高一数学平面向量知识点及典型例题解析

1、高一数学高一数学第八章第八章 平面向量平面向量 第一讲第一讲 向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算 一 【要点精讲】 1向量的概念 a 向量 ：既有大小又有方向的量。几何表示法AB，a；坐标表示法 xi y j (x, y) 。 向量的模（长度） ，记作| AB |.即向量的大小，记作a|。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 零向量：长度为0 的向量，记为0，其方向是任意的，规定0平行于任何向量。 （与 0 的区 别） 单位向量 a0 1。平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作ab x 1 x 2 y1 y 2相等向量记为a b。大小相等，方向相同 (x 1, y1

2、) (x 2 , y 2 ) 2向量的运算 （1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法. 如图，已知向量 a a，b b，在平面内任取一点 A ，作 AB a a，BC b b，则向量 AC 叫做 a a 与 b b 的和，记作 a+ba+b，即a+ba+b AB BC AC C a a a+ba+b b b B D b b a a b b 三角形法则 A a a 平行四边形法则 a+ba+b C B 特殊情况： a b ab (1) A a b ab A B ( 2 ) CCA ( 3 ) B 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR ，但这时必须

3、“首尾相连” 。 ab 向量减法：同一个图中画出ab、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重 合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有 向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积 3两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b=a。 二 【典例解析】 题型一：题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念向量及与向量相

4、关的基本概念概念 例 1 判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向(2)若 (3)单位向量都相等(4) 向量就是有向线段 a b,则a b a bb ca (5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若，则 c ； (7)若 a /b ，b /c，则a/c(8) a b 的充要条件是| a |b |且a /b； (9) 若四边形 ABCD 是平行四边形,则 A A B CD,BC DA 2DC”是“四边形 ABCD 为梯形”的 练习. (四川省成都市一诊)在四边形 ABCD 中， “AB A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件 题型二题型二: : 考查加法

5、、减法运算及相关运算律考查加法、减法运算及相关运算律 例 2 化简 (ABCD)(AC BD) = 练习 1.下列命题中正确的是 AOAOB ABB AB BA 0 C0 AB 0D AB BC CD AD 2.化简 AC BD CD AB 得 A AB B DA C BC D0 3如图，D、E、F 分别是 ABC 的边 AB、BC、CA 的中点，则 () A.ADBECF0B.BDCFDF0 C.ADCECF0D.BDBEFC0 题型三题型三: : 结合图型考查向量加、减法结合图型考查向量加、减法 例 3 在 ABC所在的平面上有一点P ，满足 PA PB PC AB ，则PBC与 ABC的

6、面 积之比是() 1123 A 3 B 2 C 3 D 4 例 4 重心、垂心、外心性质 练习: 1如图，在ABC 中，D、E 为边 AB 的两个三等分点，CA =3a a， CB =2b b，求CD ，CE 2 已知 E D A ab = a b 求证 a b B C 3 若 O 为 ABC 的内心，且满足 (OB OC)(OB OC 2OA) 0 ，则 ABC 的形状为 （） A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形 4已知 O、A、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点 C，满足 2ACCB0，则OC() 2112 A2OAOBBOA2OBC.3OA3OBD3OA3OB

7、|AB| 5已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA3OB2OC0，则 等于_ |BC| 6已知平面内有一点 P 及一个ABC，若PAPBPCAB，则() A点 P 在ABC 外部B点 P 在线段 AB 上C点 P 在线段 BC 上D点 P 在线段 AC 上 1 7在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD2DB，CD3CACB，则 等于() 2112 A.3B.3C3D3 题型四题型四: : 三点共线问题三点共线问题 例 4 设 e 1,e2是不共线的向量 ,已知向量 AB 2e 1 ke 2 ,CB e 1 3e 2 ,CD 2e 1 e 2,若 A,B,D 三点共线,求 k

