第4章 杆系结构单元.ppt

1、第四章 杆系结构单元,杆系结构是由一些杆件单元组成。主要结构类型有：梁、拱、框架、桁架等，如图（4-1）所示。,图（4-1）,拱,框架,桁架,本章主要内容是： 结构离散为单元的有关问题 单元（局部）坐标系和结构（整体）坐标系 单元坐标系中各类杆件单元的特性：单元刚度 矩阵、等价节点力矩阵等。 坐标变换矩阵及结构坐标系中的单元特性。,2、编号 （1）节点编号 节点编号应按正整数不间断逐点编号。编号时力求单元两端点号差最小，以便使结构刚度矩阵元素集中在主对角线附近，后面结构刚度矩阵组集中有详细说明。,4.1 结构离散,1、离散方法 取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。 相邻两节

2、点间的杆件段是单元。 杆件结构的单元一般只有2个节点。,（2）单元编号 单元也要逐个依次编号。谁前谁后按实际情况而定。,3、记录基本信息 应建立一个数据文件（DATA.*）来记录基本信息，以便计算时调用。基本信息包括： （1）单元总数（NE）、节点总数（NJ）、节点自由度数（NDF）。 （2）弹性模量（E）、波桑系数（AMU）。 （3）单元I端节点号IO（NE）、 J端节点号JO（NE） （4）有约束的节点数（ NRJ ）、有约束的节点号（KRJ(NRJ)）、受约束的自由度（KRL(NDF, NRJ)）。,（5）单元截面面积（A）、截面惯性矩（ZI） （6）节点坐标：X(NJ)、Y(NJ) （

3、7）分布力荷载集度qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE) （8） 受集中力作用的节点数（MJL）、受集中力作用的节点号（NJL（MJL）、集中力数值（VJL（NDF，MJL）。,DATA.FRA (1) NE、NJ、NDF 25, 18, 3 (2）E、AMU 3.25e7, 0.15 (3）IO（NE）、JO（NE） 1, 4, 4, 7, 7, 10, 10,13, 13,16, 2, 5, 5, 8, 8, 11, 11,14, 14,17, 3, 6, 6, 9, 9, 12, 12,15, 15,18, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10,11, 11, 12

4、, 13,14, 14,15, 16,17, 17,18 (4）NRJ 、KRJ(NRJ)、（KRL(NDF,NRJ)） 3， 1,2,3, 9*1 A(NE)、ZI(NE) X(NJ)、Y(NJ) qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE) (8) MJL, NJL(MJL), VJL(NDF,MJL) 数据填写顺序应和程序对应。,4、示例,练习 对平面铰接桁架进行结构离散，并作出数据文件。,已知：E=2.1109kN/m2 P1=P3=10kN, P2=50kN, 15cm2 (斜杆） A = 65cm2 (上下弦杆） 40cm2 (竖杆）,4.2 单元（局部）坐标系,杆系结构单元在结构

5、中的位置是复杂的。如图（4-1）桁架所示。,图（4-1）,如果每一个单元都在统一的整体坐标系XY中写单元刚度矩阵。可能导致结构中处于不同位置的同一类型单元，其单元刚度矩阵不相同。这不利于计算机编程运算。,杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型。它们都只有2个节点i、j。,约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则（图4-2）,容易理解，采用适合于单元具体方位的坐标系将会改善上述状况，得出规格化的结果。这种属于每个单元的坐标系称为单元坐标系，也称局部坐标系。,为了便于对单元坐标系中的单元特性进行识别

6、，引入以下符号：,e单元坐标单元位移 Fe单元坐标单元力 ke单元坐标单元刚度矩阵,单元的2个节点中取任何一个作为i均可，只要指定好i节点和j节点，x轴的 正向就确定了。 对于梁单元， y轴和z轴 分别为横截面上的两个惯性主轴。,下面，开始讨论几种杆系结构单元在单元坐标中的一些特性。,4.3 铰接杆单元,图4-3示出了一维铰接杆单元，横截面积为A，长度为l，弹性模量为E，轴向分布载荷为qx。单元有2个结点i，j，单元坐标为一维坐标轴x。,1、一维铰接杆单元,单元力向量为：,（4-2）,（1）位移模式和形函数, 位移模式,单元结点位移向量为：,（4-1）,因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自

