2011年高考数学一轮复习 第3章《三角函数》任意角的三角函数与诱导公式精品课件

1、学案2 任意角的三角函数与诱导公式,返回目录,1.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义 设是一个任意角,角的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r0),那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin= ,cos= ,tan= ,它们都是以角为 ，以比值为 的函数.,自变量,函数值,考点分析,返回目录,(2)三角函数在各象限内的符号口诀是: . 2.设角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直x轴于M,作PN垂直y轴于点N,则点M,N分别是点P在x轴,y轴上的 .由三角函数的定义知,点P的坐标为 ,即 , 其中cos= ,sin= ,单位圆与x轴

2、的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T(T),则tan= .我们把轴上向量OM,ON,AT(或AT)分别叫做的 、 、 .,二正弦、三正切、四余弦,一全正、,正射影,（cos,sin),P(cos,sin),OM,ON,AT,余弦线,正弦线,正切线,3.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系: . (2)商数关系: . (3)倒数关系:tancot=1( ,kZ).,返回目录,sin2+cos2=1(R),(k+ ,kZ),-tan,4.六组诱导公式,返回目录,sin,-sin,-sin,sin,cos,cos,cos,-cos,cos,-cos,sin,-si

3、n,sin,tan,tan,-tan,返回目录,考点一 三角函数的定义,设为第四象限角，其终边上的一个点是P(x,- )，且cos= x，求sin和tan.,【分析】若能求出问题中的未知数x，则由定义sin和tan可求，解题技巧即是设法建立关于x的一个方程.,题型分析,返回目录,【解析】是第四象限的角，x0, 又P点到坐标原点O的距离r , 由cos ，得 . x= ,r=2 . sin ,tan .,【评析】容易出错的地方是得到x2=3后，不考虑P点 所在的象限，x的取值分正负两种情况去讨论.一般地，在解此类问题时，可以优先注意角所在的象限，对最终结果作一个合理的预测.,对应演练,已知角的终

4、边在直线3x+4y=0上,求sin,cos,tan的值.,角的终边在直线3x+4y=0上， 在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0), 则x=4t,y=-3t, 当t0时,r=5t,返回目录,当t0时，sin= ,cos= ,tan= ;当t0时,sin= ,cos=- ,tan=- .,返回目录,返回目录,考点二 单位圆与三角函数线,在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合: (1)sin ; (2)cos- .,【分析】作出满足sin= ,cos=- 的角的终边,然后根据已知条件确定角终边的范围.,【解析】 (1)如图,作直线y= 交单位圆于A,B两点,连结OA

5、,OB,则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围,故满足条件的角的集合为,返回目录,返回目录,(2)作直线x=- 交单位圆于C,D两点,连结OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为,【评析】本题的实质是解三角不等式的问题： （1）可以运用单位圆及三角函数线; （2）也可以用三角函数图象. 体现了数形结合的数学思想方法.,返回目录,返回目录,对应演练,已知01; (2)sintan.,证明:如图,设的终边与单位圆交于P点,作PMx轴,垂足为M,过点A(1,0)作ATx轴,交的终边于T,则sin=MP,cos=OM,tan=AT.,(1)在OMP中

6、,OM+MPOP, cos+sin1. (2)连结PA,则SOPA S扇形OPA SOTA, 即 OAMP OA OAAT, 即sintan.,返回目录,返回目录,考点三 同角三角函数间的关系,已知 x0,sinx+cosx= . (1)求sinx-cosx的值； (2)求 的值.,【分析】 (1)由sinx+cosx= 及sin2x+cos2x=1可求出sinx,cosx的值,从而求出 sinx-cosx 的值;另外 ,由 0,从而判定sinx-cosx的符号,只需求(sinx-cosx)2即可.,返回目录,【解析】 (1)解法一:联立方程: sinx+cosx= , sin2x+cos2x

7、=1, 由得sinx= -cosx,将其代入,整理得 25cos2x-5cosx-12=0. sinx=- cosx= ,(2)由(1)可求出tanx,而 想法使分子、分母都出现tanx即可., x0,sinx-cosx=- .,解法二:sinx+cosx= , (sinx+cosx)2= , 即1+2sinxcosx= ,2sinxcosx=- . (sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x =1-2sinxcosx=1+ = . 又 0, sinx-cosx0. 由可知，sinx-cosx=- .,返回目录,(2)由已知条件及(1)可知 sinx+cosx= si

