自动控制原理 第3章 控制系统的时域分析[3.4].ppt

1、3.4 线性系统的稳定性分析,常用词汇 稳定性 stability 必要条件 necessary condition 充分条件 sufficient condition,一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须是稳定的。因此。研究系统的稳定性、稳定条件、稳定措施是控制系统的重要内容。 本节内容：用代数的方法判断线性系统的稳定性，分析系统参数变化对稳定性的影响。,线性控制系统稳定性的定义为：,线性控制系统在初始扰动影响下，其动态过程随时间推移逐渐衰减(decay)并趋于零(或原平衡工作点)，则称系统是渐进稳定，简称稳定； 若在初始扰动下，其动态过程随时间推移而发散，则称系统不稳定； 若在初始扰

2、动下，其动态过程随时间的推移虽不能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的某一有限区域内运动，则称系统临界稳定。,临界稳定marginally stable/critical stable,稳定性是表征系统在扰动撤消后自身的一种恢复能力，因而它是系统的一种固有的特性。 指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。,3.4.1 线性系统稳定的充要条件 （sufficient and necessary condition),由于稳定性研究的问题是扰动作用去除后的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特性，因而可以系统的脉冲响应函数来描述。 如果脉冲响应函数是收敛的，即

3、有 (3-52) 表示系统能回到原来的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可见，系统的稳定与其脉冲响应函数收敛是一致的。,如果 (3-53) 则系统是不稳定的。 如果 (3-54) 则系统是临界稳定的。,由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统的复域脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏变换。 令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则其传递函数可写为,(3-55),式中，,式(3-55)用部分分式展开，得 对上式取拉氏反变换，求得系统的时域脉冲响应为,t0,(3-56),由式(3-56)可见， 若系统的特征根全部为负实部(negative real part)根，则式(3-52

4、)成立，系统稳定； 若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的共轭复根，式(3-53)成立，系统不稳定； 若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特征根具有负实部，式(3-54)成立，系统临界稳定。,虚部 imaginary part 负实部 negative real part 复数根 complex root 实根 real root,综上所述，线性系统稳定的充分必要条件是： 闭环系统特征方程的所有根均具有负实部。或者说，闭环传递函数的极点均严格位于s左半平面。,右半平面 right-half plane 左半平面 left-half plane,注意： 对于稳定的线性系统，当输入信号有界

5、时，系统输出必为有界函数。 对于不稳定的线性系统而言，在有界输入信号作用下，系统的输出信号将随时间的推移而发散。,3.4.2 系统稳定的必要条件,令系统的特征方程为 (3-57) 如果方程式的根都是负实根，或其实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。 稳定的必要条件（依系数判稳） ： 在特征方程式中，各项系数均为正值，且无零系数。,设P1、P2、为实数根。 、 、为复数根。其中，P1、P2、和 、 、都为正值，则式(3-57)改写为 即,(3-58),因为上式等号左方所有因式的系数都为正值，所以它们相乘后项必然仍为正值且不会有系数为零项。 反之，若方程式中有一个根为正实

6、根，或一对实部为正的复数根，则由式(3-58)可知，对于方程式s的各次项的系数不会全为正值，即一定会有负系数项或缺项出现。,不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的各项系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。但是对三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。,3.4.3 劳斯稳定判据 (Rouths stability criterion),由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均需具有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成求解特征方程式的根，并检验所求的根是否都具有负实部的问题。 由于求解高阶系统根的工作量很大，所以我们希望有一种不用求解特征方程

7、的根，而是根椐特征方程式的根与其系数间的关系去判别特征根实部的符号（间接的方法）。,设系统的特征方程式为 将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表,由劳斯表的结构可知，劳斯表有 行，第一、二行各元素是特征方程的系数，以后各元素按劳斯表的规律求取。劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在s平面上的具体分布，其结论是： (1) 如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征方程式的根都在s的左半平面(left-half plane)，相应的系统是稳定的。 (2) 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式的根在的s右半平面(rig

