对数函数及其性质

1、2.2.2对数函数及其性质1对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)(2)对数函数的特征：特征判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征比如函数ylog7x是对数函数，而函数y3log4x和ylogx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点【例11】函数f(x)(a2a1)log(a1)x是对数函数，则实数a_解析：由a2a11，解得a0,1又a10，且a11，a1答案：1【例12】下列函数中是对数函数的为_(1)yloga(a0，且a1)；(2)ylog2x2；(3)y8lo

2、g2(x1)；(4)ylogx6(x0，且x1)；(5)ylog6x解析：序号是否理由(1)真数是，不是自变量x(2)对数式后加2(3)真数为x1，不是x，且系数为8，不是1(4)底数是自变量x，不是常数(5)底数是6，真数是x答案：(5)2对数函数ylogax(a0，且a1)的图象与性质(1)图象与性质a10a1图象性质(1)定义域x|x0(2)值域y|yr(3)当x1时，y0，即过定点(1,0)(4)当x1时，y0；当0x1时，y0(4)当x1时，y0；当0x1时，y0(5)在(0，)上是增函数(5)在(0，)上是减函数谈重点 对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性

3、取决于底数a1时，函数单调递增；0a1时，函数单调递减理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了我们要注意数形结合思想的应用(2)指数函数与对数函数的性质比较解析式yax(a0，且a1)ylogax (a0，且a1)性质定义域r(0，)值域(0，)r过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数a对对数函数的图象的影响底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a1时，对数函数的图象“上升”；当0a1时，对数函数的图象“下降”底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是

4、a1还是0a1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大点技巧 对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y1来切，自左到右a变大【例2】如图所示的曲线是对数函数ylogax的图象已知a从，中取值，则相应曲线c1，c2，c3，c4的a值依次为()a，b，c，d，解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，c4的底数c3的底数c2的底数c1的底数故相应于曲线c1，c2，c3，c4的底数依次是，答案：a点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一

5、：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x轴上方“底大图右”，在x轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小3反函数(1)对数函数的反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数(2)互为反函数的两个函数之间的关系原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：由yf(x)解出x，即用y表示出x；把x替换为y，y替换为x；根据yf(x)的值域，写出其反函数的定义域【例31】若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1

6、)的反函数，且f(2)1，则f(x)()alog2x bc d2x2解析：因为函数yax(a0，且a1)的反函数是f(x)logax，又f(2)1，即loga21，所以a2故f(x)log2x答案：a【例32】函数f(x)3x(0x2)的反函数的定义域为()a(0，) b(1,9c(0,1) d9，)解析： 0x2，13x9，即函数f(x)的值域为(1,9故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9答案：b【例33】若函数yf(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数yf(x)的图象必过点()a(5,1) b(1,5) c(1,1) d(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线yx对称，而点(

7、1,5)关于直线yx的对称点为(5,1)，所以函数yf(x)的图象必经过点(5,1)答案：a4利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式ylogax(a0，且a1)中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)n或图象过点(m，n)等等通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)logax(a0，且a1)，利用已知条件列方程求出常数a的值利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如logamn，这时先把对数式logamn化为指数式的形式anm，把m化为以n为指数的指数幂形式mkn(k0，且k1)，则解得ak0还可以直

8、接写出，再利用指数幂的运算性质化简例如：解方程loga42，则a24，由于，所以又a0，所以当然，也可以直接写出，再利用指数幂的运算性质，得【例41】已知f(ex)x，则f(5)()ae5b5ecln 5dlog5e解析：(方法一)令tex，则xln t，所以f(t)ln t，即f(x)ln x所以f(5)ln 5(方法二)令ex5，则xln 5，所以f(5)ln 5答案：c【例42】已知对数函数f(x)的图象经过点，试求f(3)的值分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出解：设f(x)logax(a0，且a1)，对数函数f(x)的图象经过点，a2af(x)f(3)1【例43】已

