高中数学教程双曲线

1、双曲线及其标准方程（一）双曲线及其标准方程（一） 目的：目的： 1使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力； 3使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 4使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等） ； 5培养学生发散思维的能力 重点：重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用 难点：难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组 内容分析内容分析： “双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程” 、 “椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知 识，也是中学解析几何中学习的

2、重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用， 大纲明确要求学生必须熟练掌握 本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一 步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法 双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握 而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是 理解和记忆标准方程的关键应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和 基本能力的必要环节 坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结 合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具犹如前面学习的圆和圆锥曲线一样，双曲线也是一种 动

3、点的轨迹 双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好 地结合在一起 因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育 双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的 例 1；第二课时主要是课本中的例 2、例 3 及几个变式例题 一、复习引入：一、复习引入： 1 椭圆定义：平面内与两个定点F 1 ,F 2 的距离之和等于常数（大于| F 1F2 |）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定 点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段） 两定点间距离较短，则所画出的

4、 椭圆较圆（圆） 椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关 x2y2y2x2 222 2.椭圆标准方程： （1） 2 2 1 （2） 2 2 1 其中a c b abab 二、讲解新课：二、讲解新课： 1双曲线的定义：平面内到两定点F 1,F2 的距离的差的绝对值为常数（小于F 1F2 ）的动点的轨迹叫双曲线 即MF 1 MF 2 2a 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 概念中几个容易忽略的地方： “平面内” 、 “距离的差的绝对值” 、 “常数小于F 1F2 ” 在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离 较短（大于定差） ，则所画出

5、的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差 有关 2双曲线的标准方程： 根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动 点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下： （1）建系设点； （2）列式； （3）变换； （4）化简； （5） 证明 取过焦点F 1，F2 的直线为x轴，线段F 1F2 的垂直平分线为y轴 设 P（x, y）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（c 0） 则 F 1 (c,0),F 2 (c,0)，又设 M 与F 1 (c,0),F 2 (c,0)距离之差的绝对值等于2a（常数） ，2a 2c P

6、P PF 1 PF 2 2a 又 PF 1 (x c)2 y2， y P F1A1O (x c)2 y2(x c)2 y2 2a， 22222222 化简，得：(c a )x a y a (c a )， A2F2x 由定义2a 2c c a 0 222 令c a b代入，得：b x a y a b ， 222222 22 x2y2 两边同除a b得： 2 2 1， ab 22 此即为双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F 1 (c,0),F 2 (c,0)， 其中c a b 若坐标系的选取不同， 可得到双曲线的不同的方程， 如焦点在y轴上， 222 y F2 A2 O y2

7、x2 则焦点是F 1 (0,c),F 2 (0,c)，将x, y互换，得到 2 2 1，此也 ab 是双曲线的标准方程 3双曲线的标准方程的特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点 y 轴上两种： x A1 F1 x2y2 焦点在x轴上时双曲线的标准方程为： 2 2 1(a 0,b 0)； ab y2x2 焦点在y轴上时双曲线的标准方程为： 2 2 1(a 0,b 0) ab (2)a,b,c有关系式c a b成立，且a 0,b 0,c 0 222 其中 a 与 b 的大小关系:可以为a b,a b,a b 4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x、

8、y项的分母的大小来确 定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置， 22 即x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y项的系数是正的，那么焦点在y轴上 22 名名 称称椭椭圆圆 y 双双曲曲线线 y 图图 象象 Ox Ox 平面内到两定点F 1,F2 的距离的和为常数（大于 定定 义义 平面内到两定点F 1,F2 的距离的差的绝对 值为常数（小于F 1F2 ）的动点的轨迹叫双曲 线。即MF 1 MF 2 2a 当 2a2c时，轨迹是双曲线 当 2a=2c时，轨迹是两条射线 当 2a2c时，轨迹不存在 F 1F2 ） 的 动 点 的 轨 迹 叫 椭

