁为什么可以开孔？, 工程中的弯曲构件,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图, 梁的内力及其与外力的相互关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,返回, 梁的内力及其与外力的相互关系,应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上任意横截面上的内力剪力和弯矩，而且可以确定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。,平衡包括：整体平衡和局部平衡。,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。,总体平衡与局部平衡的概念, 梁的内力及其与外力的相互关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,刚体平衡概念的扩展和延伸：

6、总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。,总体平衡与局部平衡的概念, 梁的内力及其与外力的相互关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,应用截面法可以确定杆件任意横截面上的 内力分量, 用假想截面从所要求的截面处将杆截为两部分, 考察其中任意一部分的平衡, 由平衡方程求得横截面的内力分量, 梁的内力及其与外力的相互关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,应用截面法和平衡的概念，不难证明：当梁上的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。,所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用，以及分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。, 梁的内力及其与外

7、力的相互关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图, 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；, 在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；,杆件内力变化的一般规律, 梁的内力及其与外力的相互关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,根据以上分析，不难得到结论：,杆件各截面上内力变化规律随着外力的变化而改变。, 梁的内力及其与外力的相互关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程或者同一

8、图线描述。, 梁的内力及其与外力的相互关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,描述内力变化规律有两种方法： 1. 数学方程剪力方程与弯矩方程； 2. 图形剪力图与弯矩图。,两种描述方法都要： 1. 确定变化区间； 2. 遵循正负号规则。, 梁的内力及其与外力的相互关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面（control cross-section）。据此，下列截面均可为控制面：, 集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。,变化区间控制面, 梁的内力

9、及其与外力的相互关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,外力规律发生变化截面集中力、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。,变化区间控制面, 梁的内力及其与外力的相互关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,剪力与弯矩的正负号规则,弯矩M(My或Mz)的确定：使梁产生上凹、下凸变形的弯矩为正；反之为负。, 梁的内力及其与外力的相互关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图, 梁的内力及其与外力的相互关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,返回, 剪力方程与弯矩方程, 指定横截面上弯矩和剪力的确定, 剪力方

10、程和弯矩方程的建立,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图, 指定横截面上弯矩和剪力的确定, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,应用截面法确定某一指定横截面上的剪力和弯矩，首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁截为两部分。然后，考察其中任意一部分的受力，由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,例 题 1,一端固定另一端自由的梁，称为悬臂梁(cantilever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO的作用。,试确定:截面C及截面D上的剪

11、力和弯矩。C、D截面与加力点无限接近。, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解：1. 应用静力学平衡方程确定固定端的约束力。,2. 应用截面法确定C截面上的内力分量,用假想截面将梁C截面处截开，以左边部分为平衡对象。,因为外力与梁轴线都在同一平面内，而且没有沿杆件轴线方向的外力作用，所以横截面上没有轴力和扭矩，只有剪力和弯矩两种内力分量。, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解： 2. 应用截面法确定C截面上的内力分量,假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：,所得结果均为正值，这表明所假设的C截面上的剪力和弯

12、矩的正方向是正确的。, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解： 3. 应用截面法确定D截面上的内力分量,用假想截面将梁D截面处截开，以左边部分为平衡对象。, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解： 3. 应用截面法确定D截面上的内力分量,假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：,因为D截面无限接近B截面，所以式中, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解： 4. 讨论,本例中所选择的研究对象都是C、 D截面以左部分梁，因而需要首先确定左端的约束力。如果以C、 D截面以右部分梁作为平衡对象

13、，则无需确定约束力，计算过程会更简单。,例 题 1, 剪力方程和弯矩方程的建立, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁的左端，x坐标轴的正方向自左至右，y坐标轴铅垂向上。,建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力(包括载荷和约束力)作用状况，确定控制面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪力方程和弯矩方程。,确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假设这一横截面的坐标为x；然后从这一横截面处将梁截开，并假设所截开的横截面上的剪力FQ(x)和弯矩