9、知对数函数f(x)的反函数的图象过点(2,9)，且f(b)，试求b的值解：设f(x)logax(a0，且a1)，则它的反函数为yax(a0，且a1)，由条件知a2932，从而a3于是f(x)log3x，则f(b)log3b，解得b5对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，)(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义一般地，判断类似于ylogaf(x)的定义域时，应首先保证f(x)0(3)求函数的定义域应满足以下原则：分式中分母不等于零；偶次根式中被开方数大于或等

10、于零；指数为零的幂的底数不等于零；对数的底数大于零且不等于1；对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集【例5】求下列函数的定义域(1)ylog5(1x)；(2)ylog(2x1)(5x4)；(3)分析：利用对数函数ylogax(a0，且a1)的定义求解解：(1)要使函数有意义，则1x0，解得x1，所以函数ylog5(1x)的定义域是x|x1(2)要使函数有意义，则解得x且x1，所以函数ylog(2x1)(5x4)的定义域是(1，)(3)要使函数有意义，则解得x1，所以函数的定义域是6对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法(2)对于形如ylogaf

11、(x)(a0，且a1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：分解成ylogau，uf(x)这两个函数；求f(x)的定义域；求u的取值范围；利用ylogau的单调性求解(3)对于函数yf(logax)(a0，且a1)，可利用换元法，设logaxt，则函数f(t)(tr)的值域就是函数f(logax)(a0，且a1)的值域注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围【例61】求下列函数的值域：(1)ylog2(x24)；(2)y解：(1)x24

12、4，log2(x24)log242函数ylog2(x24)的值域为2，)(2)设u32xx2，则u(x1)244u0，0u4又y在(0，)上为减函数，2函数y的值域为2，)【例62】已知f(x)2log3x，x1,3，求yf(x)2f(x2)的最大值及相应的x的值分析：先确定yf(x)2f(x2)的定义域，然后转化成关于log3x的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值解：f(x)2log3x，x1,3，yf(x)2f(x2)(log3x)26log3x6且定义域为1,3令tlog3x(x1,3)tlog3x在区间1,3上是增函数，0t1从而要求yf(x)2f(x2)在区间1,3上的最大值，

13、只需求yt26t6在区间0,1上的最大值即可yt26t6在3，)上是增函数，当t1，即x3时，ymax16613综上可知，当x3时，yf(x)2f(x2)的最大值为137对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数ylogax(a0，且a1)过定点(1,0)，即对任意的a0，且a1都有loga10这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键对于函数ybklogaf(x)(k，b均为常数，且k0)，令f(x)1，解方程得xm，则该函数恒过定点(m，b)方程f(x)0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数(2)对数函数的图象变换的问题函数ylogax(a0，且a1)函

14、数yloga(xb)(a0，且a1)函数ylogax(a0，且a1)函数ylogaxb(a0，且a1)函数ylogax(a0，且a1)函数yloga|x|(a0，且a1)函数ylogax(a0，且a1)函数y|logax|(a0，且a1)【例71】若函数yloga(xb)c(a0，且a1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_解析：函数的图象恒过定点(3,2)，将(3,2)代入yloga(xb)c(a0，且a1)，得2loga(3b)c又当a0，且a1时，loga10恒成立，c2loga(3b)0b2答案：2,2【例72】作出函数y|log2(x1)|2的图象解：(第一步)作函数y

15、log2x的图象，如图；(第二步)将函数ylog2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得函数ylog2(x1)的图象，如图；(第三步)将函数ylog2(x1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得函数y|log2(x1)|的图象，如图；(第四步)将函数y|log2(x1)|的图象，沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图8利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最

16、后根据对数函数的单调性判断大小(2)底数不同，真数相同若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较(3)底数不同，真数也不同对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论【例81】比较下列各组中两个值的大小(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)loga，loga