9、圆 。 即 MF 1 MF 2 2a 当 2a2c时，轨迹是椭圆， 当 2a=2c时，轨迹是一条线段F 1F2 当 2a2c时，轨迹不存在 标准方标准方 程程 x2y2 焦点在x轴上时： 2 2 1 ab y2x2 焦点在y轴上时： 2 2 1 ab 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴 上 a c b （符合勾股定理的结构） 222 x2y2 焦点在x轴上时： 2 2 1 ab y2x2 焦点在y轴上时： 2 2 1 ab 注：是根据项的正负来判断焦点所 在的位置 常常数数c2 a2b2（符合勾股定理的结构） a,b,c 的的 关关 系系 a b 0， a最大，c b,c b,c b

10、c a 0 c最大，可以a b,a b,a b 三、讲解范例：三、讲解范例： 例例 1 1 已知双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，且点P 1(3,4 2) ，P 2( ,5) ，在此双曲线上，求双曲线的 标准方程 分析：由于已知焦点在y轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解 本题是用 9 4 待定系数法来解的，得到的关于待定系数a,b的一个分式方程组，并且分母的次数是 2，解这种方程组时利 用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将a ,b的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组 22 解：因为双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为 y2x2 1 （a

11、 0,b 0） a2b2 (4 2)2 32 11 2 1 2 3291 b 22 a ab 则有，即9 21811( ) 52 25 2 2 1 4 116 b a 2b2 a 解关于 111111 的二元一次方程组，得, 2 22216 b9aba y2x2 1 169 所以，所求双曲线的标准方程为 x2y2 变式例题 1点 A 位于双曲线 2 2 1(a 0,b 0)上，F 1,F2 是它的两个焦点， 求AF 1F2 的重心 G ab 的轨迹方程 分析：要求重心的轨迹方程， 必须知道三角形的三个顶点的坐标， 利用相关点法进行求解注意限制条 件 解：设AF 1F2 的重心 G 的坐标为(x

12、, y)，则点 A 的坐标为(3x,3y) x2y2 因为点 A 位于双曲线 2 2 1(a 0,b 0)上，从而有 ab (3x)2(3y)2x2y2 1(y 0) 2 1(y 0)，即 2abab ( )2( )2 33 x2y2 1(y 0) 所以，AF 1F2 的重心 G 的轨迹方程为 a 2 b 2( )( ) 33 点评： 求轨迹方程， 常用的方法是直接求法和间接求法两种 例 1 是直接利用待定系数法求轨迹方程 本 题则是用间接法(也叫代入法)来解题，补充本例是为了进一步提高学生分析问题和解决问题的能力 另外本 题所求轨迹中包含一个隐含条件，它表现为轨迹上点的坐标应满足一个不等关系

13、，而这一点正是学生容易忽 略，造成错误的地方，所以讲解本题有利于培养学生数学思维的缜密性，养成严谨细致的学习品质 变式例题 2已知ABC的底边 BC 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，使sinB sinC 1 sin A， 2 求点 A 的轨迹 分析：首先建立坐标系，由于点A 的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其 化为边的关系，注意有关限制条件 解：以底边 BC 为x轴，底边 BC 的中点为原点建立xoy坐标系，这时 1 B(6,0),C(6,0)，由sinB sinC sin A得 2 1 bc a 6,即| AC | | AB | 6 2 x2y2 1(x

14、3) 所以，点 A 的轨迹是以B(6,0),C(6,0)为焦点，2a=6 的双曲线的左支 其方程为： 927 点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件， 列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可 能比较隐蔽和复杂解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、 归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的 例例 2 2一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚 2s (1)爆炸点应在什么样的曲线上？ (2)已知 A、B 两地相距 800m，并且此时

15、声速为 340 ms，求曲线的方程 分析：解应用题的关键是建立数学模型 根据本题设和结论，注意到在A 处听到爆炸声的时间比 B 处晚 2s,这里声速取同一个值 解：解：(1)由声速及 A、B 两处听到爆炸声的时间差，可知A、B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位 于以 A、B 为焦点的双曲线上 因为爆炸点离 A 处比离 B 处更远，所以爆炸点应在靠近B 处的一支上 (2)如图，建立直角坐标系xoy，使 A、B 两点在x轴上，并且点 O 与线段 AB 的中点重合 y P A O B x 设爆炸点 P 的坐标为(x, y)，则 |PA|PB|=3402=680，即 2a680，a340 又|A

