初等数学常用公式

1、 初等数学常用公式： （一）代数（一）代数 乘法及因式分解公式 （1）(1) (x+a) (x+b) =x2 + (a+b)x +ab (2) (ab)2=a2 2ab+b2 (3) (ab)3=a33a2b+3ab2b3 (4) (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (5) (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3b2c+3bc2+ 3a2c+ 3ac2+ 6abc (6) a2-b2=(a -b)(a+b) (7) a3b3= (ab) (a2ab +b2). (8) an-bn= (a-b)(an-1 +an-2b+an-3b2 +abn-2+bn

2、-1) (n为正整数) (9) an-bn= (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1) (n为偶数) (10) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1) (n为奇数) 2。指数运算（设 a,b,是正实数，m,n 是任意实数） 1. 指数定义指数定义 下面（1）-（3）式中，m、n 均为正整数 （1） an = (n个a的乘积） ； (2) (3) (4) 无理指数幂可用有理指数幂近似表示. 例如 1 2.指数运算法则指数运算法则 （1） （2） (3) (4) (5) 式中 a.0 ， b0 ； x1 ，x2 ，x 为任

3、意实数 3.对数定义对数定义 若 ax=b (a0 , a1) ，则x 称为b 的以a 为底的对数，记作 当 a=10 时， ，称为常用对数. 当 a=e 时， ，称为自然对数. 4.对数的性质对数的性质 （1） (2) (3) (4) (5)换底公式 由此可推出： （a） （在换底公式中取 c=b） (b) （在换底公式中取 c=10） （c） ln log ln a b b a =（在换底公式中取2.71828ce=?） 2 5.对数运算法则对数运算法则 (1) (2) (3) （x 为任意实数） 1.1.基本不等式 基本不等式 在下面 1）5）各式中，设 a b, 则 1) a c b

4、c 2) ac bc (c0)； acbc (cbn ( n0, a0, b0) ; anbn ( n0, b0) 5) (n 为正整数,a0,b0) 6）设 且 b, d 同号，则 2. 有关绝对值的不等式有关绝对值的不等式 (1) 绝对值的定义绝对值的定义 实数 a 的绝对值 3 实数的绝对值是数轴上点到原点的距离 (2) 有关绝对值的不等式有关绝对值的不等式 (a) 若 a , b, k 为任意复数（包含实数） ，则 (b） 若 a ,b 为任意复数（包含实数） ，则 (c） 若 则 -bab 特别有 （d） 若 则 ab 或 a-b （e） （f） 若 a , b,k 为任意复数（包含

5、实数） ，则 (g） 若 a , b,k 为任意复数（包含实数） ，则 有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式 1) sinxxtgx (0x ) 2) cosx 1 (0x ) 3) ( ) 4) (-x0 ) 4 6) ( 0x ) 7) ( 0x1, x ) 8) ( x0 ) 9) ( x0) 11) ( x0 ) 12) ( x-1, x0 ) 13) ( x-1, x0 ) 14) ( x -1, x0 ) 特别取 (n 为自然数 ), 有 15）lnx x-1 ( x0 ) 阶乘、排列、组合、二项与多项式阶乘、排列、组合、二项与多项式 1

6、.阶乘阶乘 5 定义 说明 0！=1 规定 n 的阶乘 (-1)!=0 规定 (21)! (21)! 1 3 5(21) 2! n n nn n + += += 奇数的阶乘 0!=0 规定 偶数的阶乘 注：注：表中 n 为自然数 2.排列排列 (a) 从 n 个不同的元素中每次取出 k 个(kn)不同的元素，按一定的顺序排成一列， 称为排列其排列种数为： (b) 特别当 k=n 时，此排列称为全排列其排列种数为： 3.组合组合 (a) 从 n 个不同的元素中每次取出 k 个(kn)不同的元素，不管其顺序合并成一组， 称为组合其组合种数为： (b) 组合公式 6 4. 求和公式及二项式展开 4.

7、 求和公式及二项式展开 (1) (1) 2 ) 1( 21 1 + =+= = nn ni n i ?; ; (2) (2) 1, 1 1 1 2 1 =+= + = q q q qqqq n n n i i ?. . (3) 二项式展开 (3) 二项式展开 nnnnn nn n n n n n n n n bnabba nn bnaa bCbaCbaCaCba + += +=+ 1221 222110 ! 2 ) 1( )( ? ? 其中 ! ) 1() 1( !)!( ! k knnn kkn n C k n + = = ? , ,而且 kn n k n CC = 1 0 = n nn C

8、C. 代数方程代数方程 1 一元一元 n 次代数方程次代数方程 其中n为正整数；a0 , a1 , an是属于数域 S（实数域或复数域）的常数；x为未知 数. f(x)称为一元n次多项式；方程 f(x)=0 称为一元n次代数方程；最高次项系数 a0称为 首项系数. 设 c 是一常数，使 f(c)=0 , 则称 c 为多项式 f(x) 或方程 f(x)=0 的根 代数基本定理代数基本定理 每个复数域上 n 次代数方程 在复数域中至少有一个根 代数基本定理的推论代数基本定理的推论 每个 n 次代数方程在复数域中有且只有 n 个根. 2 一元二次方程一元二次方程 方程 7 根的表达式 根与系数关系