7、由度，因此单元的位移模式可设为：,（4-3）,式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件 x=xi 时， u=ui x=xj 时， u=uj 确定。,由此可确定a1、a2 。再将其代入式（4-3），得,（4-4）,a1,a2, 形函数,将式（4-4）改写为下列形式,（4-5）,式中e由式（4-1）确定，形函数N为,（4-6）,（2）应变矩阵,一维铰接杆单元仅有轴向应变,将式（4-5）、（4-6）代入上式，得,上式也可写为,（4-7）,式中B为应变矩阵,（4-8）,由应力应变关系,（3）应力矩阵,将式（4-7）代入上式，得,（4-9）,式中S为应力矩阵,（4-10）,(4) 等价节点力,单元上作

8、用分布力qx，则等价节点力计算公式仍为以下形式,当分布力集度qx为常数时，有,（4-11）,式（4-11）概念是将分布力引起的合力按静力等效原则分配到单元节点上。由于位移模式是线性函数，因此按公式（4-11）计算结果与静力等效分配是一致的。,(5) 单元坐标单元刚度矩阵,单元坐标单元刚度矩阵仍式（2-33）推出,（2-33）,对于等截面铰接杆单元， dv=Adx A 单元截面面积。 有,将式（4-8）代入上式，得,（4-12）,2、平面铰接杆单元,（1）单元坐标单元位移向量,（2）位移模式和形函数,由于平面铰接杆单元只有轴向力。位移模式同式（4-3）、（4-4）。（y方向位移不引起单元力）,

9、形函数,（4-13）,（3）应变矩阵, 位移模式,（4-7）,应变矩阵 B为,（4-14）,（4）应力矩阵,（4-9）,应力矩阵 S为,（4-15）,(5) 等价节点力,（4-16）,(6) 单元坐标单元刚度矩阵,对于等截面铰接杆单元，,3、空间铰接杆单元,（1）单元坐标单元位移向量,图4-5,（4-18）,（2）形函数,（4-19）,（3）应变矩阵,（4-20）,（4）应力矩阵,（4-21）,(5) 等价节点力,（4-22）,(6) 单元坐标单元刚度矩阵,对于等截面铰接杆单元，,4.4 梁单元,1、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元,图4-5,（1）单元坐标单元位移和单元力, 单元位移,（4-2

10、4）,其中，,vy方向位移，即挠度。 角位移。, 单元力,（4-26）,其中， Q剪力 M弯矩,（4-27）,（2）位移函数和形函数,设单元坐标位移模式为,（4-28）, 位移模式, 形函数,由单元两端点的节点位移条件，解出式（4-28）中的a1、a2、a3、a4。再代入该式，可将位移模式写为以下形式：,梁单元内一点有2个位移： v、,因为， =dv/dx （4-25） 仅一个位移是独立的，取 v 。,（4-29）,式中,（4-30）,（4-31）,（3）应变矩阵, 单元弯曲应变b与节点位移e的关系。 由材料力学知，梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为：,（4-32）,将式（4-29）代入

11、（4-32），得单元弯曲应变和单元位移之间关系,（4-34）,（4-33）,（4）应力矩阵,（4-35）,(5) 等价节点力,对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理。 这里考虑的是把单元上的横向分布载荷转化为等价节点力问题。当梁单元上作用有横向分布荷载qy(x)时（图4-6），,图4-7,qy (x)dx,横向分布荷载qy(x)的势能Vq为：,（4-36）,形函数矩阵由式（4-30）和（4-31）给出。对于具体问题，只要将qy(x)代入上式进行积分即可。表1给出了几种特殊情况的等价节点力。,q,几种横向分布荷载等价节点力 表 1,(6) 单元坐标

