高三数学（文数）总复习练习专题五 导数及其应用

1、1(2015课标，14，易)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则 a _ 【解析】f(x)3ax21， f(1)3a1， f(1)a2， 故 f(x)在点(1， f(1)处的切线方程为 y(a2) (3a1)(x1)，代入点(2，7)得，a1. 【答案】1 2(2015课标，16，中)已知曲线 yxln x 在点(1，1)处的切线与曲线 yax2(a2)x1 相切， 则 a_ 【解析】f(x)1 ，f(1)2， 1 x 切线方程为 y12(x1)， 即 y2x1. 由y2x1， yax2（a2）x1，) 得 ax2ax20.a28a0， 解得 a8(

2、a0 舍去) 【答案】8 1(2011重庆，3，易)曲线 yx33x2在点(1，2)处的切线方程为() Ay3x1 By3x5 Cy3x5 Dy2x Ay3x26x，当 x1 时，切线的斜率 k312613.故切线方程为 y23(x1)，即 y3x1，故选 A. 2(2011山东，4，中)曲线 yx311 在点 P(1，12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是() A9 B3 C9 D15 【答案】Cy3x2， 过点 P(1， 12)的切线的斜率 k3， 切线方程为 y123(x1)， 即 3x y90，故切线与 y 轴交点为(0，9)，故选 C. 3(2014广东，11，易)曲线 y5ex3

3、在点(0，2)处的切线方程为_ 【解析】切线的斜率为 y|x05ex|x05， 曲线在点(0，2)处的切线方程为 y25x，即 5xy20. 【答案】5xy20 4(2013广东，12，中)若曲线 yax2ln x 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a_. 【解析】令 f(x)ax2ln x，得 f(x)2ax ， 1 x 所以曲线在点(1，a)处的切线的斜率 kf(1)2a10，得 a . 1 2 【答案】1 2 方法点拨：曲线在某点处的切线平行于一条直线(斜率存在)，则曲线在该点处的导数等于直线的斜 率 5(2014江西，11，中)若曲线 yxln x 上点 P 处的切线平行于直线

4、 2xy10，则点 P 的坐标是 _ 【解析】由题意知，yln x1，直线斜率为 2.由导数的几何意义，令 ln x12，得 xe，所 以 yeln ee，所以 P(e，e) 【答案】(e，e) 方法点拨：先求函数的导数，再利用导数的几何意义确定切点的坐标 6(2012北京，18，13 分，中)已知函数 f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx. (1)若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求 a，b 的值； (2)当 a3，b9 时，若函数 f(x)g(x)在区间k，2上的最大值为 28，求 k 的取值范围 解：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.

5、因为曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以 f(1)g(1)，且 f(1) g(1) 即 a11b，且 2a3b. 解得 a3，b3. (2)令 h(x)f(x)g(x) 当 a3，b9 时， h(x)x33x29x1， h(x)3x26x9. 令 h(x)0，得 x13，x21. h(x)与 h(x)在(，2上的情况如下： x(，3)3(3，1)1(1，2)2 h(x)00 h(x)2843 由此可知： 当 k3 时，函数 h(x)在区间k，2上的最大值为 h(3)28；当3k2 时，函数 h(x)在区间 k，2上的最大值小于 28.因此，k 的取值范围

6、是(，3 7(2014山东，20，13 分，难)设函数 f(x)aln x，其中 a 为常数 x1 x1 (1)若 a0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)讨论函数 f(x)的单调性 解：(1)f(x)的定义域为(0，)， f(x) a x （x1）（x1） （x1）2 ， a x 2 （x1）2 a0，f(x)， 2 （x1）2 根据导数的几何意义，所求切线的斜率 kf(1) . 1 2 又f(1)0，所求切线方程为 y (x1)，即 x2y10. 1 2 (2)f(x)a（x1） 22x x（x1）2 ， ax22（a1）xa x（x1）2 当 a0 时，由 x0

7、知 f(x)0， f(x)在(0，)上单调递增 当 a0 时，令 g(x)ax22(a1)xa，由于 (2a2)24a24(2a1)， 当 a 时，0，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递减 1 2 1 2（x1） 2 x（x1）2 当 a 时，0，g(x)0，f(x)0.故函数 f(x)在(0，)上单调递减 1 2 当 0，即 a0 时， 1 2 令 x1，x2(x1x2)是函数 g(x)的两个零点，则 x1， （a1） 2a1 a x2， （a1） 2a1 a 由 x1a1 2a1 a 0， a22a1 2a1 a 令 f(x)0，则 x(x1，x2)， 令 f(x)0，则 x(0

