陕西省咸阳市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

1、20162016 年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（文科）年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题一、选择题 1集合 A=x|x1，B=x|x29，则 AB=（） A De，3） （1，3） B1，3）C1，+） 2若复数（1ai）2（i 为虚数单位，aR）是纯虚数，则 a=（） A1B1C0D1 3若 tan=1，则 sin2cos2 的值为（） A1BCD 4设 ， 是两个非零向量，若命题p： 0，命题 q： ， 夹角是锐角，则命题 p 是 命题 q 成立的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5直线 l：xky1=0 与圆 C：x2 +y 2

2、=2 的位置关系是（ ） A相切 B相离 C相交 D与 k 的取值有关 6以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已 知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为（） A2，5 B5，5 C5，8 D8，8 7一个体积为 8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（） A4B4C6D6 bb= （）8 等差数列an和等比数列bn的首项都是 1， 公差公比都是 2， 则 b A64B32C256D4096 9函数 f（x）=lnx+ex的零点所在的区间是（） A （B）（ ）C （1，e）D （e，） 10齐王与

3、田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马， 劣于齐王的上等马，田忌的中等马 优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马， 现从双方的马匹 中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（） AB CD 的一个焦点 F 与抛物线 C2：y2=2px（p0）的11双曲线 焦点相同，它们交于 A，B 两点，且直线 AB 过点 F，则双曲线 C1的离心率为（） AB C D2 12定义在0，+）的函数 f（x）的导函数为 f（x） ，对于任意的 x0，恒有 f（x）f （x） ，a=e3f（2） ，b=e2f（3） ，则 a，b 的大小关系是（ ） Aab Bab Ca=b D无法

4、确定 二、填空题二、填空题 13如图所示，当输入 a，b 分别为 2，3 时，最后输出的 M 的值是_ 14已知实数 x，y 满足，若目标函数 z=xy 的最大值为 a，最小值为 b，则 a+b=_ 15某事业单位共公开招聘一名职员，从笔试成绩合格的6（编号分别为 16）名应试者中 通过面试选聘一名甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测甲：不可能是 6 号；乙：不是 4 号就是 5 号；丙：是1、2、3 号中的一名；丁：不可能是1、2、3 号已知四人中只有一 人预测正确，那么入选者是_号 16在ABC 中，BC=，A=60，则ABC 周长的最大值_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5

5、 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. . 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，Sn=2an2 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn=log2an，cn= ，求数列cn的前 n 项和 Tn 18如图，梯形ABEF 中，AFBE，ABAF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC 将梯形 CDFE 折起，使得平面 CDFE平面 ABCD （1）证明：AC平面 BEF； （2）求三棱锥 DBEF 的体积 19 从某校高三 1200 名学生中随机抽取 40 名， 将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直

6、90）100） 方图 （如图） （满分为 150 分， 成绩均为不低于 80 分整数） ， 分为 7 段： 80， 90， 100，110） ，110，120） ，120，130） ，130，140） ，140，150 （1）求图中的实数 a 的值，并估计该高三学生这次成绩在120 分以上的人数； （2）在随机抽取的40 名学生中，从成绩在90，100）与140，150两个分数段内随机抽取 两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10 的概率 20已知椭圆 C： +=1（ab0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且 该三角形的面积为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 F1，F

7、2是椭圆 C 的左右焦点，若椭圆 C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F1 和 F2，求这个平行四边形的面积最大值 21已知函数 f（x）=xalnx（aR） （1）若 f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）证明：若 0 x1x2，则 lnx1lnx21 请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时 请写清题号。请写清题号。 选修选修 4-14-1：几何证明选讲：几何证明选讲 22如图，AB，CD 是圆 O 的两条互相垂直的直径，E 是圆 O 上的点，过

8、E 点作圆 O 的切 线交 AB 的延长线于 F，连结 CE 交 AB 于 G 点 （1）求证：FG2=FAFB； （2）若圆 O 的半径为 2，OB=OG，求 EG 的长 选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为：2cos2+32sin2=3，曲线 C2的参数方程是（t 为参数） （1）求曲线 C1和 C2的直角坐标方程； （1）设曲线 C1和 C2交于两点 A，B，求以线段 AB 为直径的圆的直角坐标方程 选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲 24已知函

9、数 f（x）=|xa|x4|（xR，aR）的值域为2，2 （1）求实数 a 的值； （2）若存在 x0R，使得 f（x0）mm2，求实数 m 的取值范围 20162016 年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（文科）年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1集合 A=x|x1，B=x|x29，则 AB=（） A De，3） （1，3） B1，3）C1，+） 【考点】交集及其运算 【分析】求出 B 中不等式的解集确定出B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解：由 B 中不等式解得：3x3，即 B=（3，3） ， A=1，+） ， AB=1