12、单元刚度矩阵,梁单元刚度矩阵公式为,将式（4-34）代入上式进行积分，并注意到,Iz梁截面对Z轴（主轴）的惯性矩,得单元坐标单元刚度矩阵ke:,（4-37）,单元刚度矩阵式(4-38)适合于连续梁分析。,2、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元,图4-8,（1）单元坐标单元位移和单元力, 单元位移,（4-39）,其中，,ux方向（轴向）位移。 vy方向位移，即挠度。 角位移。, 单元力,（4-40）,其中， N轴向力 Q剪力 M弯矩,对于小变形问题，可以认 为轴向变形和弯曲变形互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按4.3节一维铰接杆单元和4.4节两端承受剪力、弯矩的平面梁单元的结果（式4-

13、3和式4-28）简单集合而成。,（2）位移函数和形函数, 位移模式,以下形函数和一些基本矩阵都可按此思路推演。,（4-41）, 形函数,式中形函数N为：,（4-42）,（4-43）,其中,（3）应变矩阵, 单元弯曲应变与节点位移e的关系。 承受轴向力、剪力、弯矩的梁单元上任一点的应变，应为该点挠度（v）引起的应变和轴向位移（u）引起的应变之和。,考虑到式（4-8）和（4-34），单元应变矩阵为：,（4-44）,(5) 等价节点力,（4）应力矩阵,（4-46）,应力矩阵形式同式（4-35）：,将式（4-36）、（4-11）膨胀成61矩阵后相加，并注意到式（4-43），有,最后得等价节点力矩阵,（

14、4-47）,表2给出了几种特殊情况的等价节点力。,几种横向分布荷载等价节点力 表 2,(6) 单元坐标单元刚度矩阵,梁单元刚度矩阵公式为,式(4-48)用于分析平面框架。,3、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁 单元,图4-10,此类单元适用于格栅以及受面外荷载的平面框架。之所以仍称为平面梁单元，是由于结构本身是平面结构，而节点也是3个自由度。,x、Mx截面绕扭心轴的扭转角和相应扭矩。 y、My截面绕y轴的弯曲转角和相应弯矩。 w、Q截面形心的横向位移和相应横向剪力。,如果截面形心和扭心不重合，则弯曲和扭转之间是相互不独立的。例如，横向剪力不通过扭心，它会引起对扭心轴的扭矩。,这里只讨论截面

15、形心与扭心重合或可以近似认为重合的情形。则弯曲和扭转之间是相互独立的。,此外，这里的扭转限于纯扭转或称均匀扭转。其特点是扭矩和扭率（单位长度上的相对扭转角）成正比。即,（4-49）,扭矩平衡条件,（4-50）,由此得,（4-51）,式中GJ为截面扭转刚度。,只需要将式（4-48）中的Iz换成Iy，并注意编号次序。同时考虑到式（4-51），即得,4、空间梁单元,空间梁单元，每个节点有6个自由度，单元自由度为12。图4-11给出了空间梁单元节点位移分量的正方向及其编号。单元力的正向及其编号与单元位移相同。,图4-11a,图4-11b,综合前述结果，得空间梁单元单元坐标单元刚度矩阵(式4-53）（式

16、4-57）。,（4-54）,（4-55）,（4-56）,（4-57）,4.5 单元特性在两类坐标系中的转换,在4.3、4.4节中，单元位移和单元力都是按单元坐标系的坐标轴分量定义的，由此建立的单元刚度矩阵属于单元坐标单元刚度矩阵。,进行系统分析时，需要把单元力按统一的结构坐标轴的分量表示出来，以便建立节点平衡方程。因此，在进行系统分析之前，必须把单元坐标系中的单元力以及单元刚度矩阵都转换到结构坐标系中去。此外，还需要把结构坐标系中的节点位移转换到单元坐标系中去，以计算结构内力。因此了解坐标变换是必要的。,设XYZ为结构坐标（整体）系，xyz为单元（局部）坐标系，,约定下列符号：,结构坐标单元位

