不等式证明的基本方法.ppt

1、,不等式证明的基本方法,了解不等式证明的基本方法与技巧，提升解析式的变形能力，培养逻辑思维能力.,1.用反证法证明命题：若a、b、c(0,1)，则(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不同时大于 ，假设正确的是( ),A,A.(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于 B.(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时不大于 C.(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个大于 D.(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至多有两个大于,证明： 假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于 ，则 将上面三个不等式相加得 即 ，得出矛盾，故(1-a)b，(1-b)c，(1

2、-c)a不同时大于,2.四个不相等的正数a、b、c、d成等差数列，则( ),A,A. B. C. = D. ,因为a+d=b+c,所以 = (b、c互不相等).,3.设mn，x=m4-m3n,y=n3m-n4,则x,y的大小关系是( ),A,A.xy B.x=y C.xy D.与m,n的取值有关,因为x-y=m4-m3n-n3m+n4 =m3(m-n)-n3(m-n) =(m-n)(m3-n3) =(m-n)2(m2+mn+n2)0, 所以xy.,4.设a0,b0,则以下不等式中不恒成立的是( ),B,A.(a+b)( + )4 B.a3+b32ab2 C.a2+b2+22a+2b D. -,

3、因为a0,b0, 所以(a+b)( + ) ，故A恒成立； a3+b32ab2,取a= ,b= ，则B不成立； a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)20，故C恒成立； 若ab,则 - 恒成立， 若ab,则 -( - )2=2 0， 所以|a-b|a-b,故D恒成立.,5.已知m1,设A= - ,B= - ,则A、B之间的大小关系是 .,AB,A= - = , B= - = . 因为m1,所以 + + , 所以AB.,不等式的证明常用的方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等. 1.比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过

4、程必须详细叙述，如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.,2.综合法是从命题提供的条件，或是已证明过的结论，或是已知的定义、公理、定理等条件及事实出发，经正确的推理得到结论的方法，是一种直接的演绎推理方法，也就是“由因导果”的方法. 综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式： “已知可知1可知结论”.,3.分析法是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法. 分析法的思维全貌可概括下面形式： “结论需知1需知2已知”. 4.反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方

5、法. 5.放缩法：欲证AB，可通过适当放大和缩小，借助一个或多个中间量，使得BB1,B1B2,B1A，再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法.,6.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式.用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略. 7.构造法：构造二次方程用“”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法.,题型一 利用比较法证明不等式,例1,设a、bR,求证：a2+b2ab+a+b-1.,这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程中应体现将a或b看成主元的

6、思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作.,(证法一)作差法. a2+b2-ab-a-b+1=a2-(b+1)a+b2-b+1 =(a- )2+ b2- b+ =(a- )2+ (b-1)20. (证法二)构造法. 记f(a)=a2-(b+1)a+b2-b+1, 因为二次项系数为正， 所以=(b+1)2-4(b2-b+1)=-3(b-1)20， 所以f(a)0，即a2+b2ab+a+b-1.,题型二 利用综合法证明不等式,例2,已知a、b、c为不全相等的正数，求证： + + 3.,欲证不等式，右边为常数，左边为轮换对称式，故想到将左边拆项，使用均值不等式.,（证法一）左边=

7、( + )+( + )+( + )-3. 因为a、b、c为不全相等的正数， 所以 + 2, + 2, + 2,且等号不同时成立， 所以( + )+( + )+( + )-33, 即 + + 3.,(证法二)左边=( -2)+( -2)+( -2) =(a+b+c)( + + )-6. 因为a、b、c为不全相等的正数， 所以(a+b+c)( + + )-63 3 -6=9-6=3, 即 + + 3.,3,3,(1)两种证法的差别在于不等式的左端实行不同的恒等变形，其目的都是为了有效地利用有关的基本不等式，这是利用基本不等式证明不等式的一个难点.“变形”的形式很多，常见的是拆、并项，也可乘一个数或

8、加上一个数等. (2)常见已证过的不等式有以下几种形式： a20(aR); |a|0(aR);,a2+b22ab(a、bR)的变形有： a2+b22|ab|2ab,a2+b2 (a+b)2, (a+b)24ab, ( )2; (a0,b0)及其变形 + 2(ab0), + -2(ab0); a2+b2+c2ab+bc+ca. 不必死记公式变形，但应敢于对公式进行等价变形，善于应用变形证明不等式. 利用分析法证明不等式,题型三 利用分析法证明不等式,例3,已知ab0,求证： - .,所证不等式的形式较复杂（如从次数看，有二次、一次、 次等），难以从某个角度着手，故考虑用分析法证明，即执果索因，寻

