2[1].3.1抛物线及其示标准方程.ppt

1、2.3.1抛物线及其标准方程（1）,高二数学 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程,喷泉,复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线有共同的几何特征：,都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.,(2) 当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,(其中定点不在定直线上),那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？,演示,如图，点 是定点， 是不经过点 的定直线。 是 上任意一点，过点 作 ，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？,提出问题：,几何画板观察,m,问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M

2、的轨迹是什么？,探究？,可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图),我们把这样的一条曲线叫做抛物线.,抛物线演示,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线,|MF|=d,d 为 M 到 l 的距离,准线,焦点,d,一、抛物线的定义:,解法一：以 为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点 设动点点 ，由抛物线定义得：,化简得：,二、标准方程的推导,解法二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线

3、为 轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点 ， 的方程为,设动点 ，由抛物线定义得,化简得：,二、标准方程的推导,l,解法三：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.,两边平方,整理得,M(x,y),F,二、标准方程的推导,依题意得,这就是所求的轨迹方程.,三、标准方程,把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.,且 p的几何意义是:,焦点坐标是,准线方程为:,想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？,方案(1),方案(2),方案(3),方案(4),焦点

4、到准线的距离,y2=-2px (p0),x2=2py (p0),y2=2px (p0),x2=-2py (p0),P的意义:抛物线的焦点到准线的距离,方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点的位置.,四四种抛物线的对比,数形共同点: (1)原点在抛物线上; (2)对称轴为坐标轴; (3)焦点到准线的距离均为P； (4) 焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。,口诀: 对称轴要看一次项,符号确定开口方向; （看x的一次项系数,正时向右,负向左; 看y的一次项系数,正时向上,负向下.）,求P！,开口方向,思考：抛物线的方程为x=ay2（a0)求它的焦点坐标和准线方程？,当

5、a0时与当a0时，结论都为：,思考：,二次函数 的图像为什么是抛物线？,当a0时与当a0时，结论都为：,题型一：利用抛物线的定义解题,例1：已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出此时P点的坐标,题型一：利用抛物线的定义解题,例1.（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程,题型二：求抛物线方程的方法：-待定系数法,（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，2），求抛物线的标准方程,解:(2)因为焦点在y轴的负半轴上，并且,所求抛物线的标准方程是 x2 =8y .,= 2,p = 4 ,解：（3）准线

6、方程是 x = 1，,（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程,y 2 =4 x,题型二：求抛物线方程的方法：-待定系数法,且焦点在 x 轴的负半轴上，,所求抛物线的标准方程是 y2 =4x ., p =2 ，,x,y,o,(3,2),解：（4）点A(3，2) 在第一象限，,（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程,抛物线的开口方向只能是向右或向上，,设抛物线的标准方程是 y2 = 2px（p0）， 或 x2 = 2py（p0），,将（3，2）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方程为,题型二：求抛物线方程的方法：-待定系数法,课堂练习：,1、根据下列条件，写出抛物

7、线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是x = ；,（3）焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2 = 20 x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0,（5，0）,x=-5,（0，-2）,y=2,例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。

8、,题型二：求抛物线方程的方法：-待定系数法,解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。,即,所以，所求抛物线的标准方程是 ，焦点的坐标是,例3点M到点F(4，0)的距离比它到直线l: x+5=0 的距离小 1，求点M的轨迹方程。,|MF|+1=|x+5|,解（直接法）：,设 M(x，y)，则由已知，得,另解(定义法)：,由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.,由抛物线定义知：,点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线.,题型二：求抛物线方程的方法：-轨迹法，定义法,练习：若动圆M与圆C：(x2)2

9、y21外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程是() (A)y28x (B)y28x (C)y24x (D)y24x,解:设动圆圆心为M(x，y),半径为R,圆C:圆心为C(2,0),半径r1.,圆M与圆C外切，|MC|R1.,又动圆M与已知直线x10相切，,圆心M到直线x10的距离dR.,即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x20的距离,|MC|d1.,由抛物线的定义可知，,点M的轨迹是以C(2,0)为焦点，x20为准线的抛物线，,且p/22，p4，,故其方程为y28x.,A,练习：,点拨：求抛物线的标准方程关键是知道标准方程的类型和的值,M是抛物线y2 = 2px（P0）上

10、一点， 若点M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离 是.,思考题 :,抛物线 上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.,应用提高,能力提升,1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上一点M(-3，m)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程.,解：抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，过M(-3,m),抛物线方程可设为：y2=-2px(p0),抛物线方程为：y2=-8x，,准线方程为：x=2,能力提升,2、求顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线且截直线2x-y+1=0所得的弦长为 的抛物线的方程.,解：设所求的抛物线方程为y2=mx,把y=2x+1代入

11、y2=mx化简得：,4x2+(4-m)x+1=0,所求的抛物线方程为y2=12x或y2=-4x,（2000.全国）过抛物线 的焦点 作一 条直线交抛物线于 ， 两点，若线段 与 的长分别为 ，则 等于（ ）,A. B. C. D.,分析：抛物线 的标准方程为 ，其 焦点为 .,取特殊情况，即直线 平行与 轴， 则 ，如图。 故,+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).,D,(2009山东卷文)设斜率为2的直线,过抛物线,的焦点F,且和,轴交于点A,若OAF(O为坐标原点),A.,B.,C.,D.,的面积为4,则抛物线方程为( ).,B,2、根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)焦点

12、坐标是(0,4); (2)准线方程是y=-4; (3)经过点A(-3,2); (4)焦点在直线4x-3y-12=0上; (5)焦点为椭圆x2+4y2=4的顶点.,1、已知抛物线的标准方程是(1)y2=-6x,(2)x2=6y,求它的焦点坐标和准线方程.,3、抛物线x2=4y上一点M的纵坐标为4,则点M与抛物线焦点的距离为 .,选做作业：,5,4.过抛物线y2=4x的焦点，作直线L交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|=_. 5.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为( ) (A)1/8 (B)-1/8 (C)8 (D)-8 6.已知抛物线 的焦点F和点A(-1,8),P为抛物线上的点，则 的最小值是（ ） （A) 16 (B