人教大纲版高考数学题库考点24随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率

1、 考点 24 随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、考点 24 随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、 相互独立事件同时发生的概率 相互独立事件同时发生的概率 1.（2010江西高考文科）有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都 是p(01)p，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率 为( ) （A）(1)np（B）1 n p（C） n p（D）1 (1)np 【命题立意】本题主要考查对立事件的概率、相互独立事件同时发生的概率 【思路点拨】直接解决问题较困难时，可考虑逆向思维，从对立面去着手. 【规范解答】选 D.所有同学都不通过的概率为,)

2、1 ( n p 故至少有一位同学通过的概率为.)1 (1 n p 2.（2010湖北高考理科4）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A， “骰子向上的点数是 3”为事件B，则事件,A B中至少有一件发生的概率是( ) （A） 5 12 （B） 1 2 （C） 7 12 （D） 3 4 【命题立意】本题主要考查等可能事件、对立事件、相互独立事件，以及相互独立事件有一个发生的概率 的求法，考查公式应用能力和运算求解能力 【思路点拨】由()( )( )P ABP AP BP AB （）以及P ABP AP B（） （ ）（ ），算出( )P A,( )P B代入即 可.或

3、由对立事件的概率公式用 1 减去,A B都不发生的概率即可. 【规范解答】选 C.方法一：用间接法考虑.事件A ，B一个都不发生的概率为 4 5 1 6 15 ()( )( ) 212 C P ABP AP B C . 1 5 1 6 C5 C12 则事件,A B中至少有一件发生的概率 7 1() 12 P AB ， 故 C 正确. 方法二： 11117 ()( )( )()( )( )( ) ( ) 262612 P ABP AP BP ABP AP BP A P B., 或 117 ()1()1 (1)(1) 2612 P ABP AB . 【方法技巧】相互独立事件至少有一个发生的概率有两

4、种求解的方法: （1）()( )( )P ABP AP BP AB （）( )( )P AP B-P AP B（ ）（ ） . （2） ()1()1()1( ) ( )P ABP ABP A BP A P B . 3.（2010江西高考理科11）一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀 疑大臣作弊，他用两种方法来检测方法一：在 10 箱中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱中各任意抽查 两枚国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 1 p和 2 p，则（ ） （A） 12 pp （B） 12 pp （C） 12 pp （D）以上三种情况都有可能 【命题立意】本

5、题主要考查互斥事件有一个发生的概率、对立事件的概率、相互独立事件同时发生的概 率 【思路点拨】先求 1 p和 2 p，然后再比较大小. 【规范解答】选 10 1 ) 100 99 (1p， 1052 2 ) 100 98 (1) 99100 9899 (1 p，可见 12 pp . 4.（2010湖北高考理科6）将参加夏令营的 600 名学生编号为：001，002， ，600.采用系统抽样 方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300 在第 1 营区，从 301 到 495 在第营区，从 496 到 600 在第营区.三

6、个营区被抽中的人数依次为（ ） （A）26,16,8 （B）25,17,8 （C）25,16,9 （D）24,17, 9 【命题立意】本题主要考查考生对系统抽样的理解，考查等差数列的概念以及考生的运算求解能力 【思路点拨】由系统抽样的特点先算出被抽取出来的相邻两个号码的间隔，然后将被抽取出来的号码按从 小到大的顺序排成一列构成一个等差数列，最后借用等差数列的通项公式计算出各个营区被抽取出来的人 数。 【规范解答】选 B，由系统抽样的特点知从号码 003 开始每间隔 600 50 =12 人抽出 1 个，设被抽出的第 n 个 号码为 n a，则 n a=003+12（n-1）.由 n a300知

7、25n ； 由 n a495知 n42，42-25=17，50-42=8，所 以第一营区被抽出的人数为 25，第二营区被抽出的人数为 17，第三营区被抽出的人数为 8. 【方法技巧】系统抽样被抽取出来的相邻两个号码的间隔相同，若将被抽取出来的号码按从小到大的顺序 排成一列，则构成一个首项为第一个号码编号，公差为所得间隔的等差数列.由所得等差数列的通项公式 就很容易求出所抽取的各个号码. 5.（2010上海高考文科0）从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 2 张，则“抽出的 2 张均 为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示） 【命题立意】本题考查古典概型的概率公式的应用 【思路点拨】按求古

8、典概型概率的步骤进行 【规范解答】记“抽出的 2 张均为红桃”为事件A，则 1 17 7 1 1 ) )( ( 2 2 5 52 2 2 2 1 13 3 C C C C A AP P. 【答案】 1 17 7 1 1 【方法技巧】求古典概型的概率的步骤： （1）确定概率类型. （2）求基本事件总数. （3）求事件 A 发生的事件数. （4）代入公式求解. 6.（2010重庆高考理科3）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命 中一次的概率为 16 25 ，则该队员每次罚球的命中率为_. 【命题立意】本题考查对立事件的概率，独立重复试验的概率，考查方程的思想和分类讨论的思想