16、B|=800， 2c=800，c=400，b c a44400 222 |PA|PB|6800， x0 所求双曲线的方程为 x2y2 1 （x0） 11560044400 例 2 说明， 利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差， 可以确定爆炸点所在的双曲线的方程， 但不能确定爆炸点的准确位置如果再增设一个观测点C，利用B、C(或 A、C)两处测得的爆炸声的时间差， 可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置这是双曲线的一 个重要应用 想一想，如果 A、B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上 （爆炸点应在线段 AB 的中 垂线上） 点评：

17、 本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目， 安排在此非常有利于强化学生 “应 用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散 思维能力 例例 3 3 求与圆(x 3) y 1及(x 3) y 9都外切的动圆圆心的轨迹方程 2222 解：设动圆的半径为 r，则由动圆与定圆都外切得 MF 1 3r, MF 2 1r， 又因为MF 1 MF 2 (3 r)(1 r) 2， 由双曲线的定义可知，点M 的轨迹是双曲线的一支 x2y2 1(x 1) 所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为： 18 例例 4 4 判断下列方程是否表示双曲线，

18、若是，求出三量a,b,c的值 x2y2x2y2x2y2y2x2 221 1 1 4y 9x 36 （ 2 2 1） 42422232 分析：双曲线标准方程的格式： 平方差，x项的系数是正的，那么焦点在x轴上，x项的分母是a；y项 2 2222 的系数是正的，那么焦点在y轴上，y项的分母是a2 解：是双曲线，a 2,b 是双曲线，a 2,c 6 ； 是双曲线，a 2,b 2,c 2 ； 2,b 2,c 6 ；是双曲线，a 3,b 2,c 13 例例 5 5 已知双曲线两个焦点的坐标为F 1 (5,0)，F 2 (5,0)，双曲线上一点 P 到F 1 (5,0)，F 2 (5,0)的距离之 差的绝

19、对值等于 6，求双曲线标准方程 x2y2 解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 2 2 1(a 0,b 0) ab 2a 6,2c 10a 3,c 5b 5 3 16 222 x2y2 1 所求双曲线标准方程为 916 四、课堂练习四、课堂练习： x2y2 1所表示的曲线。 1判断方程 9 kk 3 9 k 0 解：当 k 3 0 时，即当k 3时，是椭圆； 9 k k 3 当(9 k)(k 3) 0时，即当3 k 9时，是双曲线； 2求焦点的坐标是（-6，0） 、 （6，0） ，并且经过点 A（-5，2）的双曲线的标准方程。 x2y2 1c 6,2a 5 5 5 4 5 b2

20、36 20 16 答案： 2016 y2x2 1 3求经过点P(3,2 7)和Q(6 2,7)，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程答案： 2575 x2y2x2y2 1和双曲线 2 1有相同的焦点，则实数n的值是 （ ）4椭圆 34n216n A5B3C5D 9 答案：B x2y2 1的焦点， PQ 是过焦点F 1 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么5已知F 1,F2 是双曲线 169 PF 2 QF 2 PQ的值为_（答案： 4a16） x2 y21的焦点，点 P 在双曲线上,且F 1PF2 900,则点 P 到x轴的距离为( )6设F 1,F2 是双曲线 4 A1B 5 C 2D 5 2

21、 5 答案：B RtF 1PF2 的面积为b，从而有 51 2c| y | b2| y | 52 x2y2 222 7P 为双曲线 2 2 1(a 0,b 0)上一点，若 F 是一个焦点，以 PF 为直径的圆与圆x y a 的 ab 位置关系是（） A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交 答案：C 五、小结五、小结 ：本课着重讲解了待定系数法，代入法及利用定义求双曲线的标准方程，学习了双曲线的一个重 要应用 六、训练六、训练： 1求a=4，b=3，焦点在x轴上的双曲线的标准方程 2求a=2 5，经过点（2，-5） ，焦点在y轴上的双曲线的标准方程 3证明：椭圆9x 25y 225与双