8、ht-half plane)上的个数。,例3-2 已知三阶系统特征方程为 判断系统稳定的充要条件。 解：列劳斯表为 根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于零，且bcad。,例3-3 设系统特征方程为 使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出该特征方程的正实部根的数目。 解：列劳斯表如下 因劳斯列表第一列元素符号变化两次，所以该系统不稳定，有两个正实部根。,两种特殊情况：,劳斯表中某行第一项元素等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现会使计算下一行第一元素时出现无穷现象。 解决的办法是以一个很小的正数 代替为零的该项，继续劳斯

9、表的列写。若劳斯表第一行的系数符号有变化，其变化的次数就等于该方程在s右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列 上面的系数与其下面的系数符号相同，则表示该方程有一对共轭虚根(complex-conjugate root)存在，相应的系统也属不稳定。,例3-4 设系统的特征方程为 试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的具体分布。 解：基于方程中s2项的系数为零，s一次项的系数为负值。由稳定的必要条件可知，该方程至少有一个根位于s的右半平面，相应的系统为不稳定。为了确定该方程的根在s平面上的具体分布需应用劳斯判据。根据方程排出下列的劳斯表,由上表可见，其第一列 项上面与下面的符号变化了两次

10、。根据劳斯判据，可知该方程有两个根在s的右半平面。 若用因式分解的方法，把原方程改写为 由上式解得s1,2=1，s3=2，从而验证了上式用劳斯判据所得的结论的正确性。,(2) 如果劳斯表中出现全零行，则表示相应的方程中含有一些大小相等、符号相反的实根(real root)和(或)共轭虚根。 对于这种情况，可利用系数全零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并将这个辅助多项式求导，用导数的系数来代替表中系数为全零的行。 如此，继续计算其余的项，完成劳斯表的排列。 辅助多项式的次数通常为偶数，它表明大小相等、符号相反的根数，而且这些根可利用辅助多项式求出。,例3-5 系统的特征方程为 试判稳。 解：劳

11、斯表如下：,由于s3这一行的元素全为0，致使劳斯表无法继续往下排列。现用它上一行的系数组成如下的辅助多项式 上式对s求导，得,用系数为4和6代替s3这行中相应的0元素，并继续往下计算其他行的元素，完成劳斯表的排列。由劳斯列表第一列元素符号变化一次，可知系统不稳定，有一个正实部根，由P(s)=0得 求得两对大小相等、符号相反的根为 ，显然，这个系统是处于临界稳定(marginally stable/critical stable)状态。,劳斯判据还可以用来判别代数方程式中位于平面上给定垂线 的右侧根的数目。 只要令 并代入原方程中，得到以 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根

12、位于垂直线 的右侧。 用此法可以估计一个稳定系统的各个根中最靠近右侧的根距虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。,例3-6 用劳斯判据检验下列特征方程 是否有根在s的右半平面上，并检验有几个根在垂直线s=1的右方。 解：列劳斯表 由于劳斯表的第一列系数全为正值，因而该特征方程式的根全部位于s的左半平面，相应的系统是稳定的。,令s = z1代入特征方程，经化简后得 因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于直线s=1的右方。列出以z为变量的劳斯表 由上表可见，第一列的符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直线s=1的右方。,3.4.4 赫尔维兹判据,该判据也是根据特征方程的系数来判别系统的稳

13、定性。设系统的特征方程为 以特征方程式的各项系数组成如下行列式,赫尔维兹判据指出，系统稳定的充分必要条件是在 的情况下，上述行列式的各阶主子式 均大于零，即,例3-7 系统的特征方程为 ， 判断系统的稳定性。 解：系统行列式 由赫尔维兹判据，该系统不稳定。,例3-8 系统的特征方程为 ，判断系统的稳定性。 解：系统行列式 由赫尔维兹判据可知系统稳定的充要条件为 由上式可知二阶系统稳定的充要条件是特征方程的所有系数均大于零。,设系统特征方程为：,s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,劳 斯 表,(64)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,0,(6-14)/1= -8,-

14、8,劳斯表介绍,劳斯表特点,1 右移一位降两阶,2 次对角线减主对角线,3 分母总是上一行第一个元素,4 一行可同乘以或同除以某正数,劳斯判据,系统稳定的必要条件:,有正有负一定不稳定!,缺项一定不稳定!,系统稳定的充分条件:,劳斯表第一列元素不变号!,若变号系统不稳定!,变号的次数为特征根在s右半平面的个数!,均大于零!,劳斯表出现零行,设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳 斯 表,5,1,7,5,6,6,6,0,1 劳斯表何时会出现零行?,2 出现零行怎么办?,3 如何求对称的根?,s2+1=0,对其求导得零行系数: 2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系