17、移 F结构坐标单元力 k结构坐标单元刚度矩阵,1、坐标变换矩阵定义,把单元位移从结构坐标系转换到单元坐标系的变换矩阵定义为坐标变换矩阵，用符号R表示。有,继续使用前单元坐标中的符号：,e单元坐标单元位移 Fe单元坐标单元力 ke单元坐标单元刚度矩阵,式（4-58）给出了结构坐标单元位移转换为单元坐标单元位移的转换式，同时是坐标变换矩阵R的定义式。 本节只了解R的存在和概念和相关关系，有关坐标变换矩阵R 的具体形式、内容留在4.6节中专门讨论。,2、结构坐标单元力,单元力在单元位移上作的功，不因其坐标系的改变而变。则有,（4-58）,将式（4-58）代入，,对上式两端进行转置，注意到,消去，得,

18、即得,（4-59）,式（4-59）表明：结构坐标单元力等于单元坐标单元力前乘坐标变换矩阵的转置。,必须指出：式（4-58）是从整体（结构）坐标系到局部（单元）坐标系的变换式；式（4-59）是从局部（单元）坐标系到整体（结构）坐标系的变换式。,在单元坐标系中，有,3、结构坐标单元刚度矩阵,上式两端左乘RT，,注意到式（4-58）、（4-59），有,k结构坐标单元刚度矩阵。 得,（4-60）,式（4-60）给出了把单元坐标单元刚度矩阵转换为结构坐标单元刚度矩阵的转换式。,引入,4.6 坐标变换矩阵计算式,坐标变换矩阵的计算式因单元类型不同而异。,1、平面铰接杆单元,设OXY为结构坐标，oxy为单元

19、坐标。为从单元 i 端出发的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为X、Y；在单元坐标系中的分量为x、y。结构坐标系中的分量X、Y 在单元坐标x轴上投影的代数和给出x 。同理， X、Y 在单元坐标y轴上投影的代数和给出y 。,由图4-12得：,图4-12,（4-61）,写成矩阵形式，,取,x对X、Y的方向余弦 y对X、Y的方向余弦,同理可得单元j节点在单元坐标系和结构坐标系中的位移向量：,有,组合上述结果，得平面铰接杆单元的单元坐标单元位移和结构坐标单元位移之间关系：,i、j两节点间的位移变换关系互不耦合。,上式可写成,坐标变换矩阵R的计算式：,用单元节点在结构坐标系中的坐标值（Xi、Yi和Xj、Y

20、j ）描述方向余弦：,i,j,(e),（4-62a）,式中，（Xi，Yi）和（Xj，Yj）分别为节点i和节点j在结构坐标系中的坐标值。,2、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元,如果在连续梁中使用这类单元，通常可将单元坐标和结构坐标取得一致。此时，无须进行坐标变换。,3、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元,此时，节点自由度为3，见图4-13。,于是得到：,4、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元,此时，xy平面和结构坐标系XY平面仍在同一平面上，因而z轴和结构坐标系的Z轴指向相同，只须取,图4-14,在单元坐标系中，单元每个节点（如i）有3个位移分量： xi、yi和wi,，它的变换式和承受轴力

21、、剪力、弯矩的平面梁单元（图4-13）中向量,的变换式相同。 并且，恒有,向量,，其变换和承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元中的,相同。,由此知：,5、空间铰接杆单元,空间铰接杆单元的每个节点有3个相互垂直的线位移分量（u、v、w）。单元自由度为6，如图4-15。,其中，坐标变换矩阵R的内容与式（4-63）相同。,5、空间铰接杆单元,空间铰接杆单元的每个节点有3个相互垂直的线位移分量（u、v、w）。单元自由度为6，如图4-15。,图4-15,设向量（图4-16）在单元坐标系和结构坐标系两个坐标系中的分量被表示 为：,（1）一般空间铰接杆单元 一般空间铰接杆单元指非竖直杆单元。,图4-16,有,（

