河北省2011年高考数学第一轮总复习知识点检测 5.3两角和与差的正弦、余弦及正切公式课件 旧人教版

1、基础梳理,第三节 两角和与差的正弦、余弦及正切公式,典例分析,题型一 化简求值,分析 50、10、80都不是特殊角，但注意到它们的和60、90都是特殊角，因此可考虑用和角公式求其值；另外，正切函数化弦后出现分式，可通过约分去掉非特殊角.,【例1】求2sin 50+sin 10(1+ tan 10) 的值.,解 原式=(2sin 50+sin 10 =2(sin 50+2sin 10 ) cos 10 =2 sin 50cos 10+sin 10cos(60-10) =2 sin(50+10)=2 = .,学后反思 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： （1）化为

2、特殊角的三角函数值； （2）化为正负相消的项，消去项求值； （3）化分子、分母，使之出现公约数进行约分而求值.,举一反三,1. 求sin 50(1+ tan 10)的值.,解析: 原式=sin 50(1+ ) =sin 50 =sin 50 = = =1.,题型二 知值求角,分析 （1）欲求角，应先求其某种三角函数值. （2）从已知条件找出角+2的范围，确定其值.,【例2】已知 3sin 2-2sin 2=0,且、都是锐角，求+2的值.,解 方法一：由 得 即cos 2=3 .又由3sin 2-2sin 2=0, 得sin 2= sin 2. cos(+2)=cos cos 2-sin sin

3、 2 =cos 3 -sin sin =3 cos -3cos =0. 又090,090,0+2270. 故+2=90.,学后反思 解决给值求角问题一般分如下三个步骤： （1）求角的某一个三角函数值； （2）确定角所在的范围； （3）确定所求角的值.,举一反三,方法二：由 得3 =cos 2, 又由3sin 2-2sin 2=0得 sin 2=sin 2, 得tan =cot 2.090,0290. cot(90-)=cot 2,又090-90,0290， +2=90.,2. 已知tan = ,tan = ,并且、均为锐角，求+2.,题型三 知值求值,解析：tan = 1,tan = 1,且、

4、均为锐角， 0 ,0+2 .又tan tan(+2)= +2= .,【例3】已知0 ,且cos(- )=- ,sin( -)= , 求cos(+)的值.,分析 要求的是cos(+)的值，已知条件不能直接利用，观察知 道(- )-( -)= ，这样就可以先求出 的正弦值或余 弦值，再通过余弦的二倍角公式将问题解决.,解0 ,- ( ,). 又cos(- )=- 0, - ( ,),sin(- )= . -(- , ),sin( -)= 0, -(0, ),cos( -)= . =(- )-( -), cos =cos(- )-( -) =cos(- )cos( -)+sin(- )sin( -)

5、 = cos(+)=,举一反三,学后反思 三角恒等变换中经常用到角度变换，如：=(+）-=（-)+,2=(+)+(-)=(+)-(- ),+=2 , =(- )-( -)等，通过这些角的变换实现 利用已知条件达到整体求解的目的.如本题中通过 =(- )- ( -)实现了问题的转化，考生复习该部分时要注意领会这种思想.,3. 已知sin sin =16,( ,),求sin 4.,解析：方法一：sin sin =sin cos = , sin( +2)= ,即cos 2= . ( ,),2(,2)， sin 2=- sin 4=2sin 2cos 2=- .,题型四 实际应用,方法二：由条件得 (

6、cos +sin ) (cos -sin )= , 即 ,cos 2= . 由2(,2)得sin 2= ，sin 4=- .,【例4】(12分)已知在ABC中，tan A+tan B+ = tan Atan B, 且sin Acos A= ,试判断此三角形的形状.,分析 提取系数 ，与tan(+)= 相联系.,解 sin Acos A= sin 2A= ,0A,.2 A=30或60.4,学后反思 (1)tan +tan =tan(+)(1-tan tan )是一种常用的变化技巧，应熟记. （2）判断三角形的形状可以借助三角函数值之间的关系，另对于判断三角形是钝角或锐角三角形时，应利用余弦值或正

7、切值的正负来判断,尽量不用正弦值来判断.,举一反三,又tan A+tan B=- (1-tan Atan B), tan(A+B)=- , A+B=120.8 当A=30时，B=90，tan B无意义;.10 当A=60时，B=60,ABC为正三角形.12,4. 如图所示，A、B是单位圆O上的点，且B 在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点， A点的坐标为 ,AOB为正三角形. （1）求sinCOA; （2）求cosCOB.,解析: (1)因为A点的坐标为 ,根据三角函数的定义，sinCOA= . (2)因为AOB为正三角形，所以AOB=60. 又因为sinCOA= ,cosCOA= , 所以c

8、osCOB=cos(COA+60) =cosCOAcos 60-sinCOAsin 60 =,【例】若 ,且、为锐角，求+的值.,易错警示,错解 、为锐角, , 0+,+=45或135.,错解分析 上述解法欠严密，仅由sin(+)=22,0+180,而得到+=45或135，但没注意题设中 , .使得0+60,故上述结论是错误的. 实质上本题是由于方法不当导致运算量加大和忽视角的范 围限制而致错.我们若取+的余弦，则易求得cos(+)= , 又由于0+,故+= .这样就避免了上述角的范围的 探求.因此在求角时一定要结合条件选择角的合适的三角函数， 往往能化繁为简.,正解 由以上求得 ， cos(+)=cos cos -sin sin = . 、为锐角，0+,+= .,考点演练,10. （2009天津和平区模拟） 的值为 .,解析,答案： 1,11. 已知向量m=(cos ,sin )和n=( -sin ,cos ),(,2), 且|m+n|= ,求 的值.,解析： 方法一：,由已知|m+n|= ，得 .,方法二：,由已知,12. (创新题)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于A、