高三数学（文数）总复习练习专题七 三角恒等变换与解三角形

1、1(2015重庆，6，易)若 tan ，tan() ，则 tan () 1 3 1 2 A. B. 1 7 1 6 C. D. 5 7 5 6 【答案】Atan tan() tan（）tan 1tan（）tan . 1 2 1 3 11 6 1 7 2(2015江苏，8，易)已知 tan 2，tan() ，则 tan 的值为_ 1 7 【解析】tan tan（） 3. tan（）tan 1tan tan（） 1 72 12 7 【答案】3 3(2015 广东，16，12 分，易)已知 tan 2. (1)求 tan的值； ( 4) (2)求的值 sin 2 sin2 sin cos cos 2

2、1 解：(1)tan3. ( 4) tan tan 4 1tan tan 4 tan 1 1tan 21 12 (2) sin 2 sin2sin cos cos 21 2sin cos sin2sin cos （2cos21）1 2sin cos sin2sin cos 2cos2 2tan tan2tan 2 2 2 2222 1. 1(2013江西，3，易)若 sin ，则 cos () 2 3 3 A B C. D. 2 3 1 3 1 3 2 3 【答案】C由余弦的二倍角公式得 cos 12sin2 12 . 2 1 3 1 3 2(2013课标，6，易)已知 sin 2 ，则 co

3、s2() 2 3( 4) A. B. C. D. 1 6 1 3 1 2 2 3 【答案】Acos2 .故选 A. ( 4) 1cos(2 2) 2 1sin 2 2 12 3 2 1 6 3(2012重庆，5，中)() sin47sin17cos30 cos17 A B C. D. 3 2 1 2 1 2 3 2 【答案】C原式sin（3017）sin17cos30 cos17 sin30cos17cos30sin17sin17cos30 cos17 sin30 . sin30cos17 cos17 1 2 4(2014大纲全国，14，中)函数 ycos 2x2sin x 的最大值为_ 【解

4、析】因为 ycos 2x2sin x12sin2x2sin x2 ，所以当 sin x 时，函 (sin x 1 2) 2 3 2 1 2 数 ycos 2x2sin x 取得最大值，最大值为 . 3 2 【答案】3 2 5(2014江苏，15，14 分，中)已知 ，sin . ( 2 ，) 5 5 (1)求 sin的值； ( 4 ) (2)求 cos的值 ( 5 6 2) 解：(1)因为 ，sin ， ( 2，) 5 5 所以 cos . 1sin2 2 5 5 故 sinsin cos cos sin ( 4 ) 4 4 . 2 2 ( 2 5 5) 2 2 5 5 10 10 (2)由(

5、1)知 sin 22sin cos 2 ， 5 5 ( 2 5 5) 4 5 cos 212sin212 ， ( 5 5 ) 2 3 5 所以 cos(5 6 2) coscos 2sinsin 2 5 6 5 6 ( 3 2) 3 5 1 2 ( 4 5) . 43 3 10 6(2014四川，17，12 分，中)已知函数 f(x)sin. (3x 4) (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)若 是第二象限角，f coscos 2，求 cos sin 的值 ( 3) 4 5( 4) 解：(1)因为函数 ysin x 的单调递增区间为，kZ， 2 2k， 2 2k 由 2k3x 2k，kZ

6、， 2 4 2 得 x，kZ. 4 2k 3 12 2k 3 所以函数 f(x)的单调递增区间为，kZ. 4 2k 3 ， 12 2k 3 (2)由已知，有 f sin ( 3 )( 4) cos(cos2sin2)， 4 5 ( 4) 所以 sin cos cos sin 4 4 (cos2sin2)， 4 5(cos cos 4 sin sin 4) 即 sin cos (cos sin )2(sin cos ) 4 5 当 sin cos 0 时，由 是第二象限角，知 2k，kZ. 3 4 此时，cos sin . 2 当 sin cos 0 时， 有(cos sin )2 . 5 4