15、统稳定,错啦!,由综合除法可得另两个根为s3,4= -2,-3,例3-z 已知系统的特征方程式为 试判别相应系统的稳定性。 解 根据方程列劳斯表 由于表中第一列上面系数的符号与其下面系数符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。,把上述方程分解成为因式相乘的形式，即有,于是得方程的根为 . 这与用劳斯判据所得的结论是相吻合的。,1 3 5 2 4 0 5 0 5 系统不稳定，且有两个正实根。,例3-解,END,6.劳思判据的应用,1、劳思判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的位置，但实际上，若负实部特征方程式的根紧靠虚轴，由于 很小，系统的动态过程将具有缓慢的非周期性

16、或强烈的振荡特性。为了改善系统性能，常常希望在S左半平面上系统特征根的位置与虚轴之间有一定的距离。为此，我们作一条 的垂线。而a是系统特征根位置与虚轴之间的最小给定距离，通常称为稳定度或稳定裕量 然后用新变量s1=s+a代入原系统特征方程，得到以S1为变量的新特征方程，对新特征方程用劳思判稳。,利用劳思表求系统的稳定裕度，还可以确定系统一个或两个参数对系统稳定性的影响。,例 3-y 用劳斯判据检验下列特征方程 是否有根在s的右半平面上，并检验有几个根在垂直线 的右方。 解 列劳斯表,由于劳斯表的第一列系数全为正值，因而该特征方程式的根全部位于的左半平面，相应的系统是稳定的。 令 代入特征方程，

17、经化简后得 因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于直线 的右方。列出以z为变量的劳斯表 由上表可见，第一列的符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直线 的右方。,两个判据的一致性 系统的特征方程式的标准形式： 构造胡尔维茨行列式D,胡尔维茨稳定判据：特征方程式的全部根都在左半复平面的充分必要条件是上述行列式D的各阶主子式均大于0，即,与劳斯表中第1列的系数比较，存在如下关系： 若 均为正，则D1，D2，Dn自然也都为正，反之亦然。可见劳斯稳定判据和胡尔维茨稳定判据实质是一致的。 当n 较大时，胡尔维茨判据计算量急剧增加，所以它通常只用于 的系统。 END,3.5 线性系统的稳态误差,控制

18、系统稳态误差（steady-state error）是系统控制准确度（控制精度）的一种度量，通常称为稳态性能（steady-state characteristic ） 。 在分析与设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。 只有系统稳定，研究稳态误差才有意义。,线性系统由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差叫原理性稳态误差。由于非线性因素所引起的系统稳态误差叫附加稳态误差，或结构性稳态误差。无差系统:阶跃函数作用下，没有原理性稳态误差有差系统：有原理性稳态误差,误差与稳态误差 （3-70）两种定义（从输入端，从输出端） （3-71）,误差定义（两种）,输入端定义：,E(s)=R(s)-

19、B(s)=R(s)-C(s)H(s),输出端定义：,E(s)=R(s)-C(s),En(s)=C希-C实= Cn(s),误差的时域表达式 （3-72） 为系统误差传递函数 （3-73）在误差信号中，包含瞬态分量 和稳态分量 两部分。控制系统的稳态误差定义为误差信号的稳态分量 ，常以 简单标志。,如果有理函数 除在原点处有唯一的极点外，在s右半平面及虚轴上解析，即 的极点均位于左半平面（包括坐标原点），亦即系统稳定，则可根据拉氏变换的终值定理，由式（3-73）方便地求出系统的稳态误差： （3-74）由于上式算出的稳态误差是误差信号稳态分量 在t趋于无穷时的数值，故有时称为终值误差。它不能反映 随