9、. 【思路点拨】列出“在两次罚球中至多命中一次的概率”的计算公式，再解方程即得. 【规范解答】设该队员每次罚球的命中率为p，那么： 2 16 (1)(1)(1) 25 pppp p，化简得 2 9 25 p ，所以 3 5 p . 或 2 16 1 25 p，即 2 9 25 p ，所以 3 5 p . 【答案】 3 5 【方法技巧】正确的进行分类讨论是解答关键.事件“两次罚球中至多命中一次”可以分为三种情形： 两次都未命中；第一次命中，第二次未命中；第一次未命中，第二次命中，或考虑事件“两次罚球 中至多命中一次”的对立事件“两次都命中”. 7.（2010重庆高考文科4）加工某零件需经过三道工

10、序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 1 70 ， 1 69 ， 1 68 ，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 . 【命题立意】本小题考查概率、相互独立试验等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想. 【思路点拨】加工零件需要完成三道工序，考虑问题的对立事件，加工出合格零件则需要三道工序都是合 格品. 【规范解答】因为第一、二、三道工序的次品率分别为 1 70， 1 69， 1 68，所以第一、二、三道工序的正品 率分别为 69 68 67 , 70 69 68 ，所以加工出来的零件的次品率为 696867673 11 7069687070 P 【答案】 3 70 【方法

11、技巧】当所求事件的情形较多，它的对立事件的情形较少时，采用对立事件求解就是“正难则反” 的方法. 8.（2010上海高考理科9）从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 1 张，事件A为“抽得红桃 K” ，事件B为“抽得为黑桃” ，则概率()P AB U （结果用最简分数表示）. 【命题立意】本题考查古典概型的概率的求法及概率的有关性质 【思路点拨】先分别求出事件,A B发生的概率，再由性质求 ()P ABU 【规范解答】 5 52 2 1 11 1 ) )( ( 1 1 5 52 2 C C A AP P， 5 52 2 1 13 31 13 3 ) )( ( 1 1 5 52 2 C C

12、 B BP P， 1137 ()( )( ) 525226 P ABP AP BU 【答案】 2 26 6 7 7 9 （2010湖北高考文科13）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9，则服用这种新药的 4 个 病人中至少 3 人被治愈的概率为_（用数字作答）. 【命题立意】本题主要考查独立重复试验及互斥事件的概率，考查考生的分类讨论思想和运算求解能 力 【思路点拨】 “4 个病人服用某种新药”相当于做 4 次独立重复试验， “至少 3 人被治愈”即“3 人被治 愈” ， “4 人被治愈”两个互斥事件有一个要发生，由独立重复试验和概率的加法公式即可得出答案. 【规范解答】4 个病人服用

13、某种新药 3 人被治愈的概率为 33 4 0.91 0.90.2916C （）0.291 6； 4 个病人服用某种新药 4 人被治愈的概率为 44 4 0.90.6561C 0.656 1，故服用这种新药的 4 个 病人中至少 3 人被治愈的概率为 0.291 6+0.656 1=0.947 7. 【答案】0.947 7 【方法技巧】求多个事件至少有一个要发生的概率一般有两种办法：（1）将该事件分解为若干个互斥事 件的“和事件” ，然后利用概率的加法公式求解.（2）考虑对立事件，如本题也可另解为 0413222 444 1(1 0.9)0.9 (1 0.9)0.9(1 0.9) 0.9477C

14、CC0.947 7. 10.（2010重庆高考文科17）在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位 的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1,2,6） ，求： （1）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率. （2）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率. 【命题立意】本小题考查排列、组合、古典概型的基础知识及其综合应用，考查运算求解能力及分类讨论 的数学思想. 【思路点拨】先求出总的基本事件的个数，再求出符合题意要求的基本事件的个数，最后计算概率. 【规范解答】方法一：考虑甲、乙两单位的排列顺序，甲、乙两单位可以排列在 6 个位置中的任意两个位

15、 置，有 2 6 30A 种等可能的结果. （1）设 A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数” ，则事件 A 包含的基本事件的个数是 2 3 6A ,所以 61 ( )= 305 P A. （2） 设 B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号不相邻” ，则B表示事件“甲、乙两单位的演出序号相邻” ， 事件B包含的基本事件的个数是 2 2 510A, 所以 102 ( )1( )1 303 P BP B . 方法二：不考虑甲、乙两单位的排列顺序，甲、乙两单位可以在 6 个位置中任选两个位置，有 2 6 15C 种 等可能的结果. （1）设 A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数” ，则事件 A 包含的基本事

16、件的个数是 2 3 3C ,所以 31 ( )= 155 P A； （2） 设 B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号不相邻” ，则B表示事件“甲、乙两单位的演出序号相邻” ， 事件B包含的基本事件的个数是 5,所以 52 ( )1( )1 153 P BP B . 方法三：考虑所有单位的排列位置，各单位的演出顺序共有 6 6 720A (种)情形. （1）设 A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数” ，则事件 A 包含的基本事件的个数是 24 34 144A A ,所以 1441 ( )= 7205 P A. （2） 设 B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号不相邻” ，则B表示事件“甲、乙两单位的

