幂、指、对函数集体备课材料

1、幂、指、对函数高三数学集体备课材料一、 考纲要求指数、对数及指、对函数的图像与性质、函数模型及其应用是B级要求，幂函数、函数与方程是A级要求。二、基础知识及有关考点题型知识网络基本初等函数()幂函数有理指数幂整数指数幂无理指数幂运算性质定义对数指数对数函数指数函数互为反函数图像与性质定义定义图像与性质函数的应用函数模型及其应用函数与方程对数函数指数函数几类不同增长的函数模型二分法函数的零点用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型指数与指数函数一、 分数指数幂1 根式如果，那么称为的次实数方根；式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数方根的性质：当n为奇数时，=a.当n为偶数时，=|a|=

2、2分数指数幂（1）分数指数幂的意义:a=，a=（a0，m、n都是正整数，n1）.（2）有理数指数幂的性质：二、指数函数的图像及性质的应用指数函数的定义：一般地，函数y=ax（a0且a1）叫做指数函数.指数函数的图像底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y轴对称.指数函数的性质：定义域：R； 值域：（0，）；过点（0，1）；即x=0时，y=1.当a1时，在R上是增函数；当0a1时，在R上是减函数.画指数函数y=ax（a0且a1）的图像时，应该抓住两点：一是过定点（0，1），二是x轴是其渐近线考点1 指数幂的运算例1计算：解题思路 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算。解析原式考点2 指数函数的图

3、象及性质的应用题型1：由指数函数的图象判断底数的大小例2 下图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的图像，则a、b、c、d与1的大小关系是（ ）A; B；C；D解题思路 显然,作为直线x=1即可发现a、b、c、d与1的大小关系解析 B;令x=1，由图知,即题型2：解简单的指数方程例3 方程的解是_解题思路将方程化为最简单的指数方程解析；在方程的两边同时乘以得，从而得所以题型3：利用函数的单调性求函数的值域例4 已知2（）x2，求函数y=2x2x的值域.解题思路求函数y=2x2x的值域应利用考虑其单调性解析 222（x2），x2+x42x，即x2+3x40，得

4、4x1.又y=2x2x是4，1上的增函数，2424y221.故所求函数y的值域是，.考点3 与指数函数有关的含参数问题例5 要使函数y=1+2x+4xa在x（，1上y0恒成立，求a的取值范围.解题思路欲求的取值范围,应该由1+2x+4x0将参数分离,转变为求函数的最值解析 由题意，得1+2x+4xa0在x（，1上恒成立，即a在x（，1上恒成立.又=（）2x（）x=（）x+2+，当x（，1时值域为（，a对数及对数函数一、 对数的概念如果ab=N（a0，a1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=bab=NlogaN=b（a0，a1，N0）.二、对数的运算性质loga（MN）=logaM+

5、logaN. loga=logaMlogaN.logaMn=nlogaM.（M0，N0，a0，a1）三、对数换底公式：logbN=（a0，a1，b0，b1，N0）.四、对数函数的图像及性质函数y=logax（a0，a1）叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下对数函数的性质：定义域：（0，+）； 值域：R； 过点（1，0），即当x=1时，y=0.当a1时，在（0，+）上是增函数；当0a1时，在（0，+）上是减函数。五、对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称.。考点1 对数式的运算例1已知用表示 解题思路应设法对数换底公式将换成以常用对数，并且设法将12

6、与45转化为2、3来表示解析考点2对数函数的图像及性质题型1：由函数图象确定参数的值例2 函数ylog2ax1（a0）的图象的对称轴方程是x2，那么a等于( )A.;B.;C.2;D.2解题思路由于函数图象的对称轴方程是x2,所以可以利用特殊值法求解解析 如利用f（0）=f（4），可得0=log2|4a1|.|4a+1|=1.4a+1=1或4a+1=1.a0，a=.故选B题型2：求复合函数值域及单调区间例3 已知f（x）=log3(x1)2，求f（x）的值域及单调区间.解题思路通过研究函数f（x）的单调性解析 真数3(x1)23，log3(x1)2log3=1，即f（x）的值域是1，+）.又3

7、(x1)20，得1x1+，x（1，1时，3(x1)2单调递增，从而f（x）单调递减；x1，1+）时，3(x1)2单调递减，f（x）单调递增.考点3 指数、对数函数的综合应用题型1：利用对数函数的复合函数的单调性求值域 例4 已知x满足, 函数y的值域为, 求a的值解题思路欲求a的值就设法寻找a的等式，但是这里没有等式，我们应该利用函数的单调性，求出其值域，依据已知条件寻求关于a的不等式组解析 由由y, 当时, 为单调增函数, 且,此时a的值不存在. 当时, 为单调减函数,，.题型2：指数函数与对数函数的反函数关系例5设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4x2）的单调递增区间为（ ）A

8、.0，+）；B.（，0；C.0，2）；D.（2，0解题思路 先根据对数函数与指数函数互为反函数写出函数f（x）的表达式，然后再研究复合函数的单调性求其单调递增区间解析显然，从而得，其定义域为.时，单调递增；时，单调递减.故选C幂函数一、幂函数的概念一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数二、幂函数的图像及性质定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减幂函数（R，是常数）的图像在第一象限的分布规律是：所有幂函数（R，是常数）的图像都过点；当时函数的图像都过原点；当时，的的图像在第一象限是第一象

9、限的平分线（如）；当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如）当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如）当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线（如）题型1：利用幂函数的单调性比较大小 例1已知，试比较的大小；解题思路欲比较这几个数的大小，因为它们的指数相同，应考虑某个幂函数的单调性解析 在上单调递增，又 .题型2：由幂函数的性质确定解析式 例2 已知函数f(x)=x(pZ)在(0,+)上是增函数，且在其定义域上是偶函数。（1）求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式。（2）对于（1）中求得的函数f(x)，设函数g(x)=qff(x)+(2q1)f(x)+1，问是否存在实数q(q

10、0。f(x)在(0,+)上是增函数，p2+p+0 解得：1p0关于x的方程4x+2x a+a+1=0有实数根等价于方程t2+at+a+1=0(t0)有正实数根,令f(t)= t2+at+a+1，且故方程t2+at+a+1=0(t0)有正实数根等价于（1）方程有一个正根一个负根：由f(0)0,得a0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中： (1) 方程fg(x)=0有且仅有三个解； (2) 方程gf(x)=0有且仅有三个解； (3) 方程ff(x)=0有且仅有九个解； (4)方程gg(x)=0有且仅有一个解。-aaxyy=g(x)Oa-a-aaxyy=f(x)Oa-a那么，其中正确命题的个数是（ )A 1;B. 2;C. 3;D. 4解析 B；由图可知，由左图及fg(x)=0得，由右知方程fg(x)=0有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及gf(x)=0得，由左图知方程gf(x)=0有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及ff(x)=0得，又由左图得到方程ff(x)=0最多有三个解，故(3)