函数专题2-函数的性质奇偶性单调性.ppt

1、第2讲函数的性质1 奇偶性、单调性,【知识要点】 1函数的奇偶性定义：一般地，如果 ： (1)都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数； (2)都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,f(x)f(x),f(x)f(x),2奇函数的图象是关于 成 对称图形，若奇函数的定义域含有数0，则必有 ； 偶函数的图象是关于 成 对称图形，对定义域内的任意x的值，则必有 ,原点,中心,f(0)0,y轴,轴,f(x)f(x)f(|x|),3一般地，如果一个函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于x 对称；若函数f(x)满足 ，则函数f(x)的图象关于 对称

2、,f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax),xa,4函数的周期性的定义：设函数yf(x)，xD.如存在非零常数T，使得对任意的xD都有 ，则函数f(x)为周期函数，T为yf(x)的一个周期若函数f(x)对定义域中任意x满足f(xa)f(x)或f(xa) (a0)等，则函数f(x)是 ，它的一个周期为 .,f(xT)f(x),周期函数,2a,题型一 判断函数的奇偶性,典例剖析,题型二 奇偶性的应用,典例剖析,典例剖析,题型三 周期性、对称性的应用,典例剖析,5设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5) .,典例剖析,6.对函数f

3、(x)，当x(，)时，f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0. (1)试判断函数yf(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)0在闭区间2013,2013上的根的个数，并证明你的结论,典例剖析,【分析】由已知f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)知f(x)的图象有两条对称轴x2和x7，从而知f(x)是周期为10的周期函数，又在区间0,7上，只有f(1)f(3)0，画图易知，它是非奇非偶函数，且在一个周期0,10)上只有2个根，故易求得方程f(x)0在2013,2013的根的个数,【解析】(1)由已知得f(0)0， f(x)不是奇函数，又由f(2x

4、)f(2x)， 得函数yf(x)的对称轴为x2， f(1)f(5)0，f(1)f(1)， f(x)不是偶函数 故函数yf(x)是非奇非偶函数,又f(3)f(1)0，f(11)f(13)f(7)f(9)0， 故f(x)在0,10和10,0上均有两个解，从而可知函数yf(x)在0,2013上有404个解，在2013,0上有402个解，所以函数yf(x)在2013,2013上有806个解,【点评】1.本题主要考查函数的对称性、周期性、奇偶性、方程的根等基础知识，以及函数与方程，化归与转化等数学思想方法和逻辑推理能力，运算能力等 2函数的奇偶性与周期性是函数的两个重要性质，它们又存在着一定的联系，特别

5、是存在两个与y轴平行的对称轴的函数，一定是一个周期函数，且最小正周期就是相邻两条对称轴之间距离的2倍，本题第(2)问的关键是发现f(x)是以10为周期的周期函数,1函数的奇偶性、周期性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数、周期函数的定义，必须注意以下几点： (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称，周期函数的定义域是无界的 (2)f(x)f(x)或f(x)f(x)和f(xT)f(x)(T0)是定义域上的恒等式 (3)若T是f(x)的一个周期，则kT(k0，kZ)也是f(x)的周期,方法总结,2f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是周期函数，则f(x)的图象周期性重复出现,3判断函数的奇偶性的方法：定义法、图象法、性质法