17、演出序号相邻” ， 事件B包含的基本事件的个数是 24 24 5240AA, 所以 2402 ( )1( )1 7203 P BP B . 11. （2010四川高考文科17）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样， 购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 1 6 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一 瓶该饮料. （1）求三位同学都没有中奖的概率. (2）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. 【命题立意】本题考查相互独立事件、互斥事件等概率计算，考查运用所学知识解决实际问题的 能力. 【思路点拨】 （1）直接利用相互独立事件的概率公式求解. (2）利用互

18、斥事件的概率求解，可直接求()P A B CA B CA B CA B C. 也可先求对立事件的概率()P A B CA B CA B CA B C. 【规范解答】 （1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A，B，C， 则 1 ( )( )( ) 6 P AP BP C. 3 5125 ()( )( )( )( ) 6216 P A B CP AP BP C. 答：三位同学都没有中奖的概率为 125 216 . (2）方法一：1()P A B CA B CA B CA B C 23 1515 1 3 ( )( ) 66627 25 . 27 方法二： 32 51525 ()( )3( ) 66627

19、 P A B CA B CA B CA B C . 答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为 25 . 27 12.（2010江西高考文科1）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到 达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、 3 号通道，则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通 道，直至走出迷宫为止. (1)求走出迷宫时恰好用了 1 小时的概率. (2)求走出迷宫的时间超过 3 小时的概率. 【命题立意】本题主要考查等可能事件、互斥事件和相互独立事件及其概率等

20、基础知识，考查运用概率知 识解决实际问题的能力，考查分类与整合的思想. 【思路点拨】 （1）先确定走出迷宫时恰好用了 1 小时的含义，然后利用概率知识求解. （2）先确定走出迷宫时超过 3 小时的含义，然后分情况逐一计算. 【规范解答】(1)设 A 表示走出迷宫时恰好用了 1 小时这一事件，则 1 ( ) 3 P A . (2) 设 B 表示走出迷宫的时间超过 3 小时这一事件，则事件 B 包含两种情况：即走出迷宫时恰好用了 4 小 时和恰好用了 6 小时.，其中 6 小时又分为“2+3+1”和“3+2+1”两种情况， 故 1111 ( ) 6662 P B . 13.（2010全国卷文科19

21、）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审 专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审， 则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初 审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3各专家独立评审 (1)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率. (2)求投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率 【命题立意】本题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验的概率，及排列、组合 中解决至少问题的方法和解题技巧. 【思路点拨】(1)事件“1 篇

22、稿件被录用”是指：稿件通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过一位初审专 家的评审且稿件能通过复审专家的评审. (2)中的至少问题，采用其对立事件求解. 【规范解答】(1)记A表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审; B表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审; C表示事件:稿件能通过复审专家的评审; D表示事件:稿件被录用. 则CBAD , 25 . 0 5 . 05 . 0)( Ap,5 . 05 . 05 . 02)( BP,3 . 0)( CP, 40 . 0 3 . 05 . 025 . 0 )()()( )()( )()( CPBPAP CBPAP CBAPDP (2)记 0 A表示事

23、件：4 篇稿件中没有 1 篇被录用； 1 A表示事件：4 篇稿件中恰有 1 篇被录用； 2 A表示事件：4 篇稿件中至少有 2 篇被录用， 【方法技巧】解决概率综合题的方法： （1）解答概率综合题时，一般“大化小” ，即将问题划分为若干个彼此互斥事件，然后运用加法或乘法公 式求解. （2）在求事件概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题时，如果从正面考虑问题时，可 能造成过程繁琐，此时可采用其对立事件求解，运用“正难则反”的思想进行转化，以简化解答过程. 14. （2010全国高考卷文科20）如图，由M到 N的电路中有 4 个元件，分别标为 1234 ,T T T T，电流能 通过

24、123 ,T T T的概率都是p，电流能通过 4 T的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知 123 ,T T T中至 少有一个能通过电流的概率为 0.999. （1）求p. （2）求电流能在M与N之间通过的概率. 【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率等知识. 【思路点拨】由已知 123 ,T T T中至少有一个能通过电流的概率为 0.999,则对立事件： 123 ,T T T中均不能通 过的概率为 0.001，可以解得p.第二问根据能在M与N之间通过电流可分三种情形,再用互斥事件的概 率公式计算. 【规范解答】记 i A表示事件：电流能通过4 , 3 , 2 , 1, i iT. A 表示事件： 321 ,TTT中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过. （1） , 2, 1321 ,AAAAAA3A .)1 ()()()()()( 3 3 21321 pAPAPAPAAAPAP 又.001 . 0 999 . 0 1)(1)(APAP 故 3 (1)0.001p，0.9p . （2）, 32143144 AAAAAAAAB )()()()()()()()()()()()( 3114314432143144 APAPAPAPAPAPAPAPAAAAPAAAPAPBP 23 P(A )P(A ) 0.