7、由 是第二象限角，知 cos sin 0， 此时 cos sin . 5 2 综上所述，cos sin 或. 2 5 2 7(2012广东，16，12 分，中)已知函数 f(x)Acos，xR，且 f . ( x 4 6)( 3) 2 (1)求 A 的值； (2)设 ，f ，f ，求 cos()的值 0， 2(4 4 3) 30 17(4 2 3) 8 5 解：(1)因为 f AcosAcos A，所以 A2. ( 3 )( 12 6) 4 2 2 2 (2)由 f 2cos (4 4 3 )( 3 6) 2cos2sin ， ( 2) 30 17 得 sin ，又 ， 15 17 0， 2

8、所以 cos . 8 17 由 f 2cos (4 2 3 )( 6 6) 2cos ， 8 5 得 cos ，又 ， 4 5 0， 2 所以 sin ， 3 5 所以 cos()cos cos sin sin . 8 17 4 5 15 17 3 5 13 85 考向 1三角函数式的化简与证明 1两角和与差的三角函数公式 sin()sin cos cos sin ；(S) sin()sin cos cos sin .(S) cos()cos cos sin sin ；(C) cos()cos cos sin sin .(C) tan()；(T) tan tan 1tan tan tan().

9、(T) tan tan 1tan tan 2二倍角公式 sin 22sin cos ；(S2) cos 2cos2sin22cos2112sin2；(C2) tan 2.(T2) 2tan 1tan2 3公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan tan tan()(1tan tan )； tan tan tan()(1tan tan ) (2)升幂公式 1cos 2cos2；1cos 2sin2. 2 2 (3)降幂公式 sin2；cos2. 1cos 2 2 1cos 2 2 (4)其他常用变形 sin 2； 2sin cos sin2cos2 2tan 1tan2 cos

10、 2； cos2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 1sin ； (sin 2 cos 2) 2 tan. 2 sin 1cos 1cos sin 4辅助角公式 asin bcos sin()，a2b2 其中 cos ，sin . a a2b2 b a2b2 5角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角 例如，2()()，2()()， ()()， . ( 4 ) 4( 3) 3 (2)互余与互补关系 例如， ( 4 ) (3 4 ) . ( 3 ) ( 6 ) 2 (3)非特殊角转化为特殊角 例如，154530，754530. 转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知

11、式中角的差异、函数名称的差异、运 算结构的差异，寻求联系，实现转化 (1)(2013重庆，9)4cos 50tan 40() A. B. C. D212 2 3 2 32 (2)(2014山东临沂质检，13)化简：sin2sin2cos2cos2 cos 2cos 2_. 1 2 【解析】(1)4cos 50tan 404sin 40sin 40 cos 40 4cos 40sin 40sin 40 cos 40 2sin 80sin 40 cos 40 2sin（12040）sin 40 cos 40 3cos 40sin 40sin 40 cos 40 ，故选 C. 3cos 40 cos

12、 40 3 (2)方法一(从“角”入手，复角化单角)： 原式sin2sin2cos2cos2 (2cos21)(2cos21) 1 2 sin2sin2cos2cos2 (4cos2cos22cos22cos21) 1 2 sin2sin2cos2cos2cos2cos21 2 sin2sin2cos2sin2cos21 2 sin2cos2 1 . 1 2 1 2 1 2 方法二(从“名”入手，异名化同名)： 原式sin2sin2(1sin2)cos2 cos 2cos 2 1 2 cos2sin2(cos2sin2) cos 2cos 2 1 2 cos2cos 2(sin21 2cos

13、2) cos 2 . 1cos 2 2 1 2 1 2 方法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)： 原式 cos 2cos 2 1cos 2 2 1cos 2 2 1cos 2 2 1cos 2 2 1 2 (1cos 2cos 2cos 2cos 2) (1cos 2cos 2cos 2cos 2) cos 2cos 1 4 1 4 1 2 2 . 1 4 1 4 1 2 方法四(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)： 原式(sin sin cos cos )22sin sin cos cos cos 2cos 2 1 2 cos2() sin 2sin 2 cos 2cos 2 1

14、 2 1 2 cos2() cos(22) 1 2 cos2() 2cos2()1 . 1 2 1 2 【答案】(1)C(2)1 2 【点拨】解题(1)的思路是先切化弦，再化异角为同角，约分化简；解题(2)的关键是要抓住所给三 角函数式的特点，明确化简思路，应用三角函数公式 三角函数式的化简方法及思路 (1)化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂， “1”的代换等 (2)化简的基本思路 “一角二名三结构” ，即： 一看“角” ，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公 式； 二看“函数名称” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见