8、 的值 例 5 已知 A、B、C、P 为平面内四点， A、B、C 三点在一条直线上PC =mPA +nPB ，求证： m+n=1 BC e 1 e 2, CD 2e 1 e 2，则下列关系一定成立练习：1已知： AB 3(e 1 e2), 的是（） A、A，B，C 三点共线B、A，B，D 三点共线 C、C，A，D 三点共线D、B，C，D 三点共线 2(原创题)设 a a，b b 是两个不共线的向量，若AB2a akb b，CBa ab b，CD2a ab b，且 A，B， D 三点共线，则实数 k 的值等于_ 第第 2 2 讲讲 平面向量的基本定理与坐标表示平面向量的基本定理与坐标表示 一一

9、【要点精讲】【要点精讲】 1平面向量的基本定理 e ,e a 12如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对 实数 1 , 2使： a 1e1 2e2其中不共线的向量 e 1,e2叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底. 2平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的_单 j 位向量_ i 、作为基底任作一个向量a，有且只有一对实数x、 y ， 使得 a xi yj 1 ， 把 (x, y) 叫做向量a的 （直角） 坐标， 记作 a (x, y) 2 其中 x 叫做a在 x 轴上的坐标， y 叫做a在 y 轴上的坐标， 2

10、 式叫做向量的坐标表示向量的坐标表示 与与 a 相等的向量的坐标也为相等的向量的坐标也为 (x, y) 特别地， i (1,0) ， j (0,1) ， 0 (0,0) 特别提醒：特别提醒：设 OA xi yj ，则向量 OA 的坐标 (x, y) 就是点 A的坐标；反过来，点A的坐 标 (x, y) 也就是向量OA的坐标因此， 在平面直角坐标系内， 每一个平面向量都是可以用一对 实数唯一表示 3平面向量的坐标运算 （1 1）若 a (x 1, y1)， b (x 2 , y 2 ) ，则 ab = (x 1 x 2 , y 1 y 2 ) ，ab= (x 1 x 2 , y 1 y 2 )

11、（2 2） 若 A(x 1 , y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ，则 AB （3 3）若 a (x, y) 和实数 ，则 a (x,y) 4向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x1, y1) ，b=(x2, y2)其中ba a b(b 0 )的充要条件是 x 1 y 2 x 2 y 1 0 二二 【典例解析】【典例解析】 题型一题型一. . 利用一组基底表示平面内的任一向量利用一组基底表示平面内的任一向量 A 11 OC OA,OD OB C 42 例 1 在OAB 中，AD 与 BC 交于点 M， 设OA= a ，OB=b，用 a ,b表示OM. O M D B 练习:1若已知

12、 e 1、e2是平面上的一组基底， 则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( ) A e 1与 e 2 B3 e 1与 2 e 2 C e 1 e 2与 e 1 e 2 D e 1与 2 e 1 2在平行四边形ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若ACAEAF，其中、 R R，则 _. 题型二题型二: : 向量加、减、数乘的坐标运算向量加、减、数乘的坐标运算 例 3 已知 A（2,4） 、B（3,1） 、C（3,4）且 CM 3CA ,CN 2CB,求点 M、N 的坐标及向量 MN 的坐标. 练习:1. (2008 年高考辽宁卷)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0

13、,2)， B(1， 2)， C(3,1)， 且BC 2AD，则顶点 D 的坐标为() 71 A(2，2)B(2，2)C(3,2)D(1,3) MP 2若 M(3, -2)N(-5, -1) 且 1 2MN ,求 P 点的坐标； 1 MN 2 , MP 3若 M(3, -2)N(-5, -1)，点 P 在 MN 的延长线上，且 求 P 点的坐标； 2（x,x ） （x,1） 4.(2009 年广东卷文)已知平面向量 a a=，b b=， 则向量a ab b() A 平行于 x 轴B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线C.平行于 y 轴 5在三角形 ABC 中，已知 A

