高中数学经典50题(附答案)

1、高中数学题库1. 求下列函数的值域： 解法2 令tsinx，则f(t)t2t1， |sinx|1, |t|1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间1,1上的最值 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距万千米和万千米时，经过地球

2、和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为，求该慧星与地球的最近距离。解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点处，椭圆的方程为（图见教材p132页例1）。当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星a只能满足。作故由椭圆第二定义可知得两式相减得答：彗星与地球的最近距离为万千米。说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是，另一个是（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过

3、程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。3. a，b，c是我方三个炮兵阵地，a在b正东6，c在b正北偏西，相距4，p为敌炮阵地，某时刻a处发现敌炮阵地的某种信号，由于b，c两地比a距p地远，因此4后，b，c才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1，a若炮击p地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书p249例2）解：如图，以直线ba为轴，线段ba的中垂线为轴建立坐标系，则，因为，所以点p在线段bc的垂直平分线上。因为，bc中点，所以直线pd的方程为（1）又故p在以a，b为焦点的双曲线右支上。设，则双曲线方程为（2）。联立（1）（2），得，所以因此，故炮击的方位角北偏

4、东。说明：本题的关键是确定p点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为。将b（4,-5）代入得p=1.6船两侧与抛物线接触时不能通过则a(2,ya)，由22=-3.2 ya得ya = - 1.25因为船露出水面的部分高0.75米所以h=ya+0.75=2米答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行思维点拔注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧

5、。5. 如图所示，直线和相交于点m，点，以a、b为端点的曲线段c上任一点到的距离与到点n的距离相等。若为锐角三角形，建立适当的坐标系，求曲线段c的方程。解：以直线为x轴，线段mn的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段c是以点n为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中a、b分别为曲线段c的端点。设曲线段c的方程为，其中为a、b的横坐标，所以，由，得（1）（2），（1）（2）联立解得，代入（1）式，并由解得，因为为锐角三角形，所以，故舍去，所以由点b在曲线段c上，得，综上，曲线段c的方程为思维点拔本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问

6、题、解决问题的能力。6. 设抛物线的焦点为a,以b(a+4,0)点为圆心，ab为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点m，n。点p是mn的中点。（1）求am+an的值（2）是否存在实数a，恰使amapan成等差数列？若存在，求出a，不存在，说明理由。解：(1)设m,n,p在抛物线准线上的射影分别为m,n,p.am+an=mm+nn=xm+xn+2a 又圆方程将代入得得am+an=8(2)假设存在a因为am+an=mm+nn=2pp所以ap=pp ，p点在抛物线上，这与p点是mn的中点矛盾。故a不存在。7. 抛物线上有两动点a，b及一个定点m，f为焦点，若成等差数列（1） 求证线

7、段ab的垂直平分线过定点q（2） 若（o为坐标原点），求抛物线的方程。（3） 对于（2）中的抛物线，求aqb面积的最大值。解：（1）设，则，由题意得，的中点坐标可设为，其中（否则），而，故ab的垂直平分线为，即，可知其过定点（2）由，得，联立解得。（3）直线ab：，代入得，又点到ab的距离，令，则，令即，得或或，时。思维点拔设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。8、已知直线交椭圆于a、b两点，若为的倾斜角，且的长不小于短轴的长，求的取值范围。解：将的方程与椭圆方程联立，消去，得由，的取值范围是思维点拔对于弦长公式一定要能熟

8、练掌握、灵活运用民。本题由于的方程由给出，所以可以认定，否则涉及弦长计算时，还要讨论时的情况。9、已知抛物线与直线相交于a、b两点（1） 求证：（2） 当的面积等于时，求的值。（1） 证明：图见教材p127页，由方程组消去后，整理得。设，由韦达定理得 在抛物线上，（2） 解：设直线与轴交于n，又显然令思维点拔本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。10、在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。解设b、c关于直线y=kx+3对称，直线bc方程为x=-ky+m代入y2=4x得：y2+4ky-4m=0， 设b（x

9、1，y1）、c（x2，y2），bc中点m（x0，y0），则y0=（y1+y2）/2=-2k。x0=2k2+m，点m（x0，y0）在直线上。-2k（2k2+m）+3，m=-又bc与抛物线交于不同两点，=16k2+16m0把m代入化简得即，解得-1k0即m2-k2-90，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ） a b c d 4答案：a解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6, 而=，故选a点评：本题综合地

10、考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答13、本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为03万元和02万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 万元答案：700100200300100200300400500yxlm解析：设公司在甲电视台

11、和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得目标函数为二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线，即平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值联立解得点的坐标为（元）点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一14、设为实数，函数(1)若，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集解