15、的有“切化弦” ； 三看“结构特征” ，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分” ， “遇根式化被开 方式为完全平方式”等 根式的化简常常需要升幂去根号，在化简过程中注意角的范围，以确定三角函数值的正负 (2015上海黄浦区模拟，19，12 分)已知 0x，化简 ： lg 2(cos xtan x12sin2x 2) lglg(1sin 2x) 2cos (x 4) 解：原式lg(sin xcos x)lg(sin xcos x)lg(1sin 2x)lglg0. （sin xcos x）2 1sin 2x 1sin 2x 1sin 2x 考向 2三角函数的求值 三角函数求值的

16、原则 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围 (0， 2) 是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好 ( 2 ， 2) (2014江西，16，12 分)已知函数 f(x)(a2cos2x)cos(2x)为奇函数，且 f 0， ( 4) 其中 aR，(0，) (1)求 a，的值； (2)若 f ，求 sin的值 ( 4) 2 5( 2，)( 3) 【思路导引】(1)f(x)是奇函数，而 y1a2cos2x 是偶函数，所以 y2cos(2x)是奇函

17、数，可得 ，然后由 f 0，可得 a； (2)结合(1)中的结论，运用倍角公式化简 f(x)的解析式，再由同角三角函 ( 4 ) 数的基本关系式与两角和的正弦公式求 sin的值 ( 3) 【解析】(1)因为 f(x)(a2cos2x)cos(2x)是奇函数，而 y1a2cos2x 为偶函数，所以 y2 cos(2x)为奇函数，又 (0，)，得 ，所以 f(x)sin 2x(a2cos2x) 2 由 f 0，得(a1)0，即 a1. ( 4 ) (2)由(1)得，f(x) sin 4x，因为 f sin ，即 sin ， 1 2 ( 4 ) 1 2 2 5 4 5 又 ，从而 cos ， ( 2

18、，) 3 5 所以 sinsin cos cos sin . ( 3) 3 3 43 3 10 三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和 差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消， 从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合 所求式子的特点合理地进行变形 (2)“给值求值”：给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当 变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用同时也要注意变换待求式，便于将已知

19、式求得的函 数值代入，从而达到解题的目的 (3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值” ，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示， 由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围 在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值” (2014广东，16，12 分)已知函数 f(x)Asin，xR，且 f . (x 3)( 5 12) 3 2 2 (1)求 A 的值； (2)若 f()f()，求 f.3 (0， 2)( 6 ) 解：(1)fAsin ( 5 12 )( 5 12 3) Asin， 3 4 3 2 2 A3. 3 2 2 2 (2)由(1)得

20、，f(x)3sin， (x 3) f()f() 3sin3sin ( 3) ( 3) 33 (sin cos 3 cos sin 3) (sin 3cos cos 3sin ) 6sin cos 3sin . 3 3 sin .又，cos ， 3 3 (0， 2) 6 3 f 3sin ( 6 ) ( 6 3) 3sin 3cos 3. ( 2 ) 6 3 6 1(2014安徽蚌埠二模，6)的值是() 2cos 10sin 20 sin 70 A. B. 1 2 3 2 C. D.32 【答案】C原式2cos（3020）sin 20 sin 70 2（cos 30cos 20sin 30sin

21、 20）sin 20 sin 70 . 3cos 20 cos 20 3 2(2015山东济南一模，5)若，则 sin cos 的值为() cos 2 sin(7 4) 2 2 A B 2 2 1 2 C. D. 1 2 7 2 【答案】C由已知三角等式得 ，整理得 sin cos . cos2sin2 2 2 （sin cos ） 2 2 1 2 3(2014安徽合肥三模，8)已知 cossin ，则 sin的值是() ( 6 ) 4 3 5( 7 6) A B. 2 3 5 2 3 5 C. D 4 5 4 5 【答案】D由条件知 cossin ( 6 ) sin ( 3 2 cos 1