8、，x1)(x2，)， f(x)在(x1，x2)上单调递增，在(0，x1)和(x2，)上单调递减 综上所述：当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增； 当 a0 时，f(x)在(x1，x2)上单调递增，在(0，x1)和(x2，)上单调递减 1 2 (其中 x1，x2； （a1） 2a1 a （a1） 2a1 a 当 a 时，f(x)在(0，)上单调递减 1 2 方法点拨：(1)求出函数的定义域和导数，根据导数的几何意义求切线方程；(2)将导数通分，只看分 子的符号决定导数的符号，对含参数的二次式进行分类讨论 考向 1导数的运算 1基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)C(C 为常数)f

9、(x)0 f(x)x(Q*)f(x)x1(Q*) f(x)sin xf(x)cos x f(x)cos xf(x)sin x f(x)ax(a0)f(x)axln a(a0) f(x)exf(x)ex f(x)logax(a0，且 a1)f(x)(a0，且 a1) 1 xln a f(x)ln xf(x)1 x 2.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3)(g(x)0) f（x） g（x） 2 fx g xf x gx g x (1)(2015山东济南一模，5)设 f(x)是 f(x)的导数，则() x 1x f

10、（2） f（2） A. B C2 D2 1 2 1 2 (2)(2013江西，13)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_. 【解析】(1)由 f(x)1， x 1x 1 x1 得 f(x)， 1 （x1）2 所以 f(2)2，f(2)1，所以 . f（2） f（2） 1 2 (2)令 tex，故 xln t，所以 f(t)ln tt，即 f(x)ln xx，所以 f(x) 1，所以 f(1)112. 1 x 【答案】(1)B(2)2 【点拨】解题(1)时，首先将函数解析式进行化简，便于求导运算；解题(2)时，先用换元法，求出 函数的解析式，然后再求导. 导数运

11、算的原则和方法 (1)原则：先化简解析式，再求导 (2)方法： 连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； 分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； 对数形式：先化为和、差的形式，再求导； 根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； 三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记混公式法则 (2015吉林长春模拟，6)函数 y的导数是() 2x2 x21 Ay By 4x（x21）4x2 （x21）2 4x（x21）4x3 （x21）2 Cy Dy 4x（x21）4x3 （x21）2 4x（x21）4x （

12、x21）2 【答案】B因为 y， 2x2 x21 所以 y4x（x 21）2x22x （x21）2 ，故选 B. 4x（x21）4x3 （x21）2 考向 2导数的几何意义及其应用 1导数的几何意义 函数 f(x)在 xx0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地， 切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0) 2导数几何意义的应用 (1)已知切点 A(x0，f(x0)求斜率 k，即求该点处的导数值 kf(x0) (2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1)，即解方程 f(x1)k. (3)已知过某点 M(x1，f(x1)(不是切点)的切

13、线斜率为 k 时，常需设出切点 A(x0，f(x0)，利用 k 求解 f（x1）f（x0） x1x0 (1)(2014江苏，11)在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 yax2 (a，b 为常数)过点 b x P(2，5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x2y30 平行，则 ab 的值是_ (2)(2013北京，18，13 分)设 L 为曲线 C：y在点(1，0)处的切线 ln x x 求 L 的方程； 证明：除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方 【思路导引】(1)依据点在曲线上，导数在切点处的取值等于切线的斜率，切线与直线平行，建立 关于 a， b 的方程组并求解 a，

14、b； (2)先求切线方程， 后证明直线 L 上任意一点对应的函数值均大于曲线 C 上任一点对应的函数值 【解析】(1)因为曲线 yax2 过点 P(2，5)， b x 所以 4a 5. b 2 又 y2ax，且曲线在点 P(2，5)处的切线与直线 7x2y30 平行，所以 4a . b x2 b 4 7 2 由解得所以 ab3. a1， b2. ) (2)设 f(x)，则 f(x). ln x x 1ln x x2 所以切线的斜率 kf(1)1， 所以 L 的方程为 yx1. 证明：令 g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)0(x0，x 1) g(x)

15、满足 g(1)0， 且 g(x)1f(x). x21ln x x2 当 0 x1 时，x210，ln x0，所以 g(x)0，故 g(x)单调递减； 当 x1 时，x210，ln x0，所以 g(x)0，故 g(x)单调递增 所以 g(x)g(1)0(x0，x1) 所以除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方 求函数的切线方程的注意事项 (1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点 (2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组 (3)在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件 (4)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点例如