22、曲线x 15y15的焦点相同 2222 4若方程x sin y cos1表示焦点在y轴上的双曲线，则角所在象限是（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 22 x2y2 1上的点 P 到点(5,0)的距离为 15，则 P 点到(5,0)的距离是（ ） 5设双曲线 169 A7 B.23 C.5或 23 D.7或 23 x2y2x2y2y2x2 221; 2. 1; 3. 9x 25y 2251 F(4,0), 答案：1. 2591692016 x2y2 1 F(4,0);x 15y15 151 22 4. D.x sin y cos1表示焦 点在y轴上的双曲线 22 sin

23、 0 ,所以 选 D. 5. D. cos 0 | d 15| 2a 8 d 7 或 23 x2y2y2x2 五、小结五、小结 ：双曲线的两类标准方程是 2 2 1(a 0,b 0)焦点在x轴上， 2 2 1(a 0,b 0)焦 abab 点在y轴上a,b,c有关系式c a b成立，且a 0,b 0,c 0其中 a 与 b 的大小关系:可以为 222 a b,a b,a b 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 （二）（二） 目的：目的： 1使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 3并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双

24、曲线的草图以及解决简单的实际问题 4通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高， “应用数学”的意识等到进一 步锻炼的培养 重点：重点：双曲线的渐近线、离心率 难点：难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 一、复习引入：一、复习引入： 1范围、对称性 x2y2 22 由标准方程 2 2 1可得x a ，当x a时，y 才有实数值；对于 y 的任何值，x 都有实数值 这 ab 说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增 大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其

25、对称中心为双曲线的中心 2顶点 顶点：A 1(a,0), A2 a,0 特殊点：B 1(0,b),B2 0,b 实轴：A 1A2 长为 2a, a 叫做半实轴长虚轴：B 1B2 长为 2b，b 叫做虚半轴长 x2y2 讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程 2 2 1中，令 y=0 得x a，故它与 x 轴有两 ab 个交点A 1(a,0), A2 a,0， y Q B2 A1O B1 且x轴 为 双 曲 线 xy 1的对称轴，所 a2b2 对称轴的交点，称为双曲线 顶点均指与其对称轴的交 22 N M A2x 以A 1(a,0), A2 a,0 与 其 的顶点(一般而言，曲线的 点

26、)，而对称轴上位于两顶 x2y2 点间的线段A 1A2 叫做双曲线 2 2 1的实轴长，它的长是 2a. ab x2y2 22 在方程 2 2 1中令 x=0 得y b ，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。但Y 轴 ab 上的两个特殊点B 1(0,b),B2 0,b，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用 把线段B 1B2 叫做双曲线的 虚轴，它的长是 2b 要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3渐近线 x2y2 过双曲线 2 2 1的两顶点A 1, A2 ，作 Y 轴的平行线x a，经过B 1,B2 作 X 轴的平行线

27、y b， ab 四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是y bxy ，这两条直线就是双曲x（ 0） aab 线的渐近线 x2y2bxy 分析：要证明直线y x（ 0）是双曲线 2 2 1的渐近线，即要证明 abaab 随着 X 的增大，直线和曲线越来越靠拢 也即要证曲线上的点到直线的距离MQ越来越短，因此把问题 转化为计算MQ 但因MQ不好直接求得， 因此又把问题转化为求MN最后强调， 对圆锥曲线而言， 渐近线是双曲线具有的性质 | MQ | MN | abbb 2 b 0） （| MQ | x x x a2 (x x2 a2) 22 aaa x x a 4等轴双曲线 a=b 即实轴

28、和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线 结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成x y a(或b )，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正 方形，渐近线方程为y x它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角 2222 5共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为y bkb x x(k 0)，那么此双曲线方程就一定是： aka x2y2x2y2 1(k 0)或写成 2 2 22(ka)(kb) ab 6双曲线的草图 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意 一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在