22、2sin ) 3( 3 2 sin 1 2cos ) sin，3 ( 6) 4 3 5 即 sin . ( 6) 4 5 故 sinsin ( 7 6)( 6 ) sin . ( 6) 4 5 4(2015河南开封二模，7)已知 tan 4，则的值为() 1cos 28sin2 sin 2 A4 B. 3 65 4 C4 D. 2 3 3 【答案】B.故选 B. 1cos 28sin2 sin 2 2cos28sin2 2sin cos 28tan2 2tan 28 42 2 4 65 4 方法点拨：将 cos 2，sin2展开把分子分母同除以 cos2，转化为含 tan 的式子代入求值 5(

23、2015北京西城一模，13)若锐角 ，满足(1tan )(1tan )4，则 _.33 【解析】因为(1tan )(1tan )4，所以 1(tan tan )3tan tan 4， 333 即(tan tan )33tan tan 3(1tan tan )， 3 即 tan tan (1tan tan ) 3 tan() tan tan 1tan tan . 3（1tan tan ） 1tan tan 3 又，为锐角， . 3 【答案】 3 6(2014河南商丘质检，14)已知 ，且 2sin2sincos 3cos20，则 (0， 2) _. sin( 4) sin 2cos 21 【解析

24、】 ，且 2sin2sin cos 3cos20， (0， 2) 则(2sin 3cos )(sin cos )0，2sin 3cos ， 又 sin2cos21， cos ，sin ， 2 13 3 13 sin( 4) sin 2cos 21 2 2 （sin cos ） （sin cos ）2（cos2sin2） . 26 8 【答案】 26 8 7(2015山东菏泽二模，13)已知 ，(0，)，且 tan() ，tan ，则 2 1 2 1 7 _. 【解析】tan tan() 1，所以 0 ， tan（）tan 1tan（）tan 1 2 1 7 11 2 ( 1 7) 1 3 4

25、tan 2 1， 2tan 1tan2 2 1 3 1( 1 3 ) 2 3 4 所以 02 ， 4 tan(2) tan 2tan 1tan 2tan 1. 3 4 (1 7) 13 4 ( 1 7) 因为 0，所以2 ， 4 所以 2. 3 4 【答案】3 4 8(2015山东济南一模，16，12 分)已知函数 f(x)sin xcos xsin2x.3 (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间上的取值范围 0， 4 解：f(x) sin 2x 1 2 3 1cos 2x 2 sin 2xcos 2x 1 2 3 2 3 2 sin. (2x 3) 3 2 (1)T. 2

26、 2 (2)x，2x . 0， 4 3 3， 5 6 当 2x 时，f(x)取得最大值 1；当 2x 时，f(x)取得最小值 . 3 2 3 2 3 5 6 1 2 3 2 f(x)在区间上的取值范围为. 0， 4 1 2 3 2 ，1 3 2 9(2014安徽池州二模，16，12 分)已知 ，(0，)，f(). 32cos 2 4sin (1)用 sin 表示 f()； (2)若 f()sin ，求 及 的值 解：(1)f()32（12sin 2） 4sin . 14sin2 4sin (2)00. f()sin 21， 1 4sin 1 4 又 f()sin 1，f()1， 此时 sin

27、， 1 4sin 即 sin ， 或. 1 2 6 5 6 又0，0sin 1，f()1， 所以 f()sin 1，所以 . 2 综上可知 或， . 6 5 6 2 10(2015福建龙岩一模，18，12 分)已知函数 f(x)sin xcos xcos2xa.3 (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)若 f(x)在区间上的最大值与最小值的和为 ，求 a 的值 6， 3 3 2 解：(1)f(x)sin 2xa 3 2 1cos 2x 2 sina ， (2x 6) 1 2 所以 T. 由 2k2x 2k，得 kxk. 2 6 3 2 6 2 3 故函数 f(x)的单调递减区间

28、是(kZ) 6 k，2 3 k (2)因为 x ， 6 3 所以 2x . 6 6 5 6 所以 sin1. 1 2 (2x 6) 因为函数 f(x)在上的最大值与最小值的和为 ， 6， 3 (1a 1 2) ( 1 2a 1 2) 3 2 所以 a0. 1(2015 广东，5，易)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a2，c2，cos A3 且 bc，则 b() 3 2 A3 B2 2 C2 D. 3 【答案】C在ABC 中，由余弦定理可得： a2b2c22bccos A， 4b2122b2，3 3 2 整理可得 b26b80. 解得 b2 或 b4.又bc2，3 b

