新课标版高考数学复习题库考点10解三角形应用举例

1、 考点 10 解三角形应用举例 考点 10 解三角形应用举例 1.（2010陕西高考理科7）如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5 33海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船 到达 D 点需要多长时间？ 【命题立意】本题考查了三角恒等变换、正、余弦定理，考查了解决三角形 问题的能力，属于中档题. 2.（2010陕西高考文科7）在ABC 中，已知 B=45,D 是 BC 边上的一点， AD=10,AC=14

2、,DC=6，求 AB 的长. 【命题立意】本题考查了已知三角函数值求角、正弦定理、余弦定理，考查了解三角形问题的能力， 属于中档题. 【思路点拨】解三角形ADC cosADCADCADB解三角形ABD AB 【规范解答】在ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cosADC 222 2 ADDCAC AD DC =100 36 1961 2 10 62 , ADC=120, ADB=60, 在ABD 中，AD=10, B=45, ADB=60， 由正弦定理得 sinsin ABAD ADBB , AB= 3 10 sin10sin60 2 5 6 sinsin452 2

3、ADADB B . 3.（2010江苏高考7） 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单 位 ： m） ，如示意图， 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4 m，仰角ABE=， ADE=. (1)该小组已测得一组，的值，算出了 tan=1.24， tan=1.20， 请据此算出 H 的值. (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m） ，使与之差较大， 可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时，-最大？ 【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用. 【思路点拨】 （1）利用, ,H ，h 分别表示 AB，

4、AD，BD，然后利用 AD-AB=DB 求解. （2）利用基本不等式求解. 【规范解答】 （1） tan tan HH AD AD ，同理： tan H AB ， tan h BD . 由 AD-AB=DB，得 tantantan HHh ，解得： 因此，算出的电视塔的高度 H 是 124 m. （2）由题设知dAB，得tan,tan HHhHh dADDBd ， 2 tantan tan() () 1tantan() 1 HHh hdh dd HHhH Hh dH Hh d ddd () 2() HHh dHHh d （当且仅当 ()125121555dH Hh 时，取等号） 故当55 5d

5、 时，tan()最大. 因为0 2 ，则0 2 ，由tanyx的单调性可知：当55 5d 时，-最大. 故所求的d是55 5m. 4.（2010安徽高考理科16）设ABC是锐角三角形，, ,a b c分别是内角, ,A B C所对边长，并且 22 sinsin() sin() sin 33 ABBB . (1)求角A的值. (2)若12,2 7ABACa ，求, b c（其中bc）.AB AC 【命题立意】 本题主要考查三角函数，向量的数量积，余弦定理等知识的综合应用，考查考生化简、运算、 求解能力. 【思路点拨】 先对 22 sinsin()sin()sin 33 ABBB 化简， 求出角A

6、； 再根据(2)的条件和余弦定理， 构造方程组求解, b c . 【规范解答】 （1） 22 sinsin()sin()sin 33 ABBB 2 3131 (cossin)(cossin)sin 2222 BBBBB 222 31 cossinsin 44 BBB 3 4 ， 3 sin 2 A ， 由题意0 2 A ，所以 3 sin 2 A， 3 A . 22222 2cos2cos28 3 abcbcAbcbc ， 22 28bcbc， 又bc，由解得4,6bc. 5.（2010福建高考文科21） 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇 出发时，轮船位于港口O北

7、偏西 30且与该港口相距 20 海里的A处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿 正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇. ()若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ ()为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值. ()是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存 在，试确定 v 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【命题立意】本题考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能 力、应用意

8、识，考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想. 【思路点拨】第一步设相遇时小艇航行的距离为s，利用余弦定理把s表 示为关于 t 的函数，利用二次函数的性质求解s的最小 值，并求解此时的速度；第二步利用余弦定理解三角形表 示出 v 与 t 的关系式，并利用函数知识求解速度的范围； 第三步把问题转化为一元二次方程根的分布问题. 【规范解答】 ()设相遇时小艇航行距离为s海里，则 ()若轮船与小艇在B处相遇，由题意可得： 化简 得 2 2 400600 900v tt 2 13 400675 4t ，由于 1 0 2 t ，即 1 2 t ，所以当 1 2 t 时，v取得最小 值10 13，即小