29、第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近 线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 三、讲解范例：三、讲解范例： y F1A1OA2F2x y2 1的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图 例例 1 1 求双曲线x 4 2 分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答 x2y2 解：解：把方程化为标准方程 2 2 1 12 由此可知，实半轴长 a1，虚半轴长 b2 顶点坐标是（1，0） ， （1，0） c a2b212 225 焦点的坐标是( 5，0)，(5，0) 渐近线方程为 xy 0，即y 2x 12 x2y2 1共渐近线且过A(3 3,3)的双曲线的方

30、程 例例 2 2 求与双曲线 169 分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K 的值即可 x2y2 解：解：设与 2 2 1共渐近线且过A(3 3,3)的 43 x2y2 双曲线的方程为 2 2 43 (3 3)2(3)211 则，从而有 423216 x216y2 1 所求双曲线的方程为 1199 四、讲解新课：四、讲解新课： 7离心率 概念：双曲线的焦距与实轴长的比e 范围：e 1 双曲线形状与 e 的关系： 2cc ，叫做双曲线的离心率 2aa bc2a2c2 2k 1 e 1， 2aaa 因此 e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线

31、的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双 曲线的离心率越大，它的开口就越阔 (1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约 利用计算机动画先演示出“e 的大小”与“开口的阔窄”的关系，能让学生对此变化规律先形成直观理 解；然后再用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易，使学生对此规律有更深刻清晰的理解 这样做将 有助于实在本节的这个难点 8离心率相同的双曲线 x2y2 1的离心率e 0； (1)计算双曲线 49 x2y2 1吗？举例说明 如果存在很多的话，它们能否用一个特有的形(2)离心离为e 0的双曲线一定是 49 式表示呢？ (3)离心率

32、为 13 的双曲线有多少条？ 2 ca2b2bkb 分析：e 1 ( )2 1 ()2的关系式，并从中发现只要实现半轴和虚半轴各与 aaaka a=2,b=3 有相同的比 k：1(k0)的双曲线，其离心率e 都是 13 2 9 共轭双曲线： 以已知双曲线的实轴为虚轴， 虚轴为实轴， 这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线如 x2y2y2x2 1与1 169916 注意的区别：三量 a,b,c 中 a,b 不同（互换）c 相同 通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线此即为共轭之意 1） 性质：共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 2） 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变为

33、-1 x2y2 2 ( 0)， 3） 共用同一对渐近线y kx的双曲线的方程具有什么样的特征： 可设为当 0时 1k 交点在 x 轴，当 0时焦点在 y 轴上 五、范例：五、范例： 例例 1 1 求双曲线9y 16x 144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 22 y2x2 解：把方程化为标准方程 2 2 1 43 由此可知，实半轴长 a4，虚半轴长 b3 y c a2b24232 5 焦点的坐标是(0，5)，(0，5) 离心率e Ox c5 a4 34 y，即y x 43 渐近线方程为x 例例 2 2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半

34、径为 12 m， 上口半径为 13 m，下口半径为 25 m，高 55m选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到 1m) y C A O 13 12 C Ax B B 25 分析：本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口。 显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最小截口直径所在直线为X 轴，圆 心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。 解：解：如图所示，建立直角坐标系xOy，使小圆的直径 AA在 x 轴上，圆心与原点重合这时，上、下口的直 径 CC、BB平行于 x 轴，且|CC|=132(m)，|BB|=2

35、52(m) x2y2 设双曲线的方程为 2 2 1 (a 0,b 0) ab 令点 C 的坐标为(13，y)，则点 B 的坐标为(25，y55)因为点 B、C 在双曲线上，所以 252(y 55)2132y2 1 且 2 2 1 2212b12b 5b （负值舍去） 12 5b (55)2 225 代入方程，得 2 12 2 1 12b 解方程组，得y 化简得 19b 275b181500 解方程(使用计算器计算)，得b25(m) 2 x2y2 1 所以所求双曲线方程为 144625 点评：点评： 这是一个有实际意义的题目 解这类题目时，首先要解决以下两个问题：(1)选择适当的坐标系； (2)