9、找不等式成立的必要条件.实际上就是对所证不等式进行适当的化简、变形，这种变形在相当多的题目里都是充要的.,欲证 - 成立, 只需证 a+b-2 ， 只需证 ( - )2 ， 只需证 - , 即证 1 ,只需证1+ 21+ , 即证 1 ，只需证 1 . 因为ab0,所以 1 成立， 从而，有 - .,分析法的步骤是未知需知已知，在操作中“要证”“只需证”“即证”这些词是不可缺少的.,题型四 利用反证法证明不等式,例4,设f(x)=x2+px+q，则|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中是否至少有一个不小于 ?并证明你的结论.,结论若是“都是”“都不是”“至少”“至多”或“”等形式的不等式命

10、题,往往考虑用反证法.,(证法一)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于 . 因为f(1)=1+p+q,f(2)=4+2p+q, 所以p=f(2)-f(1)-3,q=2f(1)-f(2)+2， 所以|f(3)|=|9+3p+q|=|2f(2)-f(1)+2| 2f(2)-f(1)+2-2 - +2= , 这与|f(3)| 矛盾. 故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 .,(证法二)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于 , 而f(1)+f(3)-2f(2)=1+p+q+9+3p+q-2(4+2p+q)=2. 又|f(1)+f(3)-2f(2)|f

11、(1)|+|f(3)|+|2f(2)| + +2 =2,矛盾, 故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 .,反证法实质上是通过证明原命题的逆否命题而实现的，在否定结论时必须对结论反面的各种情形都予以考虑，不能有所遗漏.,题型五 利用放缩法证明不等式,例5,已知a、bR,求证: + .,不等式的两端是绝对值，需对a、b是同号和异号进行讨论.,(证法一)放缩法. 因为|a+b|a|+|b|，由真分数的性质知， 左边 = + + =右边. (证法二)构造函数法. 设f(x)= (x-1)，判断f(x)在0,+）上的单调性. 设0 x1x2,且x1、x20,+),则f(x1)-f

12、(x2)= - = 0, 所以f(x)在0,+)上为增函数. 又0|a+b|a|+|b|, 所以f(|a+b|)f(|a|+|b|), 即 = + + .,用分析法解决含绝对值问题是常规方法；根据特征不等式的结构，构造恰当的函数，再利用函数的单调性来进行证明，这是构造函数法的特点.在证明过程中不一定能一步到位，常需要与其他方法相结合，如本例中还借助了放缩法.,拉格朗日中值定理：若函数f(x)是闭区间a,b上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则在(a,b)内至少存在一点x0,使得f (x0)= .如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值

13、定理证明:当0ab时, ln (可不用证明函数的连续性和可导性).,令g(x)=lnx,x(a,b)， 则g(x)符合拉格朗日中定理的条件， 即存在x0(a,b),使g(x0)= = . 因为g(x)= ,由x(a,b),00, 即 g(x0)= = = , 所以 ln .,不等式证明的常用方法有：比较法、综合法和分析法.它们是证明不等式的最基本的方法.另外，反证法、换元法、放缩法、函数性质法等也是常用的证明思路.注意以下几点： 1.作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，或利用各因式的符号进行判断，或配方利用非负数的性质进行判断.,2.综合法证明不等式时，主要利用重要不等式，函数的单调性

14、及不等式的性质，在严密的演绎推理下导出结论. 3.分析法的思路是逆向思维，应注意证题格式. 4.放缩时使用的主要方法有： 舍去或加上一些项, 如(a+ )2+ (a+ )2; 将分子或分母放大(缩小),如 , (kN,k1)等.,放缩法的理论依据主要有： 不等式的传递性；等量加不等量为不等量；同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较. 5.换元法是数学中的基本方法，它的应用十分广泛，不仅在不等式的证明中用到它，在其他数学问题的研究中也经常用到它.三角换元法有一定的规律性.,问题中含有“x2+y2=R2,x2+y2R2, ”时可以考虑作“sin,cos”代换，尤其是R=1时，这样的代换的

15、优势更为明显，作为这些代换的理论依据是“sin2+cos2=1”及“圆x2+y2=R2的参数方程 x=Rcos y=Rsin. 问题中含有“|x|1”时，可以考虑设x=sin或x=cos,其理论依据是|sin|1，|cos|1. 6.在用判别式法时,若二次项系数含字母,往往要按其为零和不为零两种情况分类讨论.,(2007江苏卷)设f(x)= -alnx(aR). (1)求f(x)的单调区间； (2)证明：lnx .,(1)函数f(x)的定义域为(0,+), f (x)= - (x0). 若a0，则f (x)= - 对一切x(0,+)恒成立； 若a0，则当x0时， f (x)0 x2a x2-4a2x-4a20, 所以x2a2+2a ;,f (x)0时，f(x)在(0,2a2+2a )内单调递减，在(2a2+2a ,+)内单调递增.,(2)证明：由(1)知,g(x)= -lnx在(0,2+2 )内单调递减，在(2+2 ,+)内单调递增. g(x)min=g(2+2 )= -ln(2+2 ) =1+ -ln(2+2 ), 所以 -lnx1+ -ln(2+2 ). 又2+2 1+ -lne2= -10, 所以