14、M(x)都是正方向；最后分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x)和弯矩M(x)的表达式，这就是所要求的剪力方程FQ(x)和弯矩方程M(x)。, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。,需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量，而FQ(x)和M(x)则是x的函数。, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,例 题

15、2,悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M2FPl 的作用。梁的全长为2l。,试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解：1确定控制面和分段,本例将通过考察截开截面的右边部分平衡建立剪力方程和弯矩方程，因此可以不必确定左端的约束力。,2建立Oxy坐标系 以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系。,由于梁在固定端A处作用有约束力、自由端B处作用有集中力、中点C处作用有集中力偶，所以，截面A、B、C均为控制面。因此，需要分为AC和CB两段建立剪力和弯矩方程。, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解：3建立剪

16、力方程和弯矩方程,在AC和CB两段分别以坐标为x1和x2的横截面将梁截开，并在截开的横截面上，假设剪力FQ(x1)、FQ(x2)和弯矩M(x1)、M(x2)都是正方向，然后考察截开的右边部分梁的平衡，由平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解：3建立剪力方程和弯矩方程,对于AC段梁的剪力和弯矩方程，在x1处截开后，考察右边部分的平衡。,根据平衡方程, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解：3建立剪力方程和弯矩方程,得到AC段的剪力方程与弯矩方程：, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图

17、与弯矩图,解：3建立剪力方程和弯矩方程,得到CB段的剪力方程与弯矩方程：,上述结果表明，AC段和CB段的剪力方程是相同的；弯矩方程不同，但都是x的线性函数。,对于CB段梁的剪力和弯矩方程，在x2处截开后，考察右边部分的平衡。,根据平衡方程,一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为简支梁(simple supported beam)。梁上承受集度为q的均布载荷作用，梁的长度为2l。,试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程。,例题 3, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解：1确定约束力,因为只有铅垂方向的外力，所以支座A的水平约束力等于零。又因为梁的结构及受力都是对称的

18、，故支座A与支座B处铅垂方向的约束力相同。,于是，根据平衡条件不难求得：, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解：2确定控制面和分段,因为梁上只作用有连续分布载荷(载荷集度没有突变)，没有集中力和集中力偶的作用，所以，从A到B梁的横截面上的剪力和弯矩可以分别用一个方程描述，因而无需分段建立剪力方程和弯矩方程。,3建立Oxy坐标系 以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系，, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解：4确定剪力方程和弯矩方程,由左段梁的平衡条件,以A、B之间坐标为x的任意截面为假想截面，将梁截开，取左段为研究对象，在截开的截面上标

19、出剪力FQ(x)和弯矩M(x)的正方向。, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解：4确定剪力方程和弯矩方程,由左段梁的平衡条件,得到梁的剪力方程和弯矩方 程分别为,这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的二次函数。, 剪力方程与弯矩方程,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图, 载荷集度、剪力、弯矩之间的 微分关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,返回,绘制剪力图和弯矩图有两种方法：第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在FQ-x和M-x坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值，得到相应的点；然后按照剪力和弯矩方程的类

20、型，绘制出相应的图线，便得到所需要的剪力图与弯矩图。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,绘制剪力图和弯矩图的第二种方法是：先在FQ-x和M-x坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然后应用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力和弯矩图线的形状，因而无需首先建立剪力方程和弯矩方程。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,根据相距dx的两个横截面截取微段的平衡，可以得到载荷集度、剪力、弯矩之间存在下列的微分关系：, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,将FQ

21、(x)对x求一次导数，将M(x)对x求一次和二次导数，得到, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,式中等号右边的负号，是由于作用在梁上的均布载荷是向下的。因此规定：对于向上的均布载荷，微分关系式中的载荷集度q为正值；对于向下的均布载荷，载荷集度q为负值。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,上述微分关系，也说明剪力图和弯矩图图线的几何形状与作用在梁上的载荷集度有关。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图, 剪力图的斜率等于作用在梁上的均布载荷集度；弯矩图在某一点处的斜率等于