29、4 舍去，b2，选 C. 2(2015安徽，12，易)在ABC 中，AB，A75，B45，则 AC_.6 【解析】由A75，B45知C60. 根据正弦定理，得， AB sin 60 AC sin 45 即 AC2. 6 sin 45 sin 60 【答案】2 3(2015 北京，11，易)在ABC 中，a3，b，A，则B_6 2 3 【解析】根据得 sin B， a sin A b sin B bsin A a 6sin2 3 3 sin B.B 或B. 2 2 4 3 4 又 ab，AB，B . 4 【答案】 4 4(2015湖北，15，中)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A

30、 处时测得公路北侧 一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角 为 30，则此山的高度 CD_m. 【解析】在ABC 中，CAB30，ACB45，AB600 m， 由正弦定理得， 600 sin 45 BC sin 30 BC300 m. 2 在 RtDCB 中，DBC30， tan 30， CD BC CDBCtan 30100(m) 6 【答案】100 6 5(2015山东，17，12 分，中)ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos B， 3 3 sin(AB)，ac2，求 sin A 和 c

31、的值 6 9 3 解：在ABC 中，由 cos B， 3 3 得 sin B.因为 ABC， 6 3 所以 sin Csin(AB). 6 9 因为 sin Csin B，所以 CB，可知 C 为锐角，所以 cos C. 5 3 9 因此 sin Asin(BC) sin Bcos Ccos Bsin C . 6 3 5 3 9 3 3 6 9 2 2 3 由， a sin A c sin C 可得 a2c. csin A sin C 2 2 3 c 6 9 3 又 ac2，所以 c1. 3 6(2015课标，17，12 分，中)ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD2DC.

32、 (1)求； sinB sinC (2)若BAC60，求B. 解：(1)由正弦定理得 ，. AD sinB BD sinBAD AD sinC DC sinCAD 因为 AD 平分BAC，BD2DC， 所以 . sinB sinC DC BD 1 2 (2)因为C180(BACB)，BAC60， 所以 sinCsin(BACB) cosB sinB. 3 2 1 2 由(1)知 2sinBsinC， 所以 tanB，即B30. 3 3 7 (2015课标， 17， 12 分， 中)已知 a， b， c 分别为ABC 内角 A， B， C 的对边， sin2B 2sin Asin C. (1)若

33、 ab，求 cos B； (2)设 B90，且 a，求ABC 的面积2 解：(1)由题设及正弦定理可得 b22ac. 又 ab，可得 b2c，a2c. 由余弦定理可得 cos B . a2c2b2 2ac 1 4 (2)由(1)知 b22ac. 因为 B90，由勾股定理得 a2c2b2. 故 a2c22ac，得 ca. 2 所以ABC 的面积为 1. 1 (2014江西， 5， 易)在ABC 中， 内角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c， 若 3a2b， 则2sin 2Bsin2A sin2A 的值为() A B. C1 D. 1 9 1 3 7 2 【答案】D由正弦定理可得2

34、121.因为 3a2b， 所以 2sin2Bsin2A sin2A( sin B sin A) 2 ( b a) 2 b a ，所以21 . 3 2 2sin2Bsin2A sin2A( 3 2 ) 2 7 2 方法点拨：正弦定理与余弦定理是架起三角形边角关系的两座桥梁，利用这两个定理可以进行边角 互化 2(2013北京，5，易)在ABC 中，a3，b5，sin A ，则 sin B() 1 3 A. B. C. D1 1 5 5 9 5 3 【答案】B在ABC 中，由正弦定理， a sin A b sin B 所以 sin B sin A . b a 5 3 1 3 5 9 3(2013课标

35、，4，中)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2，B，C 6 ，则ABC 的面积为() 4 A22 B.133 C22 D.133 【答案】B由正弦定理及已知条件得 c2. bsin C sin B 2 又 sin Asin(BC) ， 1 2 2 2 3 2 2 2 2 6 4 从而 SABC bcsin A 221.故选 B. 1 2 1 2 2 （ 2 6） 4 3 4(2014浙江，10，中)如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练已知 点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点

