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文档简介

1、数学物理中的近代分析方法,第三章 加权残值法,1,学习交流PPT,3.1 加权残值法的基本概念,设某一具体的工程定解问题:,Luf=0(在域V内),(3.1.1),Gug=0(在边界S上),(3.1.2),这里,u为待求的未知函数,L和G分别为控制方程(在域V内)和边界条件(在边界S上)的微分算子。f和g分别是域内和边界上的已知项。,2,学习交流PPT,3.1 加权残值法的基本概念,一般地,定解问题(3.1.1)、(3.1.2)的精确解难以求得,从而求助于近似解,这里我们假设一个待求函数u的试函数:,(3.1.3),其中Ci为待定系数,vi为试函数项。,将(3.1.3)代入定解问题的两个微分方

2、程中,一般不会精确满足,于是就出现了内部残值(Residuals)RV和边界残值RS,即:,3,学习交流PPT,3.1 加权残值法的基本概念,为了消除残值,选取内部权函数(Weighted function)WV和边界权函数WS,使得残值RV和RS分别与相应权函数的乘积在域内和边界上的积分为零,即:,据此,我们就可以得到关于待定系数Ci(i=1,2,N)的代数方程组,求得了Ci后,即确定了近似解(3.1.3)。,(3.1.4),(3.1.5),(3.1.6),(3.1.7),4,学习交流PPT,按试函数是否满足控制方程和边界条件,将加权残值法分为三类:,内部法,边界法,混合法,3.1 加权残值

3、法的基本概念,5,学习交流PPT,3.2 加权残值法的基本方法,据权函数的形式分类,主要有以下五种方法:,(1)最小二乘法(Least Square Method),最小二乘法的基本思想是选取一个试函数,使得在域V内的残值平方积分:,(3.2.1),最小。为使J(Ci)最小,取极值条件:,6,学习交流PPT,3.2 加权残值法的基本方法,(3.2.2),即可得到最小二乘法的基本方程:,(3.2.3),可见,最小二乘法就是将权函数取作 。式(3.2.3)将给出N个代数方程,用于求解N个待定系数Ci(i=1,2,N)。这个方法一般计算精度高,但运算较为繁琐。,(i=1,2,N),(i=1,2,N)

4、,7,学习交流PPT,(2)配点法(Collocation Method),3.2 加权残值法的基本方法,如果选用狄拉克函数(Dirac Delta Function)作为权函数,即:,(3.2.4),就得到了配点法。配点法的基本方程为:,(3.2.6),(i=1,2,N),8,学习交流PPT,(2)配点法(Collocation Method),3.2 加权残值法的基本方法,对于高维问题,例如二维问题的配点法基本方程为:,(i=1,2,N),(3.2.7),由残值R在N个配点xi(或二维(xi,yi)处为零。得到N个代数方程,从而求得待定系数Ci(i=1,2,N)。配点法是加权残值法中最简单

5、的一种,只是其计算精度相对差一些。,9,学习交流PPT,3.2 加权残值法的基本方法,(3)子域法(Subdomain Method),如果将待求问题的整个区域V按任意方式划分为N个子域Vi(i=1,2,N),并定义此时的权函数为:,(3.2.8),于是在每个子域Vi内可列出消除残值的方程为:,(i=1,2,N),(3.2.9),10,学习交流PPT,3.2 加权残值法的基本方法,(3)子域法(Subdomain Method),这里,N个子域共有N个方程,联立求解即得待定系数Ci(i=1,2,N)。 需要说明的是,每个子域的试函数的选取可以相同,也可以不同。若各子域的试函数互不相同时,则必须

6、考虑各子域间的连接条件。,11,学习交流PPT,3.2 加权残值法的基本方法,(4)伽辽金法(Galerkin Method),伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出的并以他的名字而命名的方法。,伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数,即:,Wi=vi, (i=1,2,N),(3.2.10),(i=1,2,N),(3.2.11),由残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质,不仅保证了解的收敛性,还使得伽辽金法精度高而计算工作量又不算太大,所以该方法应用广泛。,12,学习交流PPT,3.2 加权残值法的基本方法,(5)矩量法(Method of Moment),当权函数选取为xi(i=0,1,N1)时,就得到了矩量法的基本方程为:,(i=0,1,N1),(3.2.12),由上式不难求得待定系数Ci(i=1,2,N)。,13,学习交流PPT,(1)最小二乘法(Least Square Method),(2)配点法(Collocation Method),例2:简支梁的弯曲问题,14,学习交

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