22、对应截面处剪力的数值。, 如果一段梁上没有分布载荷作用，即q0，这一段梁上剪力的一阶导数等于零，弯矩的一阶导数等于常数，因此，这一段梁的剪力图为平行于x轴的水平直线；弯矩图为斜直线。, 如果一段梁上作用有均布载荷，即q常数，这一段梁上剪力的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为x的线性函数，因此，这一段梁的剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线。, 弯矩图二次抛物线的凸凹性与载荷集度q的正负有关：当q为正(向上)时，抛物线为凹曲线，凹的方向与M坐标正方向一致，：当q为负(向下)时，抛物线为凸曲线，凸的方向与M坐标正方向一致。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图

23、, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,返回,作用在梁上的平面载荷如果不包含纵向力，这时梁的横截面上只有剪力FQ和弯矩M两种内力分量。表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图形，分别称为剪力图（diagram of shearing forces）和弯矩图（diagram of bending moment）。, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图和扭矩图大体相似，但略有差异。主要步骤如下：, 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。, 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值(假定剪力和弯矩都为正方向)。, 建立FQ - x

24、和M x 坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。, 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,简支梁受力的大小和方向如图所示。,例 题 4,试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。,解：1确定约束力,求得A、B 两处的约束力 FRA0.89 kN , FRF1.11 kN,根据力矩平衡方程, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解：2确定控制面,在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均

25、为控制面。,3建立坐标系 建立FQ- x和M - x坐标系。, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,5根据微分关系连图线 因为梁上无分布载荷作用，所以剪力FQ图形均为平行于x轴的直线。,解：4应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FQx和Mx坐标系中。,弯矩M图形均为斜直线。于是，顺序连接FQx和Mx坐标系中的a、b、c、d、e、f各点，便得到梁的剪力图与弯矩图。, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,5确定剪力与弯矩的最大绝对值,从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为,(发生在EF段),(发生在D、E截面上), 剪力图与弯矩图,第7章

26、A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,从所得到的剪力图和弯矩图中不难看出AB段与CD段的剪力相等，因而这两段内的弯矩图具有相同的斜率。,此外，在集中力作用点两侧截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用处两侧截面上的弯矩是不相等的，其差值分别为集中力与集中力偶的数值，这是维持DE小段和BC小段梁的平衡所必需的。,建议大家自行验证。, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,例 题 5,梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外伸梁(overhanging beam)。梁的受力以及各部分尺寸均示于图中。,试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值

27、的最大值。,解：1确定约束力,根据梁的整体平衡，由,求得A、F 两处的约束力, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解：2确定控制面,由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的C截面，以及集中力qa左侧的D截面，也都是控制面。,3建立坐标系 建立FQx和Mx坐标系, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,解：4确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FQx和Mx坐标系中。, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,5根据微分关系连图线 对于剪力图：在AB段上，因有均布载荷作用，剪力图为一斜直线，于是连接a、b

28、两点，即得这一段的剪力图；在CD段，因无分布载荷作用，故剪力图为平行于x轴的直线，由连接c、d二点而得，或者由其中任一点作平行于x轴的直线而得到。, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,5根据微分关系连图线 对于弯矩图：在AB段上，因有均布载荷作用，图形为二次抛物线。又因为q向下为负，弯矩图为凸向M坐标正方向的抛物线。于是，AB段内弯矩图的形状便大致确定。为了确定曲线的位置，除AB段上两个控制面上弯矩数值外，还需要确定在这一段内二次抛物线有没有极值点，以及极值点的位置和极值点的弯矩数值。从剪力图上可以看出，在e点剪力为零。, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与

29、弯矩图,6确定弯矩图极值点的位置,81qa2/32, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,7确定剪力与弯矩的最大绝对值,从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,注意到在右边支座处，由于有约束力的作用，该处剪力图有突变（支座两侧截面剪力不等），弯矩图在该处出现折点（弯矩图的曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线cd的斜率）。, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,例 题 6, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,FQ,例 题 7, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,例 题 8, 剪力图与弯矩图,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,剪力图与弯矩图的绘制方法小