36、P，需计算 由点 A 观察点 P 的仰角 的大小(仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)若 AB15 m，AC25 m， BCM30，则 tan 的最大值是() A. B. C. D. 30 5 30 10 4 3 9 5 3 9 【答案】D如图，过点 P 作 PDBC，垂足为 D. 平面 MCB平面 ABC，且平面 MCB平面 ABCBC，PD平面 ABC. 连接 AD，PAD 为点 A 观察点 P 的仰角 .设 CDx，BCM30， PDx.在 RtABC 中，AB15，AC25，sinACB ， 3 3 15 25 3 5 cosACB .由余弦定理得 AD. 4 5 x22522

37、x25cosACBx240 x625 tan ， 3 3 x x240 x625 3 3 140 x 625 x2 3 3 ( 25 x 4 5) 2 9 25 当 0，即 x时， 25 x 4 5 125 4 tan 最大，最大值为，故选 D. 5 3 9 5(2014湖北，13，中)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 已知 A，a1，b 6 ，则 B_.3 【解析】由正弦定理，得 sin B， a sin A b sin B bsin A a 3 2 又 B，所以 B 或. ( 6， 5 6 ) 3 2 3 【答案】或 3 2 3 6(2014福建，14，中)在ABC

38、 中，A60，AC2，BC，则 AB 等于_3 【解析】由余弦定理得()2AB2222AB2cos 60， 3 即 AB22AB10，AB1. 【答案】1 7(2014山东，17，12 分，中)ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 a3，cos A ，BA. 6 3 2 (1)求 b 的值； (2)求ABC 的面积 解：(1)在ABC 中， 由题意知 sin A， 1cos2A 3 3 又因为 BA ， 2 所以 sin Bsincos A. (A 2) 6 3 由正弦定理可得 b3 . asin B sin A 3 6 3 3 3 2 (2)由 BA 得 2 cos

39、Bcossin A. (A 2) 3 3 由 ABC，得 C(AB) 所以 sin Csin(AB) sin(AB) sin Acos Bcos Asin B . 3 3 ( 3 3) 6 3 6 3 1 3 因此，ABC 的面积 S absin C 33 . 1 2 1 2 2 1 3 3 2 2 方法点拨：解三角形类试题时，要熟记正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识，然后根据已 知和上述公式、定理列出关于未知元素的方程，通过解方程得出未知元素，这是解三角形的基本方法 8 (2012安徽， 16， 12 分， 中)设ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b， c， 且有

40、 2sin Bcos Asin Acos Ccos Asin C. (1)求角 A 的大小； (2)若 b2，c1，D 为 BC 的中点，求 AD 的长 解：(1)方法一：由题知 2sin Bcos Asin(AC)sin B， 因为 sin B0，所以 cos A . 1 2 由于 0A，故 A . 3 方法二：由题设可知，2bb 2c2a2 2bc ac，于是 b2c2a2bc，所以 cos A . a2b2c2 2ab b2c2a2 2bc b2c2a2 2bc 1 2 由于 0A，故 A . 3 (2)方法一：因为 2 AD ( AB AC 2 ) 2 ( 222 ) 1 4 AB A

41、C AB AC (14212cos ) ， 1 4 3 7 4 所以|.从而 AD. AD 7 2 7 2 方法二：因为 a2b2c22bccos A 41221 3， 1 2 所以 a2c2b2，B . 2 因为 BD，AB1， 3 2 所以 AD. 1 3 4 7 2 考向 1利用正、余弦定理解三角形 1正、余弦定理 定理正弦定理余弦定理 内容 2R a sin A b sin B c sin C (其中 R 是ABC 外接圆的半径) a2b2c22bccos A； b2a2c22accos B； c2a2b22abcos C 变形 形式 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin

42、C； sin A，sin B，sin C； a 2R b 2R c 2R abcsin Asin Bsin C； asin Bbsin A， bsin Ccsin B， asin Ccsin A； 2R abc sin Asin Bsin C cos A； b2c2a2 2bc cos B； a2c2b2 2ac cos Ca 2b2c2 2ab 2利用正、余弦定理解三角形 (1)已知两角一边，用正弦定理，只有一解 (2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况 在ABC 中，已知 a，b 和角 A 时，解的情况如下： A 为锐角A 为钝角或直角 图形 关系式absin Ab