16、，yx3在(1，1)处的切线 l 与 yx3的图象还有 一个交点(2，8) (1)(2014安徽，15)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件： (i)直线 l 在点 P(x0，y0)处与曲线 C 相切；(ii)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C. 下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号) 直线 l：y0 在点 P(0，0)处“切过”曲线 C：yx3 直线 l：x1 在点 P(1，0)处“切过”曲线 C：y(x1)2 直线 l：yx 在点 P(0，0)处“切过”曲线 C：ysin x 直线 l：yx 在点 P(0，0)处“切过”曲线

17、C：ytan x 直线 l：yx1 在点 P(1，0)处“切过”曲线 C：yln x (2)(2012课标全国，13)曲线 yx(3ln x1)在点(1，1)处的切线方程为_ (1)【解析】y3x2.在点 P(0，0)处，x0 时，k0，切线方程为 y0，满足(i)由图 1 可知， 满足(ii) y2(x1)，在点 P(1，0)处，x1 时，k0，切线方程为 y0，曲线在 P(1，0)处的切线 方程不是 x1，不满足(i) ycos x，在点 P(0，0)处，x0 时，k1，切线方程为 yx，满足(i)；由图 2 知，满足(ii) y.在点 P(0，0)处，k1，切线方程为 yx，满足(i)；

18、由图 3 知，满足 cos2xsin2x cos2 x 1 cos2x (ii) y ，在点 P(1，0)处，k1，切线方程为 yx1，满足(i)；由图 4 可知，不满足(ii) 1 x 综上，为真命题 【答案】 (2)【解析】y3ln x1x 3ln x4，曲线在点(1，1)处的斜率为 kf(1)4，切线方程为 y 3 x 14(x1)，即 y4x3. 【答案】y4x3 1(2015湖北襄阳一模，5)函数 f(x)excos x 的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为() A. B0 C. D1 4 3 4 【答案】A由 f(x)ex(cos xsin x)，则在点(0，f(0)处的切线

19、的斜率 kf(0)1，故倾斜角为 ，选 A. 4 2(2015湖南长沙二模，6)若曲线 f(x)x4x 在点 P 处的切线平行于直线 3xy0，则点 P 的坐标 为() A(1，2) B(1，3) C(1，0) D(1，5) 【答案】C设点 P 的坐标为(x0，y0)，因为 f(x)4x31，所以 f(x0)4x 13，即 x01.把 x0 3 0 1 代入函数 f(x)x4x 得 y00，所以点 P 的坐标为(1，0) 3(2015四川成都质检，8)已知函数 f(x) x32x22x，若存在满足 0 x03 的实数 x0，使得曲 1 3 线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线与直线 x

20、my100 垂直，则实数 m 的取值范围是() A6，) B(，2 C2，6 D5，6 【答案】Cf(x)x24x2(x2)26，因为 x00，3，所以 f(x0)2，6，又因为切线 与直线 xmy100 垂直，所以切线的斜率为 m，所以 m 的取值范围是2，6 4(2014河南开封二模，12)过点 A(2，1)作曲线 f(x)x33x 的切线最多有() A3 条 B2 条 C1 条 D0 条 【答案】A由题意得，f(x)3x23，设切点为(x0，x 3x0)，那么切线的斜率为 k3x 3， 3 02 0 利用点斜式方程可知切线方程为 y(x 3x0)(3x 3)(xx0)， 将点 A(2，

21、1)代入可得关于 x0的一元三次 3 02 0 方程 2x 6x 70.令 y2x 6x 7，则 y6x 12x0.由 y0 得 x00 或 x02.当 x00 时，y 3 02 03 02 02 0 70；x02 时，y10) a x 当 a0 时，f(x)0，f(x)没有零点； 当 a0 时，因为 ye2x单调递增，y 单调递增，所以 f(x)在(0，)单调递增又 f(a)0，当 a x b 满足 0b 且 b 时，f(b)0 时，f(x)存在唯一零点 a 4 1 4 (2)证明：由(1)，可设 f(x)在(0，)的唯一零点为 x0，当 x(0，x0)时，f(x)0. 故 f(x)在(0，

22、x0)单调递减，在(x0，)单调递增，所以当 xx0时，f(x)取得最小值，最小值为 f(x0) 由于0， 所以 f(x0)aln x0aln 2ax02ax0aln a x0 a 2x0 a 2x0 a 2 a 2x0 2 a 2aaln . 2 a 故当 a0 时，f(x)2aaln . 2 a 2(2015安徽，21，13 分，难)已知函数 f(x)(a0，r0) ax （xr）2 (1)求 f(x)的定义域，并讨论 f(x)的单调性； (2)若 400，求 f(x)在(0，)内的极值 a r 解：(1)由题意知 xr，所求的定义域为(，r)(r，) f(x)， ax （xr）2 ax