14、(2,3)，B(8，4)，点 G(2，1)在中线 AD 上，且AG2GD， 则点 C 的坐标是() A(4,2)B(4，2)C(4，2)D(4,2) 6设向量 a a(1，3)，b b(2,4)，c c(1，2)，若表示向量 4a a、4b b2c c、2(a ac c)、d d 的 有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d d 为() A(2,6)B(2,6)C(2，6)D(2，6) 1 7已知 A(7,1)、B(1,4)，直线 y2ax 与线段 AB 交于 C，且AC2CB，则实数 a 等于() 45 A2B1C.5D.3 题型三题型三: : 平行、共线问题平行、共线问题 1 b b ( ,

15、1sin) 2 例 4 已知向量 a a (1sin,1)， ，若 a a b b ，则锐角等于（） A30B 45 C60D75 例 5 （2009 北京卷文）已知向量 a (1,0),b (0,1),c ka b(k R),d ab ， 如果c/d那么() A k 1且c 与 d 同向Bk 1且c与 d 反向 C k 1且c 与 d 同向Dk 1且c与 d 反向 练习：1若向量a=(-1,x)与b=(-x, 2)共线且方向相同，求 x 2已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP OAtAB， 求(1)t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限。 (2)四

16、边形 OABP 能否构成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由。 3已知向量a a(1,2)，b b(0,1)，设 u ua akb b，v v2a ab b，若 u uv v，则实数k 的值为() 11 A1B2C.2D1 m 4已知向量 a a(2,3)，b b(1,2)，若 ma anb b 与 a a2b b 共线，则n等于() 11 A2B2C.2D2 5已知向量OA(1，3)，OB(2，1)，OC(m1，m2)，若点A、B、C 能构成三角形， 则实数 m 应满足的条件是() 1 Am2Bm2Cm1Dm1 6已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6) ,试用

17、向量方法求直线 AC 和OB（ O 为坐标原点）交点 P 的 坐标。 题型四：平面向量综合问题 例 6已知 ABC 的角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c， 设向量 m (a,b) ， n (sin B,sin A) ， p (b2,a 2) . （1）若 m /n，求证：ABC 为等腰三角形； （2）若 m p ，边长 c = 2，角 C = 3 ，求 ABC 的面积 . 1 1 练习已知点 A(1,2)，B(2,8)以及AC3AB，DA3BA，求点 C、D 的坐标和CD的坐标 第三讲第三讲 平面向量的数量积及应用平面向量的数量积及应用 一 【要点精讲】【要点精讲】 （1）两个

18、非零向量的夹角 已知非零向量 a 与 a，作OA a ，OBb，则AA（）叫a与b的夹角； 说明：两向量的夹角必须是同起点的，范围0180。 （2）数量积的概念 C 非零向量a与b， a b=abcos叫做a与b的数量积（或内积） 。规定0a 0； ab 向量的投影： bcos= |a| R， 称为向量b在 a 方向上的投影。 投影的绝对值称为射影； （3）数量积的几何意义： a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积. 注意：只要ab就有ab=0，而不必a=0或b=0 由 a b = a c 及 a 0 却不能推出 b = c 得| a | b |cos 1=| b c a |c|cos

19、2 及| a |0，只能得到|b|cos 1=| c |cos 2，即 b 、 1 2 c 在 a 方向上投影相等，而不能得出b=c(见图) (ab)c a (b c )，向量的数量积是不满足结合律的 对于向量a、b，有| a b| a |b|，等号当且仅当ab时成立 （4）向量数量积的性质 22aa a |a | 向量的模与平方的关系：。 a 乘法公式成立 a ba b a2b a b cos a,b 2 2 2 ； a b = 2 a 2ab b a2ab b x 1 x 2 y 1 y 2 22 2 2 ； ab a b 2 向量的夹角：cos= （5）两个向量的数量积的坐标运算 已知两

