《1.4 简单计数问题》 课件 2.ppt

1、,1.4 简单计数问题 课件 2,组合应用题的解法 (1)无限制条件的组合应用问题的解法步骤为：,组合应用问题,(2)有限制条件的组合应用问题的解法 常用解法有：直接法，间接法可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同的位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类 分类时关键是确定分类标准，并且自始至终应按同一标准进行，谨防“重复”和“遗漏”,【例1】有12名划船运动员，其中人只会划左舷，人只会划右舷，其余人左右舷都会划，现要从这12名运动员中选出人平均分配在左、右舷划船参加比赛，共有多少种不同的选法？ 【审题指导】选出的人应有人会划左舷，另人会划右舷，可按只会划左舷的人

2、参加人数的多少分类考虑，但应注意左右舷都会划的人的安排,【规范解答】设集合A只会划左舷的3人，B只会划右舷的4人，C既会划左舷又会划右舷的5人 先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：A中有3人；A中有2人；C中有1人；A中有1人，C中有2人；C中有3人. 第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在BC中选3人，即有 种选法.因是分步问题，所以有,第类，划左舷的人在A中选2人，有 种选法，在C中选1 人，有 种选法，划右舷的在BC中剩下的8个人中选3 人，有 种选法.因是分步问题，所以有 种选法. 类似地，第类，有,第类有 因为是分类，所以一共有 84+840+1 050+20

3、02 174(种)选法,【变式训练】某池塘有A，B，C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有三个成人和两个儿童分乘这些船只，为安全起见，儿童必须有成人陪同才能乘船，他们分乘这些船只的方法共有_种,【解题提示】由题意可得如下分乘方案： 于是，根据表中方案分类和分步计数即可.,【解析】按A船所乘人数的多少分类考虑： 第一类，A船乘2人，则分乘方法有 第二类，A船乘3人，则分乘方法有 根据分类计数原理，共有12+15=27种分乘方法. 答案：27,分组与分配问题 1.分组问题常见形式及处理方法 (1)非均匀不编号分组(不平均分组) n个不同元素分成m组，第k组的元素个数用mk(1k

4、n)表示.每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为：,(2)均匀不编号分组(部分平均分组) 将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相 等，不管是否分尽，其分法种数为 (其中A为非均匀不编 号分组中分法数，即(1)中的A)，如果再有k组均匀分组应 再除以,(3)非均匀编号分组 n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各 组间的顺序，其分法种数为A(A为非均匀不编号分组中的分 法数，即(1)中的A). (4)均匀编号分组 n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间 的顺序，其分法种数为 (A为非均匀不编号分组中的 分法数，即(1)中的

5、A).,2.分配问题 将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题.分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，而后者则即使两人元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的，对于这类问题必须遵循先分组后排列的原则. 分配问题是指把元素分给指定的目标，其实质是先分组，再排序,【例2】有6本不同的书 (1)分成三份： 每份本，有多少种不同的分法？ 份本，另份各本，有多少种不同的分法？ 份本，份本，份本，有多少种不同的分法？,(2)分给甲、乙、丙人： 甲得本，乙得本，丙得本，有多少种不同的分法？ 人本，人本，人本，有多少种不同的分法？ 每人本，有多少种不同的分法？ 人本，另

6、人各本，有多少种不同的分法？,【审题指导】对于(1)，只要求分成三部分，不排列，与顺序无关；对于(2)，是分配问题，谁分得哪部分有区别，与顺序有关解答(1)可考虑有多少种组合即可，解答(2)可先分组，再分配,【规范解答】(1)先在本书中任取本作为一份，有 种不同的取法，再从余下的本书中任取本作为一份，有 种不同的取法，最后把余下的2本书都取出作为一份，有 种不同的取法，所以共有 种取法，但是这样每 种取法对应的是一个排列，总体来讲相当于对三个元素进行 了全排列，如“先取ab，再取cd，最后取ef”与“先取cd，,再取ab，最后取ef”，对应的分法是同一种组合，这里共进 行了 次，故分成三份，每

7、份2本，共有 共有 种分法.共有 种分法.,(2)先从6本书中任取1本分给甲，有 种给法，再从余 下的5本书中任取2本，分给乙，有 种给法，最后把余下 的3本书给丙，有 种给法，故共有 种不同的 分配方法. 甲、乙、丙3人谁得1本，谁得2本，谁得3本，不确定， 可考虑先分组，后分配，故共有： 种分法.,同理，有 种分法. 共有 种分法.,【互动探究】若将这6本书全部分给甲、乙、丙3人， (1)每人至少1本，有多少不同的分法？ (2)每人至多2本，有多少不同的分法？ 【解析】(1)每人至少1本，可能的情况有，“1人1本，1人2本，1人3本”或“每人2本”或“1人4本，另2人各1本”，即是本例(2