20、时间的变化规律，具有一定的局限性。,例3-10 单位反馈，开环传递函数求稳态误差。解（a） 由式（3-73）显然， 在s=0处有一极点。求反变换得其中， ，随时间增长逐渐减到零； 表明稳态误差 。,(b) 显然， 。由于正弦函数的拉氏变换式在虚轴上不解析，所以此时不能应用终值定理法来计算在正弦函数作用下的稳态误差，否则得出 的错误结论。,2.系统类型 由稳态误差通式（3-74）可见，稳态误差数值与开环传递函数的结构和输入信号的形式密切相关。 对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数描述的系统结构。因此，按照系统跟踪输入信号的能力来进行系统分类是必要

21、的。一般情况： （3-75） v为开环系统在s平面坐标原点上的极点的重数。,以v的数值来划分：v=0称为0型系统；v=1称为型系统；v=2称为 型系统。这种分类方法的优点在于：可根据已知的输入信号形式，迅速判断系统是否存在原理性误差及稳态误差的大小。,必有 时，因此，式（3-75）可改写为 （3-76） 系统稳态误差计算通式则表示为 （3-77）上式表明，影响稳态误差的诸因素是：系统型别，开环增益，输入信号的形式和幅值。,为了便于讨论，令,3.阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数由式（3-77）可算得显然，稳态误差是希望输出1与实际输出之间的位置误差。 采用静态位置误差系数 表示各型系统

22、在阶跃输入作用下的位置误差。,根据式（3-74）， 时，有 （3-78）式中， （3-79）称为静态位置误差系数。各型系统的静态位置误差系数为如果要求系统对于阶跃输入不存在稳态误差，则必须选用I型及I型以上的系统。,习惯上常把系统在跃输入作用下的位置误差称为静差。因而0型系统-有静差系统，零阶无差度系统1型系统-一阶无差度系统2型系统-二阶无差度系统,4.斜坡输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数,根据式（3-74），得 （3-80） 式中， （3-81） 称为静态速度误差系数。 式（3-80）表示的稳态误差常称为速度误差。,例3-11 一非单位反馈系统， 试分别确定当 和 时，系统输出端的稳

23、态位置误差。解： 0型系统,5.加速度输入作用下的稳态误差与静态加速度误差系数 （3-83）,称为静态加速度误差系数。 由式（3-83）表示的稳态误差 称为加速度误差。,静态误差系数定量描述了系统跟踪不同形式输入信号的能力。如果系统承受的输入信号是多种典型函数的组合，例如则根据线性叠加原理，可将每一分量单独作用于系统，再将各稳态误差分量叠加起来，得到,例3-12 位置随动系统计算 时，系统的稳态误差。解： I型相应的稳态误差分别为物理解释,取不同的,r(t)=R1(t),r(t)=Vt,r(t)=At2/2,型,0型,型,R1(t),Vt,0,0,0,At2/2,k,k,0,静态误差系数,稳态

24、误差,小结：,1,2,3,非单位反馈怎么办？,啥时能用表格？,表中误差为无穷时系统还稳定吗?,6.扰动作用下的稳态误差,原因：负载转矩的变动； 放大器的零位和噪声。 控制系统在扰动作用 下的稳态误差，反映了 系统抗干扰的能力。 由于在扰动信号 作用下系统的理想输出应为零，故该非单位反馈系统响应扰动 的输出端误差信号为 （3-85） 当 在S右半平面及虚轴上解析时，可以采用终值定理法计算系统在扰动作用下的稳态误差。,例3-13 求系统的稳态误差解：I型系统，令N（S）=0，则系统对阶跃输入的稳态误差为零。如令R（S）=0，则系统在阶跃扰动下输出量的实际值为而输出量的希望值为零，因此，误差信号系统

25、在阶跃扰动作用下的稳态误差 （3-86）,物理意义：稳态时，比例控制器产生一个与扰动转矩 大小相等而方向相反的转矩 以进行平衡，该转矩折算到比较装置输出端的数值为 ，所以系统必定存在常值稳态误差 。,7.减少或消除稳态误差的措施,减小和消除误差的方法(1,2),（ 1 ） 按扰动的全补偿,令R(s)=0,En(s) = -C(s) =,令分子=0，得Gn(s) = - (T1s+1)/k1,这就是按扰动的全补偿,t从0全过程,各种干扰信号,（2） 按扰动的稳态补偿,设系统稳定，N(s)=1/s ,则,Gn(s)= -1/k1,令N(s)=0, Er(s)=,令分子=0，得Gr(s)=,s (T