12、析：（1）若，则；（2）当时，当时，综上；（3）时，得，当时，；当时，0，得：；讨论得：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力15、知函数（）设是正数组成的数列，前n项和为，其中若点(nn*)在函数的图象上，求证：点也在的图象上；（）求函数在区间内的极值解析：()证明： 因为所以，由点在函数的图象上,， 又， 所以，是的等差数列， 所以,又因为,所以, 故点也在函数的图象上()解:,令得当x变化时,的变化情况如下表: x(-,-2)-2(-2,0)

13、f(x)+0-f(x)极大值 注意到,从而当,此时无极小值；当的极小值为,此时无极大值；当既无极大值又无极小值点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力16、设若是与的等比中项，则的最小值为（ ） a8 b4 c1 d答案：b解析：因为，所以，当且仅当即时“=”成立，故选择b点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力17、设数列满足为实数（）证明：对任意成立的充分必要条件是；（）设，证明：；（）设，证明：解析： (1) 必要性： ，又 ，即充分性 ：设，对用数学归纳法证明， 当时

14、，假设， 则，且，由数学归纳法知对所有成立(2) 设 ，当时，结论成立当 时， ,由（1）知，所以 且 ， ， ，(3) 设 ，当时，结论成立， 当时，由（2）知， 点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高18、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（） 解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选b点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别

15、开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复19、 等差数列an和bn的前n项和分别用sn和tn表示，若，则的值为( )a b c d 答案：a解析： ； 点评：考查等差数列的前n项和的变形。20、已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是_答案：4 解析：4点评：考查等差等比数列的基本知识，均值不等式。21、命题实数满足，其中，命题实数满足或，且是的必要不充分条件，求的取值范围解析：设，=因为是的必要不充分条件，所以，且推不出而，所以，则或即或点评：考查逻辑用语，一元二次方程及其含参数的解集。22、已知二次函数的二次项系数为 a ，且不等式 的解集

16、为（1 , 3）（l）若方程有两个相等的根，求的解析式； （2）若的最大值为正数，求 a 的取值范围解析：（1）因为的解集为（1，3），所以且 因而 （1）由方程得： （2）因为方程（2）有两个相等的根所以，即解得：（舍去）或，将代入（1）得的解析式为：，（2），有a 0，且a 0，求证：papb本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分.解：（1）由题设知，所以线段mn中点的坐标为，由于直线pa平分线段mn，故直线pa过线段mn的中点，又直线pa过坐标原点，所以（2）直线pa的方程解得于是直线ac的斜

17、率为（3）解法一：将直线pa的方程代入则故直线ab的斜率为其方程为解得.于是直线pb的斜率因此解法二：设.设直线pb，ab的斜率分别为因为c在直线ab上，所以从而因此30、（安徽理21）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.解：由知q，m，p三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设 再设解得 将式代入式，消去，得 又点b在抛物线上，所以，再将式代入，得故所求点p的轨迹方程为31、（

18、北京理19） 已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线i交椭圆g于a，b两点.（i）求椭圆g的焦点坐标和离心率；（ii）将表示为m的函数，并求的最大值.（19）（共14分）解：（）由已知得所以所以椭圆g的焦点坐标为离心率为（）由题意知，.当时，切线l的方程，点a、b的坐标分别为此时当m=1时，同理可得当时，设切线l的方程为由设a、b两点的坐标分别为，则又由l与圆所以由于当时，所以.因为且当时，|ab|=2，所以|ab|的最大值为2.32、（福建理17）已知直线l：y=x+m，mr。（i）若以点m（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点p，且点p在y轴上，求该圆的方程；（ii）若直线l关于x轴对称的直线为

19、，问直线与抛物线c：x2=4y是否相切？说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。解法一：（i）依题意，点p的坐标为（0，m）因为，所以，解得m=2，即点p的坐标为（0，2）从而圆的半径故所求圆的方程为（ii）因为直线的方程为所以直线的方程为由（1）当时，直线与抛物线c相切（2）当，那时，直线与抛物线c不相切。综上，当m=1时，直线与抛物线c相切；当时，直线与抛物线c不相切。解法二：（i）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为依题意，所求圆与直线相切于点p（0，m），则解得所以所求圆的方程为

20、（ii）同解法一。33、（广东理19） 设圆c与两圆中的一个内切，另一个外切。（1）求c的圆心轨迹l的方程;（2）已知点m，且p为l上动点，求的最大值及此时点p的坐标 （1）解：设c的圆心的坐标为，由题设条件知化简得l的方程为 （2）解：过m，f的直线方程为，将其代入l的方程得解得因t1在线段mf外，t2在线段mf内，故，若p不在直线mf上，在中有故只在t1点取得最大值2。34、（湖北理20） 平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线（）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；（）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点