10、，3） 故选：B 2若复数（1ai）2（i 为虚数单位，aR）是纯虚数，则 a=（） A1B1C0D1 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0 且虚部不为 0 求得 a 值 【解答】解：（1ai）2=（1a2）2ai 为纯虚数， ，解得 a=1 故选：D 3若 tan=1，则 sin2cos2 的值为（） A1BCD 【考点】同角三角函数基本关系的运用 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sin2cos2 的值 【解答】解：tan=1，则 sin2cos2=， 故选：B 4设 ， 是两个非零向量，若命题p： 0，命题 q： ， 夹角是锐角

11、，则命题 p 是 命题 q 成立的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】利用数量积运算性质、三角函数求值即可判断出结论 【解答】解：设 ， 夹角是 ， 命题 p： 0，则 cos0， 是锐角或 0， 则命题 p 是命题 q 成立的必要不充分条件 故选：B 5直线 l：xky1=0 与圆 C：x2 +y 2=2 的位置关系是（ ） A相切 B相离 C相交 D与 k 的取值有关 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】求出圆 C：x2+y2=2 的圆心 C（0，0） ，半径 r=，再求出圆心 C（0，0）到直线

12、l：xky1=0 的距离，从而得到直线l：xky1=0 与圆 C：x2 +y 2=2 相交 【解答】解：圆 C：x2+y2=2 的圆心 C（0，0） ，半径 r=， 圆心 C（0，0）到直线 l：xky1=0 的距离 d= 直线 l：xky1=0 与圆 C：x2 +y 2=2 相交 故选：C 6以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已 知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为（） ， A2，5 B5，5 C5，8 D8，8 【考点】茎叶图 【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5找甲组数据的中位数

13、要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数据此列式求解即可 【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）5=16.8； y=8； 甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27所以中位数为：10+x=15， x=5 故选：C 7一个体积为 8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（） A4B4C6D6 ，可得底面边长a，可得：该三棱柱的俯 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】由侧视图可知：底面正三角形的高为2 视图为边长为 a 的正三角形，即可得出面积 【解答】解：由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长=2=4， 该三棱柱的俯视

14、图为边长为4的正三角形， 其面积= 故选：A 8 等差数列an和等比数列bn的首项都是 1， 公差公比都是 2， 则 b A64C256D4096 【考点】等差数列与等比数列的综合 B32 b =4 b= （） 【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得an=2n1，bn=2n1求得 bbb=b1b5b9，代入计算即可得到所求值 【解答】解：等差数列an和等比数列bn的首项都是 1，公差公比都是 2， 可得 an=1+2（n1）=2n1，bn=12n1=2n1 可得 bbb=b1b5b9 =12428=212=4096 故选：D 9函数 f（x）=lnx+ex的零点所在的区间是（） A （B）

15、（ ）C （1，e）D （e，） 【考点】函数零点的判定定理 【分析】由于函数在（0，+）单调递增且连续，根据零点判定定理只要满足f（a）f（b） 0 即为满足条件的区间 【解答】解：由于函数在（0，+）单调递增且连续 ，f（1）=e0 故满足条件的区间为（0，） 故选 A 10齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马， 劣于齐王的上等马，田忌的中等马 优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马， 现从双方的马匹 中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（） AB CD 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】根据题意，设齐王的三匹马分别记为a1，

16、a2，a3，田忌的三匹马分别记为b1，b2， b3，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目， 进而由等可能事 件的概率计算可得答案 【解答】解：设齐王的三匹马分别记为a1，a2，a3，田忌的三匹马分别记为b1，b2，b3， 齐王与田忌赛马，其情况有： （a1，b1） 、 （a2，b2） 、 （a3，b3） ，齐王获胜； （a1，b1） 、 （a2，b3） 、 （a3，b2） ，齐王获胜； （a2，b1） 、 （a1，b2） 、 （a3，b3） ，齐王获胜； （a2，b1） 、 （a1，b3） 、 （a3，b2） ，田忌获胜； （a3，b1） 、 （a1，b2） 、 （a2

17、，b3） ，齐王获胜； （a3，b1） 、 （a1，b3） 、 （a2，b2） ，齐王获胜；共 6 种； 其中田忌获胜的只有一种（a2，b1） 、 （a1，b3） 、 （a3，b2） ， 则田忌获胜的概率为， 故选：D 11双曲线的一个焦点 F 与抛物线 C2：y2=2px（p0）的 焦点相同，它们交于 A，B 两点，且直线 AB 过点 F，则双曲线 C1的离心率为（） AB C D2 【考点】双曲线的简单性质 【分析】求得抛物线的焦点，可得p=2c，将 x=c 代入双曲线的方程，可得 a，b，c 的关系和离心率公式，解方程即可得到所求 【解答】解：抛物线 C2：y2=2px（p0）的焦点为（