20、个向量 x 1 y 1 x 2 y 2 222 。 a (x 1, y1),b (x2, y2 ) ，则ab= x 1x2 y 1 y 2。 （6）垂直：如果a与b的夹角为 900则称a与b垂直，记作ab。 两个非零向量垂直的充要条件：ab a bO x 1x2 y 1 y 2 0 22222| a |x y a (x,y)| a| x y （7）平面内两点间的距离公式设，则或。 22| a |(x x ) (y y ) 1212(平面内两点间的距离公式) . 二 【典例解析】 题型一：数量积的概念 例 1判断下列各命题正确与否： （1）0a 0； （2）0a 0；（3）若 a 0,ab ac

21、 ，则b c； （4）若 ab ac ，则b c当且仅当a 0时成立； （5） (ab)c a(b c) 对任意 a,b,c 向量都成立； 题型二. 求数量积、求模、求夹角的简单应用 例 2 已知 a 2， b 3， a与b的夹角为120o，求 22（4） ab （）1 ab；（2） a b ；（3）（2ab） （ a3b） ； 题型三：向量垂直、平行的判定 例 3已知向量 a (2,3) ， b (x,6) ，且 a/b ，则 x 。 例 4已知 a 4,3，b 1,2 ， m a b,n 2a b ，按下列条件求实数的值。 。（1） m n ； （2） m/n ； (3) m n 例 5已

22、知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2） （1）若| c | 2 5 ，且c/a，求c的坐标； 5 , b2 （2）若|=且 a 2b 与 2a b 垂直，求a与b的夹角. 练习 1 若非零向量、 满足 2 在ABC 中， AB =(2, 3)， AC =(1, k)，且ABC 的一个内角为直角， 求 k 值 ，证明: 1) ， b (2, n) ，若| a b| ab，则n （）3已知向量 a (1, A 3 B1C1D3 4.已知 a 1， b 2，且ab与a垂直，求a与b的夹角。 b 5 知 a， ，c，B，C 的 对 边 ， 向 量为 ABC 的 三 个 内 角 A m

23、 m ( 3， 1)，n n (cos A， sin A) 若m m n n，且acos B bcos A csin C，则角A，B的 大小分别为（） A ， 63 2 ， 36 ， 36 ， 33BCD 题型四：向量的夹角 例 6 已知向量a=(cos,sin),b=(cos ,sin ),且a b ，求a b与 a b 的夹角 0a b d , 3 b ab 120a 练习 1 已知两单位向量与的夹角为， 若 c 2 ， 试求c与 d 的夹角。 2| a |=1，| b |=2，c= a + b ，且c a ，则向量a与b的夹角为 A30 B60 C120D150 3设非零向量 a a、b

24、 b、c c 满足|a a|b b|c c|，a ab bc c，则a a，b b() A150B120C60D30 5 4已知向量 a a(1,2)，b b(2，4)，|c c| 5，若(a ab b)c c2，则 a a 与 c c 的夹角为() A30或 150B60或 120C120D150 5.过ABC 的重心任作一直线分别交AB，AC 于点 D、E若AD xAB， AE yAC ，xy 0， （） 则 11 xy 的值为（） （A）4（B）3（C）2（D）1 11 xy 3选 B解析：取ABC 为正三角形易得 4. 设向量a与b的夹角为， a (3,3) ， 2b a (1,1)

25、，则cos 5在 ABC 中，(BCBA)AC|AC|2，则三角形 ABC 的形状一定是() A等边三角形B等腰三角形 C直角三角形D等腰直角三角形 . 6 已知向量 a (sin,2) 与 b (1,cos) 互相垂直，其中 （1）求sin和 cos 的值； (0,) 2 sin() （2）若 题型五：求夹角范围题型五：求夹角范围 10 ,0 102 ，求 cos 的值 2| a | 2| b| 0 x x 例 7 已知,且关于的方程 | a | x ab 0 有实根,则a与b的夹角的取值范 围是 2 , A.0, 6 B. 3 C. 33 D. 6 练习 1设非零向量a= x,2x ，b=