9、艇航行速度的最小值为10 13海里/小时. ()由()知 2 2 400600 900v tt ，令 1 0u u t ，于是有 22 4006009000uuv，小艇总能 有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，解 得：15 330v，所以的取值范围为 15 3,30. 解三角形应用题的一般步骤是： 一 “建模”： 1准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中的有关名称、术语，如视角、仰角、俯角、 方位角、坡度、象限角、方向角等. 2根据题意画出图形. 3把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学 模型. 二 “解模”：正确求

10、解.注意：算法要简练，运算要准确. 三 “还原说明”：给出应用题的答案. 6.（2010天津高考文科7）在ABC 中， cos cos ACB ABC . （）证明 B=C. （）若cos A=- 1 3 ，求 sin4B 3 的值. 【命题立意】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与 余弦等基础知识，考查基本运算能力. 【规范解答】 （）在ABC 中，由正弦定理及已知得 sinB sinC = cosB cosC .于是 sinBcosC-cosBsinC=0， 即 sin（B-C）=0.因为BC，从而 B-C=0. 所以 B=C. （）由 A+B+

11、C=和（）得 A=-2B,故 cos2B=-cos（-2B）=-cosA= 1 3 . 又 02B,于是 sin2B= 2 1 cos 2B= 2 2 3 . 从而 sin4B=2sin2Bcos2B= 4 2 9 ，cos4B= 22 7 cos 2sin 2 9 BB . 所以 4 27 3 sin(4)sin4 coscos4 sin 33318 BBB . 【方法技巧】解题的关键是合理利用三角函数公式对关系式进行恒等变形，要注意根据角的范围来确定三 角函数的符号. 7.（2010福建高考理科19） 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇 出发时，轮船位于港口O北

12、偏西 30且与该港口相距 20 海里的A处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿 正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇. ()若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ ()假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大 小） ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由. 【命题立意】本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算 求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整 合思想. 【规范解答】

13、 ()为使小艇航行距离最小，理想化的航行路线为OT，小艇到达T位置时轮船的航行位移 , 0 ATs 即 3 1 ,1030tt，310vt，从而330 310 t v（海里/时）. ()若轮船与小艇在 H 处相遇时，在直角三角形OHT中 运用勾股定理有：0400600)900( 22 ttv， 等价于 96410 600400 900 2 2 tt v（x=） 1 t 从而 )3(30 4 27 ) 4 3 (4109 4 9 ) 16 9 2 3 (410 22 v )3(30 4 27 ) 4 3 (4109 4 9 ) 16 9 2 3 (410 22 v， O AB T GH 所以当3

14、0v时， 2 3 ， 3 2 t 也就是说，当小艇以 30 海里/小时的速度沿北偏东 30方向行走能以最短的时间遇到轮船. 解三角形应用题的一般步骤是： 一 “建模”： 1准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中的有关名称、术语，如视角、仰角、俯角、 方位角、坡度、象限角、方向角等. 2根据题意画出图形. 3把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学 模型. 二 “解模”：正确求解.注意：算法要简练，运算要准确. 三 “还原说明”：给出应用题的答案. 8.（2010安徽高考文科16）ABC的面积是 30， 内角, ,A B C所对边长分别为, ,a b c， 12 cos 13 A . (1)求.AB AC (2)若1cb，求a的值. 【命题立意】 本题主要考查三角函数，向量的数量积，余弦定理等知识的综合应用，考查考生化简、运算、 求解能力. 【思路点拨】由 12 cos 13 A 得sin A的值，再根据ABC面积公式得bc的值，从而求数量积