18、，0） ， 由题意可得 c=，即 p=2c， 由直线 AB 过点 F，结合对称性可得 AB 垂直于 x 轴， 令 x=c，代入双曲线的方程，可得y= 即有=2p=4c， ， =2p=4c，由 由 b2=c2a2，可得 c22aca2 =0， 由 e=，可得 e22e1=0， 解得 e=1+， （负的舍去） ， 故选：C 12定义在0，+）的函数 f（x）的导函数为 f（x） ，对于任意的 x0，恒有 f（x）f （x） ，a=e3f（2） ，b=e2f（3） ，则 a，b 的大小关系是（ ） Aab Bab Ca=b D无法确定 【考点】函数的单调性与导数的关系 【分析】构造新函数，研究其单调

19、性即可 【解答】解：令 g（x）=f（x） e5 x 则， = 对任意的 x0，f （x）f（x） ，ex0， g （x）0，即 g（x）在定义域上是增函数， g（2）g（3） 故答案选：B 二、填空题 13如图所示，当输入 a，b 分别为 2，3 时，最后输出的 M 的值是3 【考点】程序框图 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作 用是计算分段函数 M=的值，代入 a=2，b=3，即可得到答案 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算分段函数M= a=2b=3， M=3 故答案为：3 14 已

20、知实数 x，y 满足 1 【考点】简单线性规划 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解， 联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 ， 若目标函数 z=xy 的最大值为 a， 最小值为 b， 则 a+b= 的值， 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 化目标函数 z=xy 为 y=xz， 由图可知，当直线 y=xz 过 A（2，0）时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 2； 当直线 y=xz 过 B（0，1）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为1 a=2，b=1，则 a+b=1 故答案为：1 15某事业单位共公开招聘一名职员，

21、从笔试成绩合格的6（编号分别为 16）名应试者中 通过面试选聘一名甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测甲：不可能是 6 号；乙：不是 4 号就是 5 号；丙：是1、2、3 号中的一名；丁：不可能是1、2、3 号已知四人中只有一 人预测正确，那么入选者是6号 【考点】进行简单的合情推理 【分析】结合题意，进行假设，然后根据假设进行分析、推理，即可判断入选者 【解答】解：入选者不能是4 号、5 号，因为如果是4 号或 5 号，则甲、乙、丁三个人的猜 测都是正确的； 如果入选者是 6 号，那么甲、乙、丙的猜测是错的，只有丁的猜测是对的； 如果入选者是 1、2、3 中的一个，那么甲、丁的猜测是错的，乙、

22、丙的猜测是对的； 根据题意“只有一人的猜测对的”， 所以入选者是 6 号 故答案为：6 16在ABC 中，BC=，A=60，则ABC 周长的最大值 【考点】正弦定理 【分析】由正弦定理可得：=2，因此ABC 周长 =a+b+c=+2sinB+2sinC，=2sinB+2sin+ 的单调性即可得出 ，利用和差公式展开化简整理，再利用三角函数 【解答】解：在ABC 中，由正弦定理可得： b=2sinB，c=2sinC， ABC 周长=a+b+c= =2sinB+2sin+ =2， +2sinB+2sinC， =2sinB+2 =3sinB+ =2 =2sin（B+30）+， 0B120， B+30

23、（30，150） ， sin（B+30） ABC 周长3 故答案为：3 cosB+ + + 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. . 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，Sn=2an2 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn=log2an，cn= ，求数列cn的前 n 项和 Tn 【考点】数列的求和 【分析】 （1）首先利用递推关系求出数列的通项公式， （2）进一步利用求出新数列的通项公式，最后利用裂项相消法求数列的和 【解答】解： （1）当 n=1 时

24、，a1=2， 当 n2 时，an=SnSn 1=2an2（2an12） =2an2an 1 an=2an 1， 即 数列an为以 2 为公比的等比数列， an=2n （2）b=log2an=n cn= Tn=c1 +c 2+cn= = 18如图，梯形ABEF 中，AFBE，ABAF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC 将梯形 CDFE 折起，使得平面 CDFE平面 ABCD （1）证明：AC平面 BEF； （2）求三棱锥 DBEF 的体积 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （1）取 BF 中点为 M，AC 与 BD 交点为 O，连结 MO，ME，由已知结