43、sin Aab 解的个数一解两解一解一解 上表中 A 为锐角时，absin A，无解 A 为钝角或直角时，ab，a0，sin A1，即 A ，故选 B. 2 (2)在ABC 中，sin Asin Bsin C51113， abc51113， 故令 a5k，b11k，c13k(k0)，由余弦定理可得 cos C0， a2b2c2 2ab 25k2121k2169k2 2 5 11k2 23 110 又C(0，)，C， ( 2，) ABC 为钝角三角形，故选 C. 【答案】(1)B(2)C 【点拨】解题(1)的关键是利用正弦定理进行边角互化，将已知式子转化为角角关系；解题(2)的关 键是利用正弦定

44、理将角角关系转化为边边关系，进而利用余弦定理求出最大边所对角的余弦值 利用正、余弦定理判断三角形形状的思路和途径 要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、 直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形” 与“等腰三角形或直角三角形” 的区别依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径： (1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出 边的相应关系，从而判断三角形的形状 (2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函 数恒等变形，得出内角

45、的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ABC这个结论 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解 (2012上海，16)在ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2C，则ABC 的形状是() A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定 【答案】Csin2Asin2Bsin2C，由正弦定理可得 a2b2c2， cos C0，得 C 为钝角，故选 C. 考向 3利用正、余弦定理求有关三角形的面积 三角形的面积公式 设ABC 的三边为 a，b，c，对应的三个角分别为 A，B，C，其面积为 S. (1)S ah(h 为 BC 边上的高)； 1 2

46、(2)S absin C bcsin A acsin B； 1 2 1 2 1 2 (3)S2R2sin Asin Bsin C(R 为ABC 外接圆半径)； (4)S； abc 4R (5)S；p（pa）（pb）（pc）(p1 2（abc）) (6)Spr(p 同“(5)”，r 为ABC 内切圆的半径) (2014课标，17，12 分)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，AB1，BC3，CDDA 2. (1)求 C 和 BD； (2)求四边形 ABCD 的面积 【思路导引】(1)根据内角 A， C 互补， 利用余弦定理列出关于角 C 和 BD 的方程组， 即可求出角 C 和 BD；

47、(2)利用三角形面积公式可得 S四边形 ABCDSABCD ABADsin A BCCDsin C，即可求得四边形 1 2 1 2 ABCD 的面积 【解析】(1)由题设及余弦定理得 BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C， BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C 由得 cos C ，故 C ， 1 2 3 BD. 7 (2)四边形 ABCD 的面积 S ABDAsin A BCCDsin C 1 2 1 2 sin ( 1 2 1 2 1 2 3 2) 3 2. 3 【点拨】(1)若已知量和未知量集中在一个三角形中，可直接利用正、余弦定理求解；(2)若已知量

48、和未知量涉及两个或两个以上三角形，可根据已知条件列方程组求解 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S absin C acsin B bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式 1 2 1 2 1 2 (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 (2014安徽，16，12 分)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b3， c1，ABC 的面积为，求 cos A 与 a 的值2 解：由三角形面积公式，得 S 31sin A， 1 2 2 sin A. 2 2 3 sin2Acos2A1， cos A 1sin2A1 8 9 .

49、 1 3 当 cos A 时，由余弦定理得 1 3 a2b2c22bccos A3212213 8， 1 3 a2. 2 当 cos A 时，由余弦定理得 1 3 a2b2c22bccos A321221312， ( 1 3) a2. 3 易错点拨：本题考查了正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等，应注意有两解时分类讨论思想的 应用 考向 4解三角形在实际问题中的应用 1常见的几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等 2实际应用中的常用术语 术语 名称 术语意义图形表示 仰角 与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中， 目标视 线在水平视线上方的叫作仰