23、x22rxr2 f(x)a（x 22rxr2）ax（2x2r） （x22rxr2）2 ， a（rx）（xr） （xr）4 所以当 xr 或 xr 时，f(x)0； 当rxr 时，f(x)0， 因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r) (2)由(1)的解答可知 f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减因此，xr 是 f(x)的 极大值点，所以 f(x)在(0，)内的极大值为 f(r)100. ar （2r）2 a 4r 400 4 3(2015课标，21，12 分，难)已知函数 f(x)ln xa(1x) (1)讨论 f(x)的

24、单调性； (2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围 解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x) a. 1 x 若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增 若 a0，则当 x时，f(x)0； (0， 1 a) 当 x时，f(x)0 时，f(x)在 x 取得最大值， 1 a 最大值为 f ln a ( 1 a ) 1 a (1 1 a) ln aa1. 因此 f 2a2 等价于 ln aa10. ( 1 a ) 令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0. 于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0. 因此，a

25、 的取值范围是(0，1) 4(2015山东，20，13 分，难)设函数 f(x)(xa)ln x，g(x).已知曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的 x2 ex 切线与直线 2xy0 平行 (1)求 a 的值； (2)是否存在自然数 k，使得方程 f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出 k；如果不 存在，请说明理由； (3)设函数 m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示 p，q 中的较小值)，求 m(x)的最大值 解：(1)由题意知，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 2， 所以 f(1)2. 又 f(x)ln x 1， a x 所以 a1.

26、(2)k1 时，方程 f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根 设 h(x)f(x)g(x)(x1)ln x， x2 ex 当 x(0，1时，h(x)110， 4 e2 4 e2 所以存在 x0(1，2)，使得 h(x0)0. 因为 h(x)ln x 1， 1 x x（x2） ex 所以当 x(1，2)时，h(x)1 0； 1 e 当 x(2，)时，h(x)0. 所以当 x(1，)时，h(x)单调递增 所以 k1 时，方程 f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根 (3)由(2)知方程 f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根 x0， 且 x(0，x0)时，f(x)g(x)， 所以 m

27、(x) （x1）ln x，x （0，x0， x2 ex，x （x0，）.) 当 x(0，x0)时，若 x(0，1，m(x)0；若 x(1，x0)，由 m(x)ln x 10，可知 0 1 x m(x)m(x0)； 故 m(x)m(x0) 当 x(x0，)时，由 m(x)， x（2x） ex 可得 x(x0，2)时，m(x)0，m(x)单调递增，x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减， 可知 m(x)m(2)， 4 e2 且 m(x0)m(2) 综上可得函数 m(x)的最大值为. 4 e2 5(2015湖南，21，13 分，难)已知 a0，函数 f(x)aexcos x(x0，)记 xn为

28、f(x)的从小到 大的第 n(nN*)个极值点 (1)证明：数列f(xn)是等比数列； (2)若对一切 nN*，xn|f(xn)|恒成立，求 a 的取值范围 解：(1)证明：f(x)aexcos xaexsin xaexcos. 2 (x 4) 令 f(x)0，由 x0，得 x m ，即 xm，mN*. 4 2 3 4 而对于 cos，当 kZ 时， (x 4) 若 2k x 2k ， 2 4 2 即 2kx0； (x 4) 若 2k x 2k， 2 4 3 2 即 2k x2k， 4 5 4 则 cos0，所以恒成立 2 a 设 g(t)(t0)，则 g(t). et t et（t1） t2

29、 令 g(t)0 得 t1. 当 0t1 时，g(t)1 时，g(t)0，所以 g(t)在区间(1，)上单调递增 因为 x1(0，1)，且当 n2 时，xn(1，)，xn0 且 g(1)0，即3t1 时，因为 g(1)t70，所以 g(x)分别在区间 1，0)，0，1)和1，2)上恰有 1 个零点由于 g(x)在区间(，0)和(1，)上单调，所以 g(x)分别 在区间(，0)和1，)上恰有 1 个零点 综上可知，当过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切时，t 的取值范围是(3，1) (3)过点 A(1，2)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切； 过点 B(2，10)存在 2