36、将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来 四、课堂练习四、课堂练习： 22 1 .方程 mx ny mn=0(mn0)所表示的曲线的焦点坐标是B (A)(0, m n) (B)(0, n m) (C)( m n,0) (D)( n m,0) 2 .下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是D x2 2 y2x2x2 2 x2 2 (A)-y =1 和-=1 (B)-y =1 和 y -=1 39333 x2y2x2 2 x2y2 2 (C)y -=1 和 x -=1(D)-y =1 和-=1 33393 2 x2y2 1有共同的渐近线，且经过点 A(3,2 3的双曲线的一个焦点到

37、一条渐近线的距离 3 .与双曲线 916 是 (C ) （A）8（B）4（C）2（D）1 4 .以y 3x为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为 (A ) x2y2x2y2y2y2 2 1（D）11（B）x 1 （C）（A）x 2233 33 2 22 5 .双曲线 kx +4y =4k 的离心率小于 2，则 k 的取值范围是 (C ) （A） （-,0）（B）(-3,0)（C）(-12,0)（D）(-12,1) 6 .已知平面内有一固定线段AB,其长度为 4，动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为D (A)1.5 (B)3 (C)0.5(D)3.5 222222

38、7 .已知双曲线 b x a y = a b 的两渐近线的夹角为2，则离心率 e 为(C ) (A)arcsin (B) a cos (C)sec (D)tg2 b 8 .一条直线与双曲线两支交点个数最多为 (B ) (A)1(B)2 (C)3 (D)4 9 .双曲线顶点为（2，1） ， （2，5） ，一渐近线方程为 3x4yc = 0，则准线方程为 ( D ) (A)x 2 161699 (B)y 2 (C)x 2(D)y 2 5555 x2y2 10 .与双曲线=1(mn0)共轭的双曲线方程是 (D ) mn x2y2x2y2x2y2x2y2 1 (B) 1 (C) 1 (D) 1 (A)

39、 mnmnmnmn 五、小结五、小结 ：解例 2 这类应用题时，首先要解决以下两个问题： （1）选择适当的坐标系（通常是把题中的特 殊直线或线段放在坐标轴上，特殊点放在原点） ； （2）将实际问题中的条件借助于坐标系用数学语言表达出 来（如把实物上的特殊点、线用坐标描述出来） 练习练习： 1下列方程中，以 x2y=0 为渐近线的双曲线方程是 x2y2 (A)1 164 x2y2 (B)1 416 22 x2 (C) y21 2 y2 (D)x 1答案：A 2 2 2 .过点(3,0)的直线l与双曲线 4x -9y =36 只有一个公共点,则直线l共有 (A)1 条 (B)2条 (C)3 条 (

40、D)4条 答案：C x2y2 3 .若方程=1 表示双曲线，其中 a 为负常数，则 k 的取值范围是( ) 3k a4k a (A)( aaaaaaaa ,-) (B)(,-) (C)(-,) (D)(-,)(-,+) 34433443 答案：B 4 .中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程 2x-3y=0 的双曲线方程是 13x213y213x213y25x25y2 1 (B) 1 (C) 1 (A) 813636813654 5x25y2 1 (D) 5436 答案：A x2y2 有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（）5 .与双曲线 916 x2y2x2y2x2

41、y2x2y2 1 1 (B) 1 (C) 1 (D) (A) (27 / 4)811448114481169 答案：D 6 .一双曲线焦点的坐标、 离心率分别为(5，0)、 3 ，则它的共轭双曲线的焦点坐标、 离心率分别是 （） 2 (A)(0，5)， 3333 5)，5)， 5)， (B)(0， (C)(0， (D)(0， 2255 答案：A 22 7 .双曲线 2kx -ky =1 的一焦点是 F(0，4)，则 k 等于 () (A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16 答案：A 小结小结 ：双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、

42、等轴双曲线； x2y2b 双曲线草图的画法；双曲线 2 2 1的渐近线是y x，但反过来此渐近线对应的双曲线则是 aab x2y2x2y2 1(k 0) 或写成 2 2 (ka)2(kb)2ab 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 （三）（三） 目的：目的： 1使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2掌握双曲线的另一种定义及准线的概念 3掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 4进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 重点：重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程 难点：难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定

