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1、8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系,一z平面与s平面的映射关系 二z变换与拉氏变换表达式之对应,返回,至此,我们已经讨论了三种变换方法,即:傅立 叶变换、拉普拉斯变换和z变换。这些变换并不是孤立 的,它们之间有着密切联系,并在一定条件下可以互 相转化。 在第四章讨论过傅立叶变换与拉普拉斯变换的关 系,现在研究z变换与拉普拉斯变换的关系。,一z平面与s平面的映射关系,在引入z变换的定义时,引入符号z=esT,式中T是序列的时间间隔,重复频率ws=2p/ T,sz平面映射关系,这两个等式表明:z的模r仅对应于s的实部s ; z的幅角q仅对应于s的虚部w 。,s平面(s=s +jw ),z平面(z=
2、 rejq ),原点 (s = 0,w = 0),z=1,(2)s平面上的虚轴(s =0,s =jw)映射到z平面是单位圆; s平面的左半平面(s 0)映射到z平面是单位圆的圆内;,s平面的右半平面(s 0)映射到z平面是单位圆的圆外; 平行于虚轴的直线(s =常数)映射到z平面是圆。,s平面(s=s +jw ),z平面(z= rejq ),虚轴 (s =0, s=jw),单位圆 (r=1,q 任意),左半平面 (s 0),单位圆内 (r1,q 任意),右半平面 (s 0),单位圆外 (r1,q 任意),平行于虚轴 的直线 (s = 常数: - + ),圆 ( s 0 ,r1 s 0 ,r1
3、r为常数:0+ q 任意),(3)s平面上的实轴(w =0,s =s )映射到z平面是正实轴; 平行于实轴的直线(w =常数)映射到z平面是始于原点的 辐射线; 通过jkws/2(k= +1,+3,)而平行于实轴的直线映射到z平面 是负实轴。,s平面(s=s +jw ),z平面(z= rejq ),实轴 (w =0, s= s),正实轴 (q =0, r任意),平行于实轴 的直线 (w =常数),始于原点的 辐射线 (q =常数, r任意),通过+ jkws/2 平行于实轴 的直线 (k=1,3.),负实轴 (q =p, r任意),(4)由于z=rejq是q=wT的周期函数,因此当w 由-p/
4、T p/T时, q由-p p, 幅度旋转了一周,映射到了整个z平面。 因此w 每增加一个w s=2p/T,q就相应增加2p,也就重复 旋转一周,z平面就重叠一次。 所以,zs映射不是单值的。下图说明了上述映射关系。,掌握了sz平面映射规律之后,容易利用类似在连续时间 系统分析中的方法,研究离散时间系统函数z平面特性与系统 时域特性、频响特性以及稳定性的关系。,返回,二z变换与拉氏变换表达式之对应,我们知道:,当把x(t)以等间隔T抽样后:,其z变换为:,此式的收敛条件是:|z|esT|,当符合这一条件时,这就是直接由连续函数的拉氏变换式求抽样后的 离散序列z变换式的关系式。,该积分式当然也可以
5、用留数定理来计算。即:,X(s)的诸极点,例如:当X(s)有一单阶极点s1时,以上从拉氏逆变换式出发推证了拉氏变换式 与z变换式的关系式。,容易求得,它的拉式变换为,若序列X(nT)由N项指数序列相加组合而成,下面把信号按部分分式分解进行讨论,它的z变换为,注意跳变值,借助模拟滤波器设计数字滤波器,例8-6-1,例8-6-2,返回,注意:连续时间信号的突变点函数值与对应的序列 样值有区别。,例如,阶跃信号u(t)在t=0点定义为1/2; 阶跃序列u(n)在点n=0定义为1。,注意跳变值,返回,已知指数函数e-atu(t)的拉式变换为 , 求抽样序列e-anTu(nT)的z变换。,X(s)只有一个一阶级点s=-a, 可以直接求出e-anTu(nT)的z变换为,解:,例8-6-1,返回,于是, X(s)可以展成部分分式,已知正弦信号sin(w0t)u(t)的拉式变换为 , 求抽样序列sin(w0nT)u
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