30、 条直线与曲线 yf(x)相切； 过点 C(0，2)存在 1 条直线与曲线 yf(x)相切 6(2013广东，21，14 分，难)设函数 f(x)x3kx2x(kR) (1)当 k1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)当 k0 时，求函数 f(x)在k，k上的最小值 m 和最大值 M. 解：f(x)3x22kx1. (1)当 k1 时，f(x)3x22x1， 41280， f(x)0，f(x)在 R 上单调递增 (2)方法一：当 k0 时，f(x)3x22kx1，其图象开口向上，对称轴为直线 x ，且过(0，1) k 3 当 4k2124(k)(k)0，即k0 时，f(x)0，f(x)在

31、k，k上单调递增，从 3 3 3 而当 xk 时，f(x)取得最小值 mf(k)k. 当 xk 时，f(x)取得最大值， Mf(k)k3k3k2k3k. 当 4k2124(k)(k)0， 即 k时， 令 f(x)3x22kx10， 解得 x1， 333 k k23 3 x2，注意到 kx2x10， k k23 3 mminf(k)，f(x1)， Mmaxf(k)，f(x2) f(x1)f(k)x kx x1k(x1k)(x 1)0，3 12 12 1 f(x)的最小值 mf(k)k. f(x2)f(k)x kx x2(k3k3k)(x2k)(x2k)2k210，3 22 2 f(x)的最大值

32、Mf(k)2k3k. 综上所述，当 k0 时，f(x)的最小值 mf(k)k，最大值 Mf(k)2k3k. 方法二：当 k0 时，对xk，k，都有 f(x)f(k)x3kx2xk3k3k(x21)(xk)0， 故 f(x)f(k) f(x)f(k)x3kx2xk3k3k(xk)(x22kx2k21)(xk)(xk)2k210， 故 f(x)f(k)，而 f(k)k0. 所以 f(x)maxf(k)2k3k，f(x)minf(k)k. 7(2014江苏，19，16 分，难)已知函数 f(x)exex，其中 e 是自然对数的底数 (1)证明：f(x)是 R 上的偶函数； (2)若关于 x 的不等式

33、 mf(x)exm1 在(0，)上恒成立，求实数 m 的取值范围； (3)已知正数 a 满足 ： 存在 x01，)，使得 f(x0)a(x 3x0)成立试比较 ea1与 ae1的大小， 3 0 并证明你的结论 解：(1)证明：因为对任意 xR，都有 f(x)exe(x)exexf(x)，所以 f(x)是 R 上的偶函 数 (2)由条件知 m(exex1)ex1 在(0，)上恒成立 令 tex(x0)，则 t1， 所以 m对任意 t1 成立 t1 t2t1 1 t1 1 t11 因为 t11213， 1 t1 （t1） 1 t1 所以 ， 1 t1 1 t11 1 3 当且仅当 t1，即 t2，

34、即 xln 2 时等号成立 1 t1 因此，实数 m 的取值范围是. (， 1 3 (3)令函数 g(x)exa(x33x)，则 g(x)ex3a(x21) 1 ex 1 ex 当 x1 时，ex0，x210，又 a0，故 g(x)0. 1 ex 所以 g(x)是1，)上的单调增函数，因此 g(x)在1，)上的最小值是 g(1)ee12a. 由于存在 x01，)，使 ex0ex0a(x 3x0)0 成立，当且仅当最小值 g(1)0.3 0 故 ee12a0，即 a. ee1 2 令函数 h(x)x(e1)ln x1，则 h(x)1.令 h(x)0，得 xe1， e1 x 当 x(0，e1)时，

35、h(x)0，故 h(x)是(0，e1)上的单调减函数； 当 x(e1，)时，h(x)0，故 h(x)是(e1，)上的单调增函数 所以 h(x)在(0，)上的最小值是 h(e1) 注意到 h(1)h(e)0，所以当 x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0. 当 x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以 h(x)0 对任意的 x(1，e)成立 当 a(1，e)时，h(a)0，即 a1(e1)ln a，从而 ea10，则函数 yf(x)在这个区间内单调递增； 若 f(x)0(或 f(x)0，即 0xe 时，函数 f(x)单调递增； 当 f(x)e 时，函数 f(x)单

36、调递减 故函数 f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，) (2)因为 e3， 所以 eln 3eln ，ln eln 3， 即 ln 3eln e，ln eln 3. 于是根据函数 yln x，yex，yx在定义域上单调递增，可得 3ee3，e3e3. 故这 6 个数的最大数在3与 3之中，最小数在 3e与 e3之中 由 e3 及(1)的结论，得 f()f(3)f(e)， 即. ln ln 3 3 ln e e 由，得 ln 33； 由，得 ln 3eln e3，所以 3e0 时为增函数；f(x)0(或 f(x)0(或0，则 xln 2； 令 f(x)0，则 0xln 2.