26、2s+1)/ k2,（3） 按输入的全补偿,设系统稳定，R(s)= 1/s2 则,（4） 按输入的稳态补偿,减小和消除误差的方法(3,4),例3-14分别计算系统在单位阶跃转矩扰动和斜坡转矩扰动下的稳态误差。解：该比例-积分控制系统对扰动作用为1型系统，在阶跃扰动作用下不存在稳态误差，而在斜坡扰动下存在常值稳态误差。,设 的极点位于S左半平面，则可用终值定理法求得稳态误差。当 时，当 时，,显然，提高比例增益可以减小斜坡转矩扰动下的稳态误差，但的增大要受到稳定性要求和动态过程振荡性要求的限制。系统采用比例-积分控制器后，可以消除阶跃转矩扰动下的稳态误差。物理意义：由于控制器中包含积分作用，只要

27、稳态误差不为零，控制器就一定会产生一个继续增长的输出转矩来抵消阶跃转矩扰动的作用，力图减小这个误差，直到稳态误差为零，系统取得平衡而进入稳态。,在斜坡转矩扰动作用下，系统存在常值稳态误差的物理意义：由于转矩扰动是斜坡函数，因此需要控制器在稳态时输出一个反向的斜坡转矩与之平衡，这只有在控制器输入的误差信号为一负常值时才有可能。实际系统总是同时承受输入信号和扰动作用的。由于是线性系统，因此总的稳态误差将等于输入信号和扰动分别作用于系统时，所得得稳态误差的代数和。,第五章 控制系统的误差分析,5.1 误差的基本概念,5.2 稳态误差系数,5.3 动态误差系数,5.4 扰动作用下的稳态误差,5.5 提

28、高稳态精度的措施,偏差与误差,例1,课堂练习1,例2,定义,课堂练习2,偏差与误差,偏差,误差,误差:输入信号作用下的系统响应,稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量,控制信号作用下,扰动作用下,5.1 误差的基本概念,系统在控制信号作用下的稳态误差,稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量,系统在扰动作用下的稳态误差,稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量,例1,sE(s)的极点不全部分布在S平面的左半部,终值定理,例2,磁盘驱动器需用电机来驱动读/写磁头,以使磁头在旋转的磁盘上对磁道进行准确定位.如检测环节、比较环节的增益为1，电机和磁头的组合可以表示为: ，其中 =

29、0.001s；,2003年硕士入学试题,(a)试说明工作原理； (b)试计算当预期输入为单位阶跃信号时,磁头位置的稳态误差； (c)选择K,使磁头在斜坡输入10cm/s时,保持其稳态位置误差小于0.1cm。,定义,系统结构对稳态误差的影响,Bode图上的稳态误差系数,位置、速度、加速度,系统在控制信号作用下,5.2 稳态误差系数,稳态误差系数,单位阶跃输入,单位斜坡输入,单位抛物线输入,稳态位置误差系数,稳态速度误差系数,稳态加速度误差系数,V=00型系统 V=1I型系统 V=2II型系统,稳态误差系数和稳态误差,系统结构对稳态误差的影响,0型系统的稳态误差,有差系统,V=0,I型系统的稳态误

30、差,一阶有差系统,V=1,II型系统的稳态误差,二阶有差系统,V=2,稳态误差系数和稳态误差,系统在控制信号作用下,减小和消除稳态误差方法 提高系统的开环增益 增加开环传递函数中积分环节,系统的稳定性,注意: (1) 尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。,(2) 如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。例1、例2,(3) 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误差等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。,例3,例：I型单位反馈系统的开环增益K=600s-1,系统最大跟踪速度max =24/s，求系统 在最大跟踪速度下的稳态误差。,解：单位速度输入下的稳态误差,I型系统,系统的稳态误差为,例：阀控油缸伺服工作台要求定位精度为0.05cm,该工作台最大移动速度vmax =10cm/s，若系统为I型，试求系统开环增益。,单位速度输入下的稳态误差为,系统的开环增益,系统首先