22、4-65）,是坐标系的旋转矩阵，是单元坐标轴x、y、z在结构坐标系XYZ中的方向余弦：,11、12、13x轴在结构坐标系XYZ中的方向余弦 21、22、23y轴在结构坐标系XYZ中的方向余弦 31、32、33z轴在结构坐标系XYZ中的方向余弦,（4-64）,容易理解，式（4-64）可代表空间铰接杆中一个节点的节点位移坐标变换。空间铰接杆单元有2个节点，所以坐标变换矩阵一般可表示为：,（4-66）,下面讨论矩阵中，元素ij(i=1、2、3，j=1、2、3)。,对于空间铰接杆单元，无论单元在结构中的位置如何，都可以把单元坐标系的xy面和结构坐标系的XY面取成竖向平面，单元坐标系的z轴和结构坐标系的

23、Z轴同在水平面内（图4-17）。,图4-17,j,x轴在结构坐标系中的3个方向余弦：,jX,jZ,（4-67）,Xi、Yi、Zi节点i在结构坐标系中的坐标 Xj、Yj、Zj节点j在结构坐标系中的坐标,z轴在结构坐标系中的3个方向余弦：,注意到Y轴、x轴和线段ij在同一竖直平面内。z轴在水平面内， z轴与Y轴垂直， z轴也与线段ij垂直。 z轴在结构坐标系中的3个方向余弦为：,代入式（4-67），得,（4-68）,y轴在结构坐标系中的3个方向余弦：,有,因为单元坐标系是右手螺旋坐标系，故有,按矢量乘法规则，即得,于是得,（4-69）,综合式（4-67）、（4-68）、（4-69），得空间铰接杆单

24、元的矩阵,综上所述，一般空间铰接杆单元的坐标变换矩阵由式（4-66）、（4-70）、（4-67）确定。,必须指出：对于竖直空间铰接杆单元，式（4-70）是不能用的，因为112+ 132 =0，将导致计算溢出。,（2） 竖直空间铰接杆单元,竖直的空间铰接杆单元不外有图4-18示出的两种情况：,对于竖直的空间铰接杆单元，单元坐标系中的z轴方向没有特殊限制，水平面内任何方向皆可取作z轴方向。为了计算简便起见，这里规定：,z轴方向与结构坐标系中的Z轴方向相同。,根据图4-18容易确定单元坐标轴x、y、z在结构坐标系中的方向余弦，从而直接得到矩阵：,（4-71）,式（4-71）对于图4-18中的两种情况

25、都适用。对（a）图，12=1；对（b）图， 12=-1。,竖直空间铰接杆单元的坐标变换矩阵R与一般空间铰接杆单元之不同，在于应使用式（4-71）而不要使用式（4-70）去计算矩阵。,6、空间梁单元,和空间铰接杆单元比较，空间梁单元有以下两个特点：,特点1：每个节点有沿单元坐标轴方向的两组位移 向量，即线位移（ui、vi、wi）和角位移 （xi、 yi、 zi）。它们都需要坐标变换。,6、空间梁单元,和空间铰接杆单元比较，空间梁单元有以下两个特点：,特点1：每个节点有沿单元坐标轴方向的两组位移 向量，即线位移（ui、vi、wi）和角位移 （xi、 yi、 zi）。它们都需要坐标变换。,特点2：空

26、间梁单元单元坐标系中的y、z轴是单元横 截面上的两个惯性主轴，可能是不能任意确 定的，因而无法保证z轴一定在水平面内，即 在结构坐标系中的XZ平面内。这就导致矩 阵的计算变得比空间铰接杆复杂得多。,因此，坐标变换矩阵应为：,式（4-72）表明了它和铰接杆单元式（4-66）的第一项区别。,（1）可以使用空间铰接杆单元矩阵的梁单元, 具有轴对称截面的梁单元,这时，截面内过形心的任一根轴皆可作为惯性主轴。因而，恒可z轴取在水平面内。 对于竖直空间梁单元，也可使z轴与结构坐标系的Z轴重合。因而可用竖直铰接杆单元的矩阵（式（4-67）、（4-71） 。, 截面有一根惯性主轴轴在水平面内,这时，可使用一般空间铰接杆单元的矩阵（式（4-70）、（4-67）进行计算。必须指出，如果是单元是竖直的，只要不能保证z轴与结构坐标系中的Z,以下两种情况可以使用铰接杆单元的矩阵。,轴重合，都不能使用竖向铰接杆单