26、 3x,2 ，且a，b的夹角为钝角，求 x 的取值范围 2已知 a (,2) ， b (3,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 的取值范围是 eeee| e | 2| e |12te 7e 2与3设两个向量1、2，满足1，2，1、2的夹角为 60，若向量1 e te 2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.向量1 与BC 4如图，在 RtABC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 PQ 的夹角取何值时 BPCQ 的值最大？并求出这个最大值. （以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系） 题型六：向量的模 A a 3, ab 13,b

27、oab 120 例 8已知向量与的夹角为，则等于（） A5B4C3D1 0 C a 练习 1 平面向量 a 与 b 的夹角为60，a(2,0), | b |1，则 | a2b |等于 （） D.12A. 3 B.2 3 C.4 2已知平面上三个向量a、b、c的模均为 1，它们相互之间的夹角均为120， (a b) c； | ka b c |1(k R) ，求k的取值范围.（1）求证：（2）若 3平面向量 a,b 中，已知 a (4,3),| b|1，且ab 5 ，则向量b _. 4已知| a |=|b|=2， a 与b的夹角为 600，则a+b在a上的投影为。 5设向量 a,b 满足 6已知向

28、量 a,b 的方向相同，且 | a |b|1,|3a 2b| 3 ，则|3a b|。 | a | 3,| b| 7 ，则|2a b|_。 7、已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC ,NA NB NC 0 （) ，且 PA PB PB PC PC PA ，则点 O，N，P 依次是ABC的 A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 题型七：向量的综合应用 B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心 例 9已知向量OA(2,2)，OB(4,1)，在 x 轴上一点 P，使APBP有最小值，则P 点的坐标是 _ |a a| 练习 1已知向量 a a 与向量 b b 的夹角为

29、120，若向量 c ca ab b，且 a ac c，则|b b|的值为() 12 3 A.2B. 3 C2D. 3 2已知圆 O 的半径为 a，A，B 是其圆周上的两个三等分点，则OAAB() 3333 A.2a2B2a2C. 2 a2D 2 a2 4(原创题)三角形 ABC 中 AP 为 BC 边上的中线，|AB|3，APBC2，则|AC|_. 3A3AAA 5在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 mm(cos 2 ，sin 2 )，n n(cos2，sin2)， 且满足|mmn n| 3. (1)求角 A 的大小； 15 6在 ABC 中， AB AC 0 ，

30、 ABC 的面积是 4 ，若 | AB|3 ， | AC |5 ，则 BAC () 235 (A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 6 7 已知O为原点， 点 A,B 的坐标分别为 A(a,0) ，B(0,a)， 其中常数a 0， 点 P 在线段 AB 上，且有 AP tAB(0 t 1) ，则OAOP的最大值为（） (A) a (B) 2a (C)3a(D)a2 33xx a (cosx,sinx)b (cos,sin) 22 ， 22 。8已知向量 x0, 2 ，求 ab,| a b| ；（1）当 3 （2）若 f (x) ab 2m|a b | 2 对一切实数 x 都成立，求实数m的

31、取值范围。 9. 若正方形 ABCD 边长为 1，点 P 在线段 AC 上运动，则 AP(PB PD) 的取值范围 1 是-2， 4 10. 已知 a a,b b 是两个互相垂直的单位向量, 且c ca a 1, c cb b 1 , |c c |2 ,则对任意的正实数 1 |c c ta a b b| t , t 的最小值是 2 2 . 各区期末试题 10. . 在矩形 ABCD 中， AB 3 ， BC 1，E 是CD上一 点，且 AEAB 1，则AE AC 的值为（） D E C A B 19.如图，点P是以 AB 为直径的圆O上动点， P 是点P关于 P AB 的对称点， AB 2a(a 0) . （）当点P是弧