37、f(x)的增区间是(，0，ln 2，)，减区间是(0，ln 2) (2)f(x)a， ex 2 1 ex 令 ext，由于 x1，1， t. 1 e，e 令 h(t) ， t 2 1 t(t 1 e，e) h(t) ， 1 2 1 t2 t22 2t2 当 t时，h(t)0，函数 h(t)为单调增函数 2 故 h(t)在上的极小值点为 t. 1 e，e 2 又 h(e) 0(或 f(x)0)在该区间上存在解集， 这样 就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； (3)若已知 f(x)在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 f(x)的单调区间，令 I 是其单调 区间的子集，从而可

38、求出参数的取值范围 (2011安徽，18，13 分)设 f(x)，其中 a 为正实数 ex 1ax2 (1)当 a 时，求 f(x)的极值点； 4 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围 解：对 f(x)求导得 f(x)ex. 1ax22ax （1ax2）2 (1)当 a 时，若 f(x)0， 4 3 则 4x28x30， 解得 x1 ，x2 . 3 2 1 2 结合式可知 x (， 1 2) 1 2 ( 1 2， 3 2) 3 2 ( 3 2，) f(x)00 f(x)极大值极小值 所以 x1 是极小值点，x2 是极大值点 3 2 1 2 (2)若 f(x)为 R 上

39、的单调函数，则 f(x)在 R 上不变号，结合与条件 a0，知 ax22ax10 在 R 上恒成立， 因此 4a24a4a(a1)0，由此并结合 a0，知 0a1. 考向 3利用导数研究函数的极值和最值 1判断函数极值的方法 一般地，当函数 f(x)在点 x0处连续时， (1)如果在 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值； (2)如果在 x0附近的左侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值 “极值点”不是点，若函数 f(x)在 x1处取得极大值，则 x1即为极大值点，极大值为 f(x1)；在 x2处取 得极小值，则 x2为极小值点，极小值为 f(x2) 2求可

40、导函数 f(x)的极值的步骤 (1)求导函数 f(x)； (2)求方程 f(x)0 的根； (3)检验 f(x)在方程 f(x)0 的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数 yf(x)在这 个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数 yf(x)在这个根处取得极小值，可列表完成 f(x0)0 是 x0为 f(x)的极值点的必要不充分条件例如，f(x)x3，f(0)0，但 x0 不是极值 点 3函数的最值 在闭区间a，b上的连续函数 yf(x)，在a，b上必有最大值与最小值在区间a，b上的连续函数 yf(x)，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点 极值只能在定义域内部取得，而最值却可

41、以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未 必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值 (2013浙江，21，15 分)已知 aR，函数 f(x)2x33(a1)x26ax. (1)若 a1，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)若|a|1，求 f(x)在闭区间0，2|a|上的最小值 【解析】(1)当 a1 时，f(x)2x36x26x， f(x)6x212x6. 所以 f(2)6. 又因为 f(2)4，所以切线方程为 y46(x2)， 即 y6x8. (2)记 g(a)为 f(x)在闭区间0，2|a|上的最小值 f(x)6x26(a1)x6a6(x1

42、)(xa) 令 f(x)0，得到 x11，x2a. 当 a1 时， x0(0，1)1(1，a)a(a，2a)2a f(x)00 f(x)0 极大值 3a1 极小值 a2(3a) 4a3 比较 f(0)0 和 f(a)a2(3a)的大小可得 g(a)0， 1a 3， a2（3a）， a3.) 当 a1 时， x0(0，1)1(1，2a)2a f(x)0 f(x)0极小值28a324a2 3a1 得 g(a)3a1. 综上所述，f(x)在闭区间0，2|a|上的最小值为 g(a) 3a1， a1， 0， 1a 3， a2（3a）， a3.) 【点拨】解答本题的思路是：先求导，然后根据需要对参数 a

43、进行分类讨论，判断 f(x)的符号， 得出函数的单调性，进而得出函数在每个区间上的最小值 1.求函数 f(x)极值的方法 求函数的极值应先确定函数的定义域，解方程 f(x)0，再判断 f(x)0 的根是否是极值点，可通过 列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论 2求函数 f(x)在区间a，b上的最值的方法 (1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，f(a)与 f(b)一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与 f(a)，f(b)比较，最大的是最大值， 最小的是最小值，可列表完成； (3)函数 f(x)在区间(a，b)上