9、判别式 有两个不等的实根 有两个相等的实根 有两个复根 有两个不等的实根 有两个相等的实根 有两个复根 二二. 三角函数公式表三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系： 平方关系： tan cot1 sin csc1 cos sec1 sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec sin2cos21 1tan2sec2 1cot2csc2 （六边形记忆法： 图形结构 “上弦中切下割， 左正右余中间 1” ；记忆方法“对角线上两 个函数的积为 1；阴影三角形上两顶点的三 角函数值的平方和等于下顶点的三角函数 值的平方； 任

10、意一顶点的三角函数值等于相 邻两个顶点的三角函数值的乘积。 ” ） 诱导公式诱导公式（口诀口诀:奇变偶不变，符号看象限。奇变偶不变，符号看象限。） sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sin（/2）cos sin（）sin sin（3/2）cos sin（2）sin 8 cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan cos（）cos tan（）tan cot（）cot sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot cos（3/

11、2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot (其中 kZ) 两角和与差的三角函数公式两角和与差的三角函数公式 万能公式万能公式 sin（）sincoscossin sin（）sincoscossin cos（）coscossinsin cos（）coscossinsin tantan tan（）=- 1tan tan tantan tan

12、（）- 1tan tan 2tan(/2) sin- 1tan 2(/2) 1tan 2(/2) cos- 1tan 2(/2) 2tan(/2) tan- 1tan 2(/2) 半角的正弦、余弦和正切公式半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin22sincos cos2cos 2sin22cos2112sin2 2tan tan2 1tan 2 sin33sin4sin 3 cos34cos 33cos 3tantan 3 tan3 13tan 2

13、9 三角函数的和差化积公式三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式三角函数的积化和差公式 sinsin2sincos 2 2 sinsin2cossin 2 2 coscos2coscos 2 2 coscos2sinsin 2 2 1 sin cos -sin（）sin（） 2 1 cos sin-sin（）sin（） 2 1 cos cos-cos（）cos（） 2 1 sin sin -cos（）cos（） 2 化化asin bcos为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式） 角角 的所有三角函数在几何上可以依据以的所

14、有三角函数在几何上可以依据以O点为圆心的单位圆来构造如下图点为圆心的单位圆来构造如下图 三.初等几何 三.初等几何 10 在下列公式中，字母 R，r 表示高，l 表示斜高，s 表示底面积 在下列公式中，字母 R，r 表示高，l 表示斜高，s 表示底面积 1.园：周长2 r= 2.扇形：面积 2 1 2 r=，其中 r 为半径，为扇形的园心角（以弧度 计） ， 为扇形的弧长 r 3.棱锥：体积 1 3 sh= 4.正园锥：体积 2 1 3 r h= ； 侧面积rl= ； 全面积 ()r rl= + 5.截圆锥：体积 22 ( 3 h )RrRr =+； 侧面积()l Rr= + 6. 体积 3

15、4 3 r=； 表面积 2 4 r= 直棱柱侧 面积 S=ch 斜棱柱侧面积 S=ch 正棱锥侧 面积 S=1/2c.h 正棱台侧面积 S=1/2 (c+c)h 圆台侧面 积 S=1/2(c+c)l=(R+r)l 球的表面积 S=4r2 圆柱侧面 积 S=ch=2 h 圆锥侧面积 S=1/2cl=rl 弧长公式 l=ar a 是圆心角的弧 扇形面积公式 s=1/2lr 11 度数 r 0 锥体体积 公式 V=1/3SH 圆锥体体积公式 V=1/3 r2h 斜棱柱体 积 V=SL 注：其中,S是直截面面积， L 是侧 棱长 柱体体积 公式 V=sh 圆柱体 V=r2h 常用直线方程（点斜式、斜截

16、式、两点式和截距式）点斜式、斜截式、两点式和截距式） (一)点斜式 已知直线l 的斜率是 k，并且经过点 P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可 求的，怎样求直线 l 的方程(图 1-24)？ 设点P(x，y)是直线 l 上不同于 P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得 注意方程(1)与方程(2)的差异：点 P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)， 因此，点 P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能 称作直线 l 的方程 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆 推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以

17、这个方程就是过点 P1、 斜率为 k 的直线 l 的方程 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式 12 当直线的斜率为0时(图 1-25)，k=0，直线的方程是 y=y1 当直线的斜率为90时(图 1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜 式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1 (二)斜截式 已知直线l 在 y 轴上的截距为 b，斜率为 b，求直线的方程 这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率 k，求直线的方程，是 点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得： y-b=k(x-0) 也就是 上面的方程叫做直线的斜截式

18、方程为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和 它在y 轴上的截距确定的 13 当k0 时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中 k 和 b 的几 何意义就是分别表示直线的斜率和在 y 轴上的截距 (三)两点式 已知直线l 上的两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1x2)，直线的位置是确定 的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线 l 的方程 当y1y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成 这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式 对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直 线与坐标轴平行(x1=x2或 y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程， 只要记住左边就行了， 右边可由左边见 y 就用