8、nx=- sinx-cosx=- , cosx= , tanx=- .,解得,又,返回目录,返回目录,【评析】（1）方程思想在解决同角三角函数间的关系中起着重要的作用,一定要注意其应用. (2)注意sinx+cosx,sinxcosx,sinx-cosx三者间的相互转化,若令sinx+cosx=t,则sinxcosx= .,返回目录,对应演练,已知sin+cos= ,(0,).求值: (1)tan; (2)sin-cos; (3)sin3+cos3.,解法一:sin+cos= ,(0,), (sin+cos)2= =1+2sincos, sincos= 0,cos0,sin= ,cos=- .

9、 (1)tan=- .(2)sin-cos= . (3)sin3+cos3= .,返回目录,返回目录,解法二： (1)同解法一. (2) (sin-cos)2=1-2sincos =1-2(- )= . sin0,cos0, sin-cos= . (3)sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)= 1+ = .,返回目录,考点四 求值问题,已知 ，求下列各式的值： （1） ； （2）sin2+sincos+2.,【分析】由已知可以求出tan，再由同角三角函数关系式可以求得sin和cos，进而求出(1)、(2)的值.但实际操作中，往往借助题目条件的特殊性来整体考虑

10、使用条件.,【解析】由已知得tan= . （1）,返回目录,（2）sin2+sincos+2 =sin2+sincos+2(cos2+sin2),返回目录,【评析】形如asin+bcos和sincos +ccos2的式子分别称为关于sin,cos的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用.,对应演练,已知tan =2,求： （1）tan(+ )的值； （2） 的值.,返回目录,（1）,返回目录,（2）由（1）得tan= ,返回目录,返回目录,考点五 化简问题,化简:tan(27-)tan(49-)tan(63+) tan(139-).,【分析】灵活运用诱导

11、公式.,返回目录,【评析】当多个复合角出现时，应先观察各个角之间的内在联系，再利用诱导公式化简求值.,【解析】tan(27-)tan(49-)tan(63+)tan(139-) =tan(27-)tan(49-)tan90-(27-) tan90+(49-) =tan(27-)tan(49-)cot(27-) -cot(49-) =tan(27-)cot(27-)tan(49-) -cot(49-)=-1.,返回目录,对应演练,已知 (1)化简f(); (2)若是第三象限角,且cos(- )= ,求f()的值.,(1),(2)cos(- )=-sin, sin=- ,cos= , f()= .

12、,返回目录,返回目录,考点六 简单的恒等式证明问题,已知sin(+)=1，求证:tan(2+)+tan=0.,【分析】可由sin(+)=1出发,得到=2k+ -(kZ)，将其代入被证式的左边，然后利用诱导公式进行化简，直至推得右边.,【证明】sin(+)=1, +=2k+ (kZ). =2k+ -(kZ). tan(2+)+tan = =tan(4k+-2+)+tan =tan(4k+-)+tan =tan(-)+tan=-tan+tan=0. tan(2+)+tan=0得证.,返回目录,返回目录,【评析】本题是条件等式证明问题,采用代入法使被证式得证. 证明条件等式,一般有两种方法:一是从被

13、证等式一边推向另一边的适当的时候,将条件代入,推出被证式的另一边,这种方法称作代入法;二是直接将条件等式变形,变形为被证的等式,这种方法称作推出法.证明条件等式不论使用哪种方法都要盯住目标,据果变形.,返回目录,对应演练,已知tan2=2tan2+1,求证:sin2=2sin2-1.,证明:证法一：tan2=2tan2+1, tan2= .又sin2=tan2cos2,返回目录,证法二：,返回目录,证法三:tan2=2tan2+1, ,证法四：tan2=2tan2+1, 1+tan2=2(tan2+1). sec2=2sec2,2cos2=cos2. 2(1-sin2)=1-sin2. sin

14、2=2sin2-1.,返回目录,返回目录,同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变名、变式. 1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有： （1）弦切互化法主要利用公式tanx= 化成正弦、余弦函数;,高考专家助教,返回目录,（2）和积转换法：如利用(sincos)2=12sincos的关系进行变形、转化； （3）巧用“1”的变换：1=sin2+cos2=cos2(1+tan2)=sin2(1+ )=tan =. 注意求值与化简后的结果一般要