微分方程初值问题的数值解法.ppt

1、五、线性多步法,第九章 微分方程初值问题的数值解法,1. 线性多步法的一般理论,线性多步法的基本思想: 如果充分利用前面多步的信息来预测 yn+k , 则可以期望获得较高的精度.,记 y(xn)的近似值为 yn , xn = x0+ nh , 并记 fn = f (xn , yn ), 则 k 步线性多步法的一般形式为:,其中 均为常数, 不全为零. 由于上式两端可同乘一常数, 故一般可设 , 则上式可写成:,或写成,注: k=1时, 即为一种单步法. 如k=1, 0= -1, 0=1 ,1=0 就是Euler方法; k=1, 0= -1, 0= 1=1/2 就是梯形方法.,其中 任意给出,

2、s = 0,1,2,迭代到满足给定的精度要求为止.,对于隐式情形的公式( ), 由于f (x , y)一般是非线性函数, 很难求得 yn+k 的显式表达式, 故常用迭代法求解:,可以证明, 当f (x , y)关于 y 满足Lipschitz条件(或 )时,若 , 则为隐式方法; 若 , 则为显式方法. 上式称为k 步线性法.,只要 , 迭代关系式就是收敛的.,Def : 对于线性多步法,定义 xn+k 处的局部截断误差为:,或在 yn+j = y ( xn+j ) ( j = 0,1,2, k -1)的假定下, 定义 xn+k 处的局部截断误差为Rn+k = y ( xn+k ) - yn+

3、k .,Rn+k 按 h 展开的首项称为主局部截断误差.,Def : 若 , 则称线性多步法为 p 阶方法.,若线性多步法为 p 阶方法, 则,设 yn+j = y ( xn+j ), j = 0,1,2, k -1, 则有,其中Cp+1称为主局部截断误差系数.,又,上两式相减, 得:,由微分中值定理,即主局部截断误差为:,其中 介于 y ( xn+k )与 yn+k 之间, 因此,故在 y ( xn+j ) = yn+j ( j = 0,1,2, k -1) 假设下, 若 (显式公式), 则:,若 (隐式公式), 且 , 即为 p 阶方法, 则当 y(x)充分可微时,即Rn+k 的首项与 y

4、 ( xn+k ) - yn+k 的首项相同, 因此两种方法局部截断误差的定义是相同的.,2. 线性多步法的构造,注2: 可以证明, 显式线性多步法的整体截断误差比局部截断误差低一阶., 基于数值积分的构造方法,注1: Euler方法的主局部截断误差为: 梯形法的主局部截断误差为:,将 两端从 yn -j 到 yn+k 积分, 得:,构造 p 次Lagrange插值多项式:,其中,对 f ( t , y (t ), 取等距节点 , 对应的函数值为,代入 式有,用 yn - i 代替 y( xn -i ), fn-i 表示 f ( xn-i , yn-i ), 则得线性多步法显式公式:,所以,若

5、令 t = xn + s h , 则,(1) 取 k=1, j=0可得Adams显式公式:,对k , j 和 p 选择不同的值, 则可得到不同类型的具体公式.,其中,其中,再用n+1代替 n , 得到:,最常用的是 p=3 的情形:,(2) 取 k=0, j=1可得Adams 隐式公式:,最常用的也是 p=3 的情形:,(3) 取 k=1, j=1可得Nystrm 显式公式:,于是线性多步法,(4) 取 k=0, j=2可得Milne 隐式公式(用n+1代替n ):,由于,的局部截断误差为:,对于Adams显式与隐式公式, 由于 在0,1( j=0, k=1, 显式公式) 上恒为正; 在0,1

6、( j = 0, k =1, 隐式公式) 上恒为负. 由微分中值定理可得:,当p=3时,其中 为某中间点, E表示Explicit, I表示Implicit .,由此可知, 在 f (x , y(x)具有p+1阶连续偏导数的条件下, p+1阶Adams显式方法和隐式方法的局部截断误差与 同阶, 即它们都是p+1阶方法. 特别地, 当p=3时, 它们都是4阶方法.,上式右边近似认为,Taylor展开法更具一般性, 下面构造4步方法, 即k=4 . 用Taylor展开法构造下述公式, 使其为4阶方法, 并求其局部截断误差的主项., 基于Taylor展开的构造方法,将函数 及 在点 xn 处按 h的

7、幂展开, 则得:,(1),比较 (1), (2) 两式中h 的同次幂, 可得:,另一方面, 有,(2),如果要求前6个方程成立, 得到的公式的局部截断误差为O( h6 ). 也可要求前面的几个方程成立.,(1) Simpson公式:,要求前4个方程成立, 令 可得:,公式为:,即:,此时, 第五个方程恰好也成立. (2) - (1) 得:,得隐式的Adams公式:,(2) 隐式的Adams公式:,要求前5个方程成立, 令 , 可得:,将 (2) - (1) 得:,(3) 显式的Adams公式:,要求前5个方程成立, 令 , 可得:,得显式的Adams公式:,将 (2) - (1) 得:,(4)

8、 Milne 方法(四步四阶):,要求前4个方程成立, 令 , 可得:,此时, 第五个方程恰好成立.,得Milne 公式:,将 (2) - (1) 得:,(5) Hamming方法:,要求前5个方程成立, 令 , 可得:,即:,得Hamming 公式:,将 (2) - (1) 得:,Remark 1: 用Taylor展开法比用数值积分法推导线性多步法更加灵活, 推导出的方法也比积分法更多. 用数值积分法可以得到的方法, 用Taylor展开方法都可以得到; 但用Taylor展开法得到的方法, 数值积分法却不一定能够得到.,例: 求微分方程初值问题,在0,1上的解, 取步长 h = 0.1 .,Remark 2: 应用线性多步法求解初值问题时, 开始几点处的函数值要用别的方法先计算出来. 一般选用与多步法同阶或更高阶的单步法. 如Runge-Kutta方法、Taylor展开方法等.,Remark 3: 对线性隐式多步法, 除开始几点处的函数值需要单独计算外,