44、有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实 际应用中经常用到 (2014安徽，20，13 分)设函数 f(x)1(1a)xx2x3，其中 a0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性； (2)当 x0，1时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值 解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2， 令 f(x)0 得 x1， 1 43a 3 x2，且 x1x2. 1 43a 3 f(x)3(xx1)(xx2)， 当 xx1或 xx2时，f(x)0；当 x1xx2时，f(x)0， f(x)在和上单调递减， (， 1 43a 3 ) ( 1 43a 3

45、，) 在上单调递增 ( 1 43a 3 ， 1 43a 3 ) (2)a0，x10，x20， 当 a4 时，x21，由(1)知 f(x)在0，1上单调递增， f(x)在 x0 和 x1 处分别取得最小值和最大值 当 0a4 时，x21，由(1)知 f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减， f(x)在 xx2处取得最大值 1 43a 3 又 f(0)1，f(1)a， 当 0a1 时，f(x)在 x1 处取得最小值； 当 a1 时，f(x)在 x0 和 x1 处同时取得最小值； 当 1a4 时，f(x)在 x0 处取得最小值 考向 4利用导数解决实际问题 利用导数解决实际应用问题一般有

46、如下几类： (1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可； (2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质； (3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质 (2013重庆，20，12 分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水 池的底面半径为 r 米， 高为 h 米， 体积为 V 立方米 假设建造成本仅与表面积有关， 侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000元(为圆周率) (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；

47、(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大 【思路导引】根据数量关系列出函数关系式，并利用导数研究函数的单调性与最值 【解析】(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh(元)，底面的总成本为 160r2元， 所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元 又据题意知 200rh160r212 000， 所以 h(3004r2)， 1 5r 从而 V(r)r2h (300r4r3) 5 因为 r0，又由 h0 可得 r5， 3 故函数 V(r)的定义域为(0，5) 3 (2)因为 V(r) (300r4r3)， 5 所以 V(r) (30012r

48、2) 5 令 V(r)0，解得 r15，r25(因 r25 不在定义域内，舍去) 当 r(0，5)时，V(r)0，故 V(r)在(0，5)上为增函数； 当 r(5，5)时，V(r)0，故 V(r)在(5，5)上为减函数 33 由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8. 即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大 【点拨】本题在列出 V 关于 r 的表达式后，要根据 r 和人的实际意义得出正确的定义域，往往在 这点上易出现错误 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 分析实际问题中各量之间的关系， 找出实际问题的数学模型， 写出实际问题中变量之间的函步骤1 数关系 yf(x)，根据实

49、际意义确定定义域； 求函数 yf(x)的导数 f(x)，解方程 f(x)0 得出定义域内的实根，确定极值点；步骤2 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；步骤3 还原到原实际问题中作答步骤4 2在利用导数解决实际问题时，若在定义域内只有一个极值，这个值即为最优解 (2011山东，21，12 分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容 器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且 l2r.假设该容 80 3 器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建 造费用为 c(c3

50、)千元，设该容器的建造费用为 y 千元 (1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 解：(1)设容器的容积为 V，由题意知 Vr2l r3，又 V，故 l r 4 3 80 3 V 4 3r 3 r2 80 3r2 4 3 4 3 . ( 20 r2 r) 由于 l2r，因此2r， 4 3( 20 r2 r) 整理得5r，故 0r2. 40 r2 所以建造费用 y2rl34r2c2r34r2c. 4 3( 20 r2 r) 因此 y4(c2)r2，0r2. 160 r (2)由(1)得 y8(c2)r160 r2 ，0r2. 8（c2）

51、 r2 (r 3 20 c2) 由于 c3，所以 c20， 当 r30 时，r. 20 c2 3 20 c2 令m，则 m0， 3 20 c2 所以 y(rm)(r2rmm2) 8（c2） r2 当 0m2，即 c 时， 9 2 当 rm 时，y0； 当 r(0，m)时，y0； 当 r(m，2)时，y0. 所以 rm 是函数 y 的极小值点，也是最小值点 当 m2，即 3c 时， 9 2 当 r(0，2)时，y0，函数单调递减， 所以 r2 是函数 y 的最小值点 综合所述，若 3c ， 9 2 建造费用最小时 r2； 若 c ，建造费用最小时 r. 9 2 3 20 c2 考向 5利用导数解

