线性方程组(克莱姆法则)_第1页
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1、第二章线性方程组,线性方程组的一般形式为,本章讨论,解的存在性,2),3),4),何时无解？),( 怎样求解？),( 解与解之间的关系 ),( 有多少个解？),( 何时有解？,方程组的求解问题:,如果存在 个数,当,方程组的 个等式,则称,为该方程组的一个解,方程组的全体解构成的集合，,称为方程组的解集.,都成立,对于方程组,基本概念：,使得,时，,设有两个,(),的每个解,如果方程组(),都是方程组()的解;,同时,都是方程组()的解,则称这两个方程组,的每个解,同解.,方程组(),元线性方程组,(),与,.线性方程组,首先讨论：,未知量的个数,方程的个数,的方程组.,方程组有唯一解：,当,

2、即当,0 时,时，,一、克莱姆(cramer)法则,二元线性方程组,当,0 时,方程组有唯一解：,这一结果可以推广到一般的,含有n个未知量,n个方程的线性方程组.,三元线性方程组,当,时,方程组有唯一解：,四元线性方程组,当,时,方程组有唯一解：,其中,定理2.1(克莱姆法则),当其系数行列式,对应,后得到的行列式.,有且仅有唯一解,是将系数行列式deta,线性方程组,0时,地换为,方程组的常数项,中第 1 列元素,有且仅有唯一解：,当 时,两个条件:,三个结论:,证,将方程组,表为矩阵形式,即,a是n阶方阵.,由于,故可逆，,得,由,因此,且解必为,从而,解存在唯一.,存在,有解,方程组(2

3、.1),是方程组( 2.1 )的唯一解.,当 时,方程组(2.1)有唯一解,即,证毕,即,例,方程组有唯一解.,方程组的唯一解为：,解,常数项均为零的,方程(.)所对应的,当然是方程(.)的解,称为齐次线性方程组(.)的,齐次线性方程组除零解外,齐次线性方程组.,是否还有其它解?,的齐次线性方程组为:,线性方程组,称为,零解.,例 齐次线性方程组,是其零解.,除零解外,也是其解,例 齐次线性方程组,其解必满足,此方程组,称为非零解,只有零解.,定理.,的系数行列式,则它仅有零解.,如果含有 个方程的,元齐次线性,方程组,证,即方程组只有零解.,由克莱姆法则,方程组有唯一解,时,是方程组(.)的解，,且方程组只有一个解，,故,是方程组(.)的唯一解，,方程组只有零解,方程组有非零解,例,设齐次线性方程组,有非零解，,求的值,解,或

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