17、3.141分析：(1)构造函数ylog3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围解：(1)因为函数ylog3x在(0，)上是增函数，所以f(1.9)f(2)所以log31.9log32(2)因为log23log210，log0.32log0.310，所以log23log0.32(3)当a1时，函数ylogax在定义域上是增函数，则有logaloga3.141；当0a1时，函数ylogax在定义域上是减函数，则有logaloga3.141综上所得，当a1时，logaloga3.141；当0a1时，logaloga3.141【例82】若a2ba1，试比较，log

18、ba，logab的大小分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断解：ba1，010，logablogaa1，logb1logbalogbb，即0logba1由于1b，01由logba，a2b1，10，即logbalogablogba9利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a0，且a1时，有logaf(x)logag(x)f(x)g(x)(f(x)0，g(x)0)；当a1时，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)(f(x)0，g(x)0)；当0a1时，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)(f(x)0，g(x)0)(2)常见的对数不等式有三种类型：形如l

19、ogaf(x)logag(x)的不等式，借助函数ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论形如logaf(x)b的不等式，应将b化为以a为对数的对数式的形式，再借助函数ylogax的单调性求解形如logaf(x)logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集形如f(logax)0的不等式，可用换元法(令tlogax)，先解f(t)0，得到t的取值范围然后再解x的范围【例91】解下列不等式：(1)；(2)logx(2x1)logx(3x)解：(1)由已知，得解得

20、0x2所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x1时，有解得1x3；当0x1时，有解得0x所以原不等式的解集是【例92】若1，求a的取值范围解：1，11，即(1)当a1时，ylogax为增函数，a，结合a1，可知a(2)当0a1时，ylogax为减函数，a，结合0a1，知0aa的取值范围是10对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域(2)关于形如ylogaf(x)一类函数的单调性，有以下结论：函数ylogaf(x)的单调性与函数uf(x)(f(x

21、)0)的单调性，当a1时相同，当0a1时相反例如：求函数ylog2(32x)的单调区间分析：首先确定函数的定义域，函数ylog2(32x)是由对数函数ylog2u和一次函数u32x复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u32x的单调性、值域入手，并结合函数ylog2u的单调性考虑解：由32x0，解得函数ylog2(32x)的定义域是设u32x，x，u32x在上是减函数，且ylog2u在(0，)上单调递增，函数ylog2(32x)在上是减函数函数ylog2(32x)的单调减区间是【例101】求函数yloga(aax)的单调区间解：(1)若a1，则函数ylogat递增，且函数taax递减又aax

22、0，即axa，x1函数yloga(aax)在(，1)上递减(2)若0a1，则函数ylogat递减，且函数taax递增又aax0，即axa，x1函数yloga(aax)在(1，)上递减综上所述，函数yloga(aax)在其定义域上递减析规律 判断函数ylogaf(x)的单调性的方法函数ylogaf(x)可看成是ylogau与uf(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”【例102】已知f(x)(x2axa)在上是增函数，求a的取值范围解：是函数f(x)的递增区间，说明是函数ux2axa的

23、递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0令u(x)x2axa，f(x)在上是增函数，u(x)在上是减函数，且u(x)0在上恒成立即1a满足条件的a的取值范围是11对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(x)与f(x)或f(x)是否相等；(2)当f(x)f(x)时，此函数是偶函数；当f(x)f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(x)f(x)且f(x)f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(x)f(x)且f(x)f(x)时，此函数既不是奇函数也不

24、是偶函数例如，判断函数f(x)(xr，a0，且a1)的奇偶性解：f(x)f(x)loga(x21x2)loga10，f(x)f(x)f(x)为奇函数【例11】已知函数f(x)(a0，且a1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)求使f(x)0的x的取值范围分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式解：(1)由0，得1x1，故函数f(x)的定义域为(1,1)(2)f(x)f(x)，又由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，函数f(x)是奇函数(3)当a1时，由0loga1，得1，解得0x1；当0a1时，由0loga1，得