第四章第四次课.ppt

1、为什么？,系统的时间响应与闭环零、极点的分布密切相关。 为了评价系统性能的优劣，就得首先求得系统的闭环零、极点。 然后根据其分布情况估算系统的动态性能和静态性能指标。,系统结构 参数 （ k ),根据系统的 开环零极点,闭环 根 轨 迹,闭环极点位置,系统 性能 分析,利用根轨迹确定闭环极点位置,例： 设单位反馈控制系统的开环传递函数为：,若要求闭环系统的阻尼比=0.5,求系统闭环极点。,解：,（1）根据根轨迹画法基本规则做根轨迹图；,（2）在根轨迹图上画出阻尼比线；,（3）求出根轨迹与阻尼比线的交点得到闭环主导极点的位置；,（4）根据幅值条件，求出对应的开环增益；,（5）利用闭环特征方程的根

2、之和与根之积确定其它闭环极点。,1. 等阻尼线的概念 2. 利用根轨迹幅值条件求开环增益K 3. 主导极点的概念 4. 特征方程的根之和与根之积 (开环极点之和 = 闭环极点之和）,（闭环极点之积 = （-1）n特征方程常数项,根轨迹幅值方程：,即：开环增益,阻尼比线,一对闭环主导极点,从图中交点读闭环主导极点为：,根据幅值条件确定开环增益：,特征方程,利用根轨迹确定闭环极点进而分析系统的性能,例： 设单位反馈控制系统的开环传递函数为,试应用根轨迹法求取具有阻尼比=0.5的共轭闭环主导极点和其他的闭环极点，并估算此时系统的性能指标。,解： 将开环传递函数改写为零、极点的形式：,式中：kg=2k

3、, k为开环传递函数，kg为根轨迹增益。,根据根轨迹绘制规则，做根轨迹如下： 三条分支，实轴上分支包括:-1,0,-,-2 根轨迹在实轴上的分离点为（-0.422，j0) 与虚轴有交点（0，2j)，(0, -2j), 与虚轴交点处的k=3, 根轨迹渐近线与实轴交点（-1，0），夹角60,为了确定满足=0.5的3个闭环极点，首先做等阻尼线，它与负实轴的夹角为=60. 从根轨迹图中读取等阻尼线与根轨迹的交点坐标 ： （该交点即闭环极点） -s1=-0.33+j0.58 ; -s2=-0.33-j0.58 再根据 开环极点 = 闭环极点求得对应的第三个闭环极点为（-2.34）。 根据根轨迹幅值方程求

4、得对应于s1点的根轨迹增益为: Kg = 该点对应的开环传递系数 K= 0.525.,在所求的3个闭环极点中，极点（-2.34）最远离虚轴，它与其他极点距虚轴的距离之比为2.34/0.33=7倍。 可见，共轭闭环极点最靠近虚轴，在系统的暂态响应中起着主导性作用，因而是闭环主导极点。 因此，可以根据由主导极点所构成的二阶系统来估算本三阶系统的性能指标。 根据=0.5以及极点坐标可得：n=0.66 根据结构常数和n，计算指标: Ts=9(s),Mp=16.3%.,系统的稳态误差可根据有关公式直接计算： K p = , K v=0.525 , K a =0 因为系统属于型，所以在阶跃输入下为无差系统

5、，在单位斜坡输入下的稳态误差为 e ss= 1.9.,总 结,系统的开环 零、极点位置,闭环 根轨迹,闭环极点位置,系统参数 （n k ),系统性能 分析,系统性能分析,稳定性分析,稳态误差分析,快速性和平稳性分析,闭环极点分布、kg,、n,G开环、kg,系统闭环零、极点位置 与暂态响应的关系 (见教材155页）,（1）如果系统中存在非常接近的零点和极点，其相互距离比其本身的模值小一个数量级以上，则把这对闭环零、极点称为偶极子。 偶极子的位置距离原点非常近时，其对暂态响应的影响一般需要考虑，但不会影响闭环主导极点的主导作用。偶极子的位置距离原点较远时，其对暂态响应的影响可以忽略。,（2） 除主