43、义的得出过程 一、复习引入：一、复习引入： 1范围、对称性 由标准方程 yx 1，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之 22ab A1O 22 y Q B2 N M A2x 间没有图象，从纵的方向来看，随着 x 的增大，y 的绝对值也无限 增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 B1 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2顶点 顶点：A 1(a,0), A2 a,0 特殊点：B 1(0,b),B2 0,b 实轴：A 1A2 长为 2a, a 叫做半实轴长 虚轴：B 1B2 长为 2b，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异

44、 3渐近线 x2y2 过双曲线 2 2 1的两顶点A 1, A2 ，作 Y 轴的平行线x a，经过B 1,B2 作 X 轴的平行线y b， ab 四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是y bxy ，这两条直线就是双曲x（ 0） aab 线的渐近线 4等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质： （1）渐近线方程为：y x； （2）渐近线互相垂直； （3）离心率e 22 2 等轴双曲线可以设为：x y ( 0)，当 0时交点在 x 轴，当 0时焦点在 y 轴上 5共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为y bkb x

45、 x(k 0)，那么此双曲线方程就一定是： aka x2y2x2y2 1(k 0)或写成 2 2 22(ka)(kb) ab 6双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点 并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称 性画出完整的双曲线 7离心率 双曲线的焦距与实轴长的比e 2cc ，叫做双曲线的离心率 范围：e 1 2aa bc2a2c2 2 双曲线形状与 e 的关系：k 1 e 1，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大， 2aaa 这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，

46、双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 8共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线区别：三量 a,b,c 中 a,b 不同（互换）c 相同 共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变为-1 x2y2 ( 0)，当 0时 共用同一对渐近线y kx的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为 1k2 交点在 x 轴，当 0时焦点在 y 轴上 二、讲解新课：二、讲解新课： 9 双曲线的第二定义：到定点 F 的距离与到定直线l的距离之比为常数e c (c a 0)的点的轨迹是双 a 曲线其中，定点叫做双曲线的焦

47、点，定直线叫做双曲线的准线常数 e 是双曲线的离心率 10准线方程： y y F2 A2 F1A1OA2F2x Ox A1 F1 a2x2y2 对于 2 2 1来说，相对于左焦点F 1 (c,0)对应着左准线l 1 : x ， cab a2 相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2: x ； c a2b2 0 焦点到准线的距离p 位置关系：x a （也叫焦参数） cc y2x2a2 对于 2 2 1来说，相对于上焦点F 1 (0,c)对应着上准线l 1 : y ； cab a2 相对于下焦点F2(0,c)对应着下准线l2: y c 11 .双曲线的焦半径 定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦

48、点F 1,F2 的连线段，叫做双曲线的焦半径 焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线 x2y2 2 1 (a 0,b 0)， 2ab F 1,F2 是其左右焦点 则由第二定义： MF 1 d 1 e， MF 1 x 0 a c 2 e MF 1 a ex 0 同理 MF 2 a ex 0 即有焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式： 同理有焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式： MF 1 a ex 0 MF a ex 20 MF 1 a ey 0 MF 2 a ey 0 （ 其中F 1,F2 分别是双曲线的下上焦点） 点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如

49、果要去绝对值，需要对点的位 置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号） 12焦点弦： 定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到： 设两交点A(x1, y1)B(x2, y2) 当双曲线焦点在 x 轴上时， 焦点弦只和两焦点的横坐标有关： 过左焦点与左支交于两点时： AB 2a e(x 1 x 2 ) 过右焦点与右支交于两点时：AB 2a e(x1 x2) 当双曲线焦点在 y 轴上时， 过左焦点与左支交于两点时：AB 2a e(y1 y2) 过右焦点与右支交于两点时：AB 2a e(y1 y2) 13通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 2b2 直接应用焦点弦公式，得到 d a 三、讲解范例三、讲解范例 a2c 例例 点 p(x,y)与定点 F2(c,0)的距离与到l : x