50、角， 目标视线在 水平视线下方的叫作俯角 方位角 从某点的正北方向线起按顺时针方向到目 标方向线之间的水平夹角叫作方位角， 方位 角的范围是(0，360) 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐 角，通常表达为北(南)偏东(西)度 北偏东m南偏西n 坡角坡面与水平面的夹角 坡度坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比 设坡角为 ， 坡度为 i， 则 i tan h l (1)(2014四川，8)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75， 30，此时气球的高度是 60 m，则河流的宽度 BC 等于() A240(1)m B180(1)m32 C120(1)m

51、D30(1)m33 (2)(2014课标，16)如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测 得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从 C 点测得MCA60. 已知山高 BC100 m，则山高 MN_m. 【解析】(1)设 A 在地面的射影为 O， 则OAB907515，ABC105， 而BAC753045，ACB30， 又 AB，AB60()m. AO cos 15 60 cos（4530） 62 在ABC 中，由正弦定理得. sin 45 BC sin 30 AB BC120(1)m. 3 (2)如图，在 RtABC 中，BC

52、100，CAB45，AC100. 2 在AMC 中，CAM75，ACM60，AMC45. 由正弦定理知，AM100. AM sin 60 100 2 sin 45 3 在 RtAMN 中，NAM60， MNAMsin 60150(m) 【答案】(1)C(2)150 【点拨】解题(1)的关键是明确俯角的概念，正确使用两角差的余弦公式；解题(2)的思想是要注意 由实际问题转化为数学问题，正确应用定理 1.解三角形应用题的常见情形及方法 解三角形应用题常见的两种情况： (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求 解 (2)实际问题经抽象概括后， 已知量

53、与未知量涉及两个或两个以上的三角形， 这时需作出这些三角形， 先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)， 解方程(组)得出所要求的解 2解三角形应用题的一般步骤 (2013江苏，18，16 分)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一 种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假

54、设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min， 山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A，cos C . 12 13 3 5 (1)求索道 AB 的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解：(1)在ABC 中，因为 cos A， 12 13 cos C ，所以 sin A，sin C . 3 5 5 13 4 5 从而 sin Bsin(AC) sin(AC) sin Acos Ccos Asin C . 5 13 3 5 12 13 4 5 63 65 由，得 A

55、B sin C AC sin B ABsin C 1 040(m) AC sin B 1 260 63 65 4 5 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离 A 处 130t m， 所以由余弦定理得 d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50) 12 13 因为 0t，即 0t8， 1 040 130 故当 t(min)时，甲、乙两游客距离最短 35 37 (3)由， BC sin A AC sin B 得 BCsin A500(m) AC sin B

56、1 260 63 65 5 13 乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min， 由题意得33， 500 v 710 50 解得v， 1 250 43 625 14 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在(单 1 250 43 ，625 14 位：m/min)范围内 思路点拨：(1)利用正弦定理来解；(2)利用余弦定理构造函数，然后再求最值；(3)根据速度、路程、 时间三者之间的关系求范围 1(2014安徽安庆三模，6)在ABC 中，AB12，sin C1，则 abc 等于(

57、) A123 B321 C12 D2133 【答案】C由 sin C1，C，由 AB12，故 AB3A，得 A，B，由 2 2 6 3 正弦定理得，abcsin Asin Bsin C 12. 1 2 3 2 2 2 3 2(2014河南郑州质检，5)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 8b5c，C 2B，则 cos C() A. B C D. 7 25 7 25 7 25 24 25 【答案】A由 C2B 得 sin Csin 2B2sin Bcos B，由正弦定理及 8b5c 得 cos B sin C 2sin B ，所以 cos Ccos 2B2cos2B

58、121. c 2b 4 5( 4 5) 2 7 25 3(2015北京丰台一模，13)已知ABC 中，AB，BC1，sin Ccos C，则ABC 的面积为33 _ 【解析】由 sin Ccos C 得 tan C0， 所以 C .根据正弦定理可得， 即 33 3 BC sin A AB sin C 1 sin A 2，所以 sin A .因为 ABBC，所以 AC，所以 A ，所以 B ，所以三角形为直角三角形， 3 3 2 1 2 6 2 所以 SABC 1. 1 2 3 3 2 【答案】 3 2 4(2015山西太原一模，13)在ABC 中，若 B，ba，则 C_. 4 2 【解析】由正弦定理可得， 即， 解得 sin A .因为 baa， 所以 A a sin A b sin B a