6、导闭环极点外的其它极点的存在会增大系统的阻尼比，使响应速度减慢，超调量减少。闭环零点的存在减小系统阻尼，使响应速度加快，超调量增加。,4.5.2 附加开环零点对根轨迹的影响,渐近线与实轴夹角随着 m 的增大而增加。,加入零点使根轨迹有向左方弯曲的趋势。,在控制系统设计中有时为改善系统的性能而增设零点，由此给根轨迹带来明显的改变。,1. 提高了系统的相对稳定性,例： 一个系统的开环传递函数为（见课本p156例）,分析附加一个零点 S+Z 时系统根轨迹的变化,只要选取 P5Z，可以产生类似附加单纯零点的作用，此时增加的零点相对靠近虚轴而起主导作用。,如何实现 附加一个零点？,例 2,设系统的开环传

7、递函数为 如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为,D图零点画错,下面来研究开环零点在下列三种情况下系统的根轨迹：,1. ， 设 ，则相应系统的根轨迹如 图b) 所示。 由于增加一个开环零点，根轨迹相应发生变化。 从根轨迹形状变化看，虽然根轨迹虽然向左弯了些， 但是系统性能的改善不显著，当系统增益超过临界值 时，系统仍将变得不稳定，但临界开环放大系数和临 界频率都有所提高。,2. ，设 z=1.0 ,相应的根轨迹如图 c）所示,此时系统的开环增益取任何值时系统都将稳定。闭环系统有三个极点，如设计得合适，系统将有两个共轭复数极点和一个实数极点，并且共轭复数极点距虚轴较近，即为共轭复数

8、主导极点。在这种情况下，系统可近似看成一个二阶欠阻尼比系统来进行分析。 3. ，设 相应系统根轨迹如图 d）。 在此情况下，闭环复数极点距离虚轴较远，而实数极点却距离虚轴较近，这说明系统将有较低的瞬态响应速度。,从以上三种情况来看，一般第二种情况比较理想，这时系统具有一对共轭复数主导极点，其瞬态响应性能指标也比较满意。 可见，增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的方向发生变形。如果设计得当，控制系统的稳定性和瞬态响应性能指标均可得到显著改善。,2. 增加开环零点对稳态性能的影响,由于增加开环零点改变了系统的开环传递函数，因此会影响系统的稳态性能。 分析见教材158页。,3.

9、 开环零点对根轨迹的影响,增加一个开环零点，对系统根轨迹有以下影响： 1.改变了根轨迹在实轴上的分布 2.改变了渐近线的倾角和分离点 3.若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近，构成开环偶极子，则两者相互抵消，因此，可加入一个零点来抵消有损于系统性能的极点。 4.根轨迹曲线向左移动，有利于改善系统的动态特性。,增加开环极点,渐近线与实轴倾角随着 n 数增大而减小,根轨迹向右方弯曲，减小系统的稳定性范围。,4.5.3 增加极点对根轨迹的影响,增加开环极点的影响,增加一个极点,开环极点对根轨迹的影响,增加一个开环极点，对系统根轨迹有以下影响： 1.改变了根轨迹在实轴上的分布 2.改变了根轨迹的分

10、支数 3.改变了渐近线的倾角和分离点 4.根轨迹曲线向右移动，不利于改善系统的动态特性。而且所加极点越靠近虚轴，这种影响越大。,结 论,系统根轨迹的形状、位置决定于系统的开环零点和极点，因此，可以通过增加开环零点和极点来改造根轨迹，从而实现改善系统的性质。,开环偶极子：如果在系统中存在距离非常接近的零点和极点，其相互距离比其本身的模小一个数量级以上，则把这一对极点和零点称作偶极子。,4.5.4 开环偶极子,在一般情况下，偶极子对系统暂态响应的影响可以忽略不计，但如果偶极子的位置接近原点，其影响往往需要考虑，但它们并不影响系统主导极点的作用。,46 用 MATLAB 绘制系统的根轨迹,一、求开环

11、传递函数的零极点,例：已知系统的开环传递函数,求系统开环零、极点的位置。,num=2 5 1; den=1 2 3; pzmap(num,den); titlepole-zero Map,分子多项式,分母多项式,求零极点函数,打印标题,二、绘制常规根轨迹,例：已知系统的开环传递函数,绘制该系统的根轨迹图,num=2 5 1; den=1 2 3; rlocus(num,den); Title（控制系统根轨图）,分子多项式,分母多项式,绘制根轨迹函数,打印标题,三、绘制带阻尼比和自然振荡频率栅格,例：已知系统的开环传递函数,绘制系统的根轨迹图及带阻尼比和自然振荡频率栅格。,四、系统性能分析,例：已知系统的开环传递函数,绘制系统的根轨迹图并分析系统性能。,作业见课本p163,41、2、3、4、5、6、7、13,小 结,根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）为参变量