概率与数理统计课件.ppt

1、概率与数理统计课件,天津科技大学理学院数学系,第十五单元 正态分布,第十五单元 正态分布总结,教学目的：掌握正态分布和中心极限定理. 教学重点：掌握正态分布的概念、数字特征及其线形性质. 教学难点：中心极限定理的应用. 知识要点回顾：,正态分布 的概念，标准正态分布的概率密度和分布函数. 若 ， 则 . 若 ，则 . 若 ，则 . 若 相互独立，且 则 .,二维随机变量 ，其中 则 与 相互独立的充分必要条件是 中心极限定理. 当n充分大时，独立同分布的随机变量 的和 近似 服从正态分布 特别是，当 n充分大时，若相互独立的随机变量 都服 从“0-1”分布，则 服从二项分布 ，近似服从正态分布

2、,正态分布典型例题,下一页,总 结,上一页,正态分布典型例题解答,下一页,解： (1) (2) (3) (4) 服从正态分布，且 ，所以,返回,(5) (6),注：要熟悉掌握正态分布的定义和性质。,正态分布典型例题解答,2. 某工厂生产的电子管的寿命 (小时)服从 , 若要求概率 允许 最大为多少？ .,解： 于是，要使 ，即 ， 或 ，反查标准正态分布表得 ，因为 是单调非降函数，所以 ，得 ，故允许 最大为31.25.,注：计算公式根据实际需要可以从两方面使用。,返回,返回,正态分布典型例题解答,解： 所以随机变量的概率密度为,3. 某物体的温度T(。F)是一个随机变量，已知 ，又随机变量

3、S(。 C)满 足 ，求S的概率密度。,注：正态分布的定义与性质要牢记。,正态分布典型例题解答,返回,4. 设随机变量 ，求随机变量 的概率密度。,解：当 时， 所以， 当 时， ，得 . 随机变量的概率密度为,正态分布典型例题解答,下一页,5. 设二维连续随机变量 的联合概率密度 求边缘概率密度。问随机变量 与 是否独立？,解：先求边缘概率密度 说明,当 时， 令 ，所以，当 时,返回,注：积分中有时会遇到 函数，应了解 函数的定义及简单性质。,正态分布典型例题解答,返回,6. 用中心极限定理近似计算概率： (1) 设独立同分布随机变量 都服从 的泊松分布，求 (2) 2000件产品中有40

4、件次品，按放回抽样连取100件，其中次品数 为随机变量，求,解： (1) 近似服从正态分布 ，所以 (2) 随机变量 ，其中 ，由中心极限定理， 近似服从 ，所以,正态分布典型例题解答,返回,7. 一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为200.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。,解：设 是一部件的第 部分的长度 ，部件总长度 ， 随机变量 ， 相互独立且具有同一分布. 已知 ， ，由中心极限定理， 部件长度 近似服从 ，则所求概率为,注：一个总的随机变量能分解成相互独立且具有同一分布的随机变量之和，只要知道分布的数学期望与方差，就可以利用中心极限定理来计算相关概率。,正态分布典型例题解答,返回,8. 某产品成箱包装，每箱重量是随机变量。假设每箱平均重量为50千克，标准差为5千克。若用载重为5吨的汽车承运，试问每辆汽车最多可运多少箱，才能保证不超载的概率大于97.7%.,解：设 是第 箱的重量 ，各箱重量相互独立，n 箱总重量 . 已知 由中心极限定理，总重量 近似服从正态分布 ，则所求概率为 或 得 解出 从而，每辆汽车最多装98箱才能够保证不超载的概率大于97.7%.,总 结,正态分布是理论上与实际应用中最重要的分布。应熟记一维正态随机变量的概率密度