52、决不等式问题 1不等式的证明问题 可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数， 再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一般步骤是： 构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论 2不等式恒成立问题 若 f(x)a 或 g(x)a 恒成立，只需满足 f(x)mina 或 g(x)maxa 即可，利用导数方法求出 f(x)的最小 值或 g(x)的最大值，从而问题得解 (2014浙江，21，15 分)已知函数 f(x)x33|xa|(a0)，若 f(x)在1，1上的最小值 记为 g(a) (1)求 g(a)；

53、(2)证明：当 x1，1时，恒有 f(x)g(a)4. 【思路导引】(1)结合参数 a 的取值情况加以分类讨论， 进而确定函数在给定区间内的最值 ； (2) 将不等式恒成立问题进行转化，结合导数及其应用、函数的单调性等来证明 【解析】(1)因为 a0，1x1，所以 当 0a1 时， 若 x1，a，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230，故 f(x)在(1，a)上是减函数； 若 xa，1，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230，故 f(x)在(a，1)上是增函数 所以 g(a)f(a)a3. 当 a1 时，有 xa，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230，故 f(x)在(1，1

54、)上是减函数， 所以 g(a)f(1)23a. 综上，g(a)a 3，0a1， 23a，a1.) (2)证明：令 h(x)f(x)g(a)， 当 0a1 时，g(a)a3. 若 xa，1，h(x)x33x3aa3，得 h(x)3x23，则 h(x)在(a，1)上是增函数， 所以，h(x)在a，1上的最大值是 h(1)43aa3，且 0a1，所以 h(1)4. 故 f(x)g(a)4； 若 x1，a，h(x)x33x3aa3，得 h(x)3x23，则 h(x)在(1，a)上是减函数， 所以，h(x)在1，a上的最大值是 h(1)23aa3. 令 t(a)23aa3，则 t(a)33a20， 知

55、t(a)在(0，1)上是增函数所以，t(a)t(1)4， 即 h(1)4. 故 f(x)g(a)4. 当 a1 时，g(a)23a，故 h(x)x33x2，得 h(x)3x23， 此时 h(x)在(1，1)上是减函数，因此 h(x)在1，1上的最大值是 h(1)4.故 f(x)g(a)4. 综上，当 x1，1时，恒有 f(x)g(a)4. 利用导数证明不等式的方法 (1)证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，则 F(x)在(a，b)上是 减函数，同时若 F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有 F(x)0，即证明了 f(x)g

56、(x) (2)证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，则 F(x)在(a，b)上是 增函数，同时若 F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有 F(x)0，即证明了 f(x)g(x) (2011课标全国，21，12 分)已知函数 f(x) ，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切 aln x x1 b x 线方程为 x2y30. (1)求 a，b 的值； (2)证明：当 x0，且 x1 时，f(x). ln x x1 解：(1)f(x). a(x1 x ln x) （x1）2 b x2 由于直线 x2y30 的斜率为 ，且过点(

57、1，1)， 1 2 故即 f（1）1， f（1） 1 2，) b1， a 2 b1 2.) 解得 a1，b1. (2)证明：由(1)知 f(x) ，所以 f(x). ln x x1 1 x ln x x1 1 1x2(2ln x x 21 x ) 考虑函数 h(x)2ln x(x0)， x21 x 则 h(x) 2 x 2x2（x21） x2 . （x1）2 x2 所以当 x1 时，h(x)0.而 h(1)0，故当 x(0，1)时，h(x)0， 可得h(x)0； 1 1x2 当 x(1，)时，h(x)0， 可得h(x)0. 1 1x2 从而当 x0，且 x1 时，f(x)0，即 f(x). l

58、n x x1 ln x x1 考向 6利用导数研究与函数零点有关的问题 导数在研究函数零点中的应用 (1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值 等 (2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断 ； 另一方面， 也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决 (2014四川，21，14 分)已知函数 f(x)exax2bx1，其中 a，bR，e2.718 28 为自然对数的底数 (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0，1上的最小值； (2)若 f(1)0，函数 f(x)在区间

59、(0，1)内有零点证明：e2a1. 【思路导引】(1)根据导数研究函数的单调性和最值；(2)利用零点存在性定理等知识证明不等 式 【解析】(1)由 f(x)exax2bx1，有 g(x)f(x)ex2axb. 所以 g(x)ex2a. 当 x0，1时，g(x)12a，e2a 当 a 时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递增 1 2 因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b； 当 a 时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递减， e 2 因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab； 当 a 时，令 g(x)0，得 xln(2a)(0，1) 1 2 e 2 所以函数 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增 于是，g(x)在0，1上的最小值是 g(l