25、合三角形中 位线定理可得四边形 OCEM 为平行四边形，然后利用线面平行的判定得答案； （2）由线面垂直的性质定理可得BC平面 DEF，然后把三棱锥 DBEF 的体积转化为三 棱锥 BDEF 的体积求解 【解答】 （1）证明：如图，记 BF 中点为 M，AC 与 BD 交点为 O， 连结 MO，ME， 由题设知，且 CEDF，且 MO=， 即 CE=MO 且 CEMO，知四边形 OCEM 为平行四边形， 有 EMCO，即 EMAC， 又 AC 平面 BEF，EM平面 BEF， AC平面 BEF； （2）解：平面 CDFE平面 ABCD，平面 CDFE 平面 ABCD=DC，BCDC， BC平面

26、 DEF， 三棱锥 DBEF 的体积为= 19 从某校高三 1200 名学生中随机抽取 40 名， 将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直 90）100） 方图 （如图） （满分为 150 分， 成绩均为不低于 80 分整数） ， 分为 7 段： 80， 90， 100，110） ，110，120） ，120，130） ，130，140） ，140，150 （1）求图中的实数 a 的值，并估计该高三学生这次成绩在120 分以上的人数； （2）在随机抽取的40 名学生中，从成绩在90，100）与140，150两个分数段内随机抽取 两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10 的概率 【考

27、点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （1）由频率分布直方图中频率之和为1，能求出 a，估计该校成绩在 120 分以上人 数即可； （2）根据概率公式计算即可 【解答】解： （1）由 0.025+0.05+0.075+0.1+0.2+0.25+10a=1，得 a=0.03 成绩在 120 分以上的 人频率为 0.3+0.25+0.075=0.625，估计该校成绩在 120 分以上人数为 12000.625=750 人， （2）成绩在90，100）与140，150两个分数段内学生人数分别为2 人和 3 人，从中抽出 2 人的基本事件总数为 10 种， 其中这两名学生

28、的成绩之差的绝对值不大于10 的事件数为 4， 所求概率为 p= 20已知椭圆 C： +=1（ab0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且 = 该三角形的面积为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 F1，F2是椭圆 C 的左右焦点，若椭圆 C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F1 和 F2，求这个平行四边形的面积最大值 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为 列出方程组，求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的方程 ， （2）设过椭圆右焦点F2的直线 l：x=ty+1 与椭圆交于 A，B 两点，由

29、 ，得： （3t2+4）y2+6ty9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能 求出平行四边形面积的最大值 【解答】20 （本小题满分 12 分） 解： （1）椭圆 C： 且该三角形的面积为 + ， =1（ab0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形， 依题意，解得 a=2，b=，c=1， 椭圆 C 的方程为： （2）设过椭圆右焦点 F2的直线 l：x=ty+1 与椭圆交于 A，B 两点， 则，整理，得： （3t2+4）y2+6ty9=0， 由韦达定理，得：， |y1y2|= =， =， 椭圆 C 的内接平行四边形面积为S=4SOAB=， 令 m=1，则 S=f（m）

30、= =， 注意到 S=f（m）在1，+）上单调递减，Smax=f（1）=6， 当且仅当 m=1，即 t=0 时等号成立故这个平行四边形面积的最大值为6 21已知函数 f（x）=xalnx（aR） （1）若 f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）证明：若 0 x1x2，则 lnx1lnx21 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （1）法一：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到 函数的最小值，从而求出a 的范围即可； 法二：分离参数，得到 axlnx（x0） ，令 g（x）=xlnx（x0） ，根据函数的单调性 求出 g

31、（x）的最小值，从而求出a 的范围即可； （2）先求出 lnxx1，得到 ln1， （0 x1x2） ，整理即可 【解答】解： （1）解法 1：f（x）=（x0） ， 令 f（x）0，得 x1；令 f（x）0，得 0 x1， 即 f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）上单调递增， 可知 f（x）的最小值是 f（1）=1a0，解得 a1； 解法 2：f（x）0，即 axlnx（x0） ， 令 g（x）=xlnx（x0） ， 则 g（x）=， （x0） ， 令 g（x）0，得 x1；令 g（x）0，得 0 x1， 即 g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）上单调递增， 可知 g（x）的最小

32、值是 g（1）=1，可得 a1； （2）证明：取 a=1，知 f（x）=x1lnx， 由（1）知 lnxx+10，即 lnxx1， ln 1， （0 x1x2） ， 整理得 lnx1lnx21 请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时 请写清题号。请写清题号。 选修选修 4-14-1：几何证明选讲：几何证明选讲 22如图，AB，CD 是圆 O 的两条互相垂直的直径，E 是圆 O 上的点，过 E 点作圆 O 的切 线交 AB 的延长线于 F，连结 CE 交 AB 于 G 点 （1）求证：FG2=FAFB； （2）若圆 O 的半径为 2，OB=OG，求 EG 的长 【考点】与圆有关的比例线段 【分析】 （1）连接 OE，DE，由弦切角定理知FEG=D，证明 FG=FE，由切割线定理得 FE2=FA