8、)中，问题的分法综合，由本例解答知，共有360+90+90=540种不同的分法 (2)每人至多2本，即是“每人2本”，由本例解答知，有 90种不同的分法,【误区警示】解答本题易对“至多”、“至少”的含义模糊不清，从而使问题(1)解答过于简单，导致分类不全出现“遗漏”；问题(2)产生分类现象，造成“增解”，进而导致错误结论,【例】12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组(每组4个队)，则3个强队恰好被分在同一组的分法有_种 【审题指导】本题属于分组问题，个强队分在同一组，即个强队与其余个队中的任意一个队进行组合，于是分步考虑即可,【规范解答】先安排强队分法，再考虑其他，3个强队恰好

9、被分在同一组分法有 种 答案：315,【互动探究】本题条件不变，所求问题改为：若任两个强 队不能分在同一组，则不同的分法有_种 【解析】任两个强队不能分在同一组，即每组有一个强 队，不同的分法共有 种 答案：1 680,排列组合的综合应用 解决排列组合应用题的步骤和方法 (1)一般步骤 把具体问题化归为排列或组合问题； 通过分析确定运用两个计数原理； 分析题目条件，避免重复或遗漏； 列出式子，准确计算.,(2)常用方法 相邻元素归并法(又称捆绑法)； 相离元素插空法； 定位元素优先安排法； 有序分配依次分组法; 多元素不相容情况分类法； 交叉问题集合法； 混合问题先组合后排序法； “至少”、“

10、至多”问题间接排除法.,【例3】已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有次品为止. (1)若恰在第5次才测试到第一件次品，第十次才找出最后一件次品，则不同的测试方法有多少种？ (2)若恰在第5次测试后，就找到了所有4件次品，则这样的不同测试方法有多少种？,【审题指导】10件产品中有件次品，若恰在第次测试到件次品，第十次才找出最后件次品，说明前次测出的均为正品，第次测到的是件次品，第至第9次测出件次品；若在第次测试后就找到了件次品，说明前次测出件次品，第次测到的是最后件次品本题属于排列组合的综合应用问题，解答时注意将问题合理转化，直接分步解决即可,【规范解答】(1)先

11、排前次测试，只能取正品，有 种 不同测试方法，再从4件次品中选在第5和第10的位置上进 行测试，有 (种)测法，再排余下4件的测试位置， 有 种测试方法.所以共有不同排法 =103 680 (种). (2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现， 从而前4次有一件正品出现，所以共有不同 测试方法,【变式训练】名乒乓球运动员中，有名老队员，和 名新队员，现从中选出名队员排成1,2,3号参加团队比 赛，要求入选的名队员中至少有名老队员，且1,2号队 员中至少有名新队员，这样的排法有多少种？ 【解析】分类：老队员有名入选，有 (种)不 同排法 老队员有名入选，有 (种)不同排法 所以共有3

12、6+1248(种)排法,【典例】(12分)将个编号为1，2，3，4的四个小球放入个编号为1，2，3，4的盒子中，则恰好有一个空盒的投放方法有多少种？ 【审题指导】恰好有一个空盒，即其中个盒子放球，且一个盒子投放球，另两个盒子各放一球解答本题可先分组后分配，也可逐一分配,【规范解答】方法一：先将个小球按,分为三组，有 种分法， 分 再将三组小球投入个盒子中，有 种不同的投放方 法，10分 故共有 种投放方法12分,方法二：先取个球中的个“捆绑”在一起，有 种选 法， 3分 把它与其余个小球，共个元素分别放入个盒子的 个中，有 种放法，6分 故共有 种投放方法12分,【误区警示】对解答本题时易犯的

13、错误具体分析如下：,【即时训练】安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2 人，则不同的分配方案共有_种.(用数字作答) 【解析】分2类： (1)每校最多1人，有 (2)其中一所学校有2人，把3人分两组，再分到学校，有 答案:60,1.从4名男生、3名女生中各选出2名组成研究性学习小组， 并从选出的4人中再选定1人当组长，则不同选法的种数是 ( ) (A) (B) (C) (D),【解析】选C.分三步：先从4名男生中任选2名，有 种不 同选法，再从3名女生中任选2名，有 种不同选法，最后 从选出的4人中任选1人当组长，有 种不同选法， 所以共有 种不同选法,故选C.,2.用1、2、3这三个数字

14、组成四位数，规定这三个数字必须使用，但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数有( ) (A)9个 (B)18个 (C)12个 (D)36个,【解析】选B.相同的数字可以是1，2，3三种情况，当相同数字中间隔一个数字时， 种情况；相同数字中间隔 两个数字时，有 种情况，由分类计数原理，四位数的总 数为：,3.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班一位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有( ) (A)210种 (B)420种 (C)630种 (D)840种,【解析】选B方法一(直接法)：选出的位教师可以是 “男女”、“男女”，所以不同的选

15、派方法共有 方法二(间接法)：从男女共位教师中选出名教师 的不同选法有 种，其中都是男教师的选法有 种，都 是女教师的选法有 种，所以符合题意的选派方法共,4.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答) 【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有 第二步将分好的三组分配到3个 乡镇，其分法有 所以满足条件的分配方案有 =36种. 答案:36,5.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺 术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课 不排在第6节，则不同的排法种数为_(以数字作答) 【解析】先排数学课有 种排法，再排最后一节有 种 排法，剩余的有 种排法，共有 答案:288,6.某市工商局对35种商品进行抽样检