21、。试问：在撒谎个，是否存在点，使得的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分） 解：（i）设动点为m，其坐标为， 当时，由条件可得即，又的坐标满足故依题意，曲线c的方程为当曲线c的方程为是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线c的方程为，c是圆心在原点的圆；当时，曲线c的方程为，c是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线c的方程为c是焦点在x轴上的双曲线。（ii）由（i）知，当m=-1时，c1的方程为当时，c2的两个焦点分别为对于给定的，c1上存在点使得的充要条件是由得由得当或时，存在点n，使

22、s=|m|a2；当或时，不存在满足条件的点n，当时，由，可得令，则由，从而，于是由，可得综上可得：当时，在c1上，存在点n，使得当时，在c1上，存在点n，使得当时，在c1上，不存在满足条件的点n。35、（湖南理21） 如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于c1的长半轴长。（）求c1，c2的方程；（）设c2与y轴的焦点为m，过坐标原点o的直线与c2相交于点a,b,直线ma,mb分别与c1相交与d,e（i）证明：mdme;（ii）记mab,mde的面积分别是问：是否存在直线l,使得?请说明理由。解 ：（）由题意知故c1，c2的方程分别为（）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直

23、线l的方程为.由得.设是上述方程的两个实根，于是又点m的坐标为（0，1），所以故mamb，即mdme.（ii）设直线ma的斜率为k1，则直线ma的方程为解得则点a的坐标为.又直线mb的斜率为，同理可得点b的坐标为于是由得解得则点d的坐标为又直线me的斜率为，同理可得点e的坐标为于是.因此由题意知，又由点a、b的坐标可知，故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为36、（辽宁理20） 如图，已知椭圆c1的中心在原点o，长轴左、右端点m，n在x轴上，椭圆c2的短轴为mn，且c1，c2的离心率都为e，直线lmn，l与c1交于两点，与c2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为a，b，c，d（i）设

24、，求与的比值；（ii）当e变化时，是否存在直线l，使得boan，并说明理由解：（i）因为c1，c2的离心率相同，故依题意可设设直线，分别与c1，c2的方程联立，求得 4分当表示a，b的纵坐标，可知 6分 （ii）t=0时的l不符合题意.时，bo/an当且仅当bo的斜率kbo与an的斜率kan相等，即解得因为所以当时，不存在直线l，使得bo/an；当时，存在直线l使得bo/an. 12分 37、（全国大纲理21） 已知o为坐标原点，f为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过f且斜率为的直线与c交于a、b两点，点p满足（）证明：点p在c上；（）设点p关于点o的对称点为q，证明：a、p、b、q四点在同一圆上解

25、：（i）f（0，1），的方程为，代入并化简得2分设则由题意得所以点p的坐标为经验证，点p的坐标为满足方程故点p在椭圆c上。6分 （ii）由和题设知， pq的垂直平分线的方程为设ab的中点为m，则，ab的垂直平分线为的方程为由、得的交点为。9分故|np|=|na|。又|np|=|nq|，|na|=|nb|，所以|na|=|np|=|nb|=|mq|，由此知a、p、b、q四点在以n为圆心，na为半径的圆上38、（全国新课标理20） 在平面直角坐标系xoy中， 已知点a（0，-1），b点在直线上，m点满足，m点的轨迹为曲线c（i）求c的方程；（ii）p为c上动点，为c在点p处的切线，求o点到距离的最

26、小值 解：()设m(x，y)，由已知得b(x，-3)，a(0，-1).所以=（-x，-1-y）， =(0，-3-y)， =(x，-2).再由题意可知（+）=0， 即（-x，-4-2y）(x，-2)=0.所以曲线c的方程式为y=x-2.()设p(x，y)为曲线c：y=x-2上一点，因为y=x，所以的斜率为x因此直线的方程为，即则o点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以o点到距离的最小值为2.39、（山东理22） 已知动直线与椭圆c: 交于p、q两不同点，且opq的面积=,其中o为坐标原点.（）证明和均为定值;（）设线段pq的中点为m，求的最大值；（）椭圆c上是否存在点d,e,g，使得?若存在，

27、判断deg的形状；若不存在，请说明理由.（i）解：（1）当直线的斜率不存在时，p，q两点关于x轴对称，所以因为在椭圆上，因此又因为所以由、得此时 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知m，将其代入，得，其中即（*）又所以因为点o到直线的距离为所以又整理得且符合（*）式，此时综上所述，结论成立。 （ii）解法一： （1）当直线的斜率存在时，由（i）知因此 （2）当直线的斜率存在时，由（i）知所以 所以，当且仅当时，等号成立.综合（1）（2）得|om|pq|的最大值为解法二：因为 所以即当且仅当时等号成立。因此 |om|pq|的最大值为 （iii）椭圆c上不存在三点d，e，g，使得证明：

28、假设存在，由（i）得因此d，e，g只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆c上不存在满足条件的三点d，e，g.40、（陕西理17） 如图，设p是圆上的动点，点d是p在x轴上的摄影，m为pd上一点，且（）当p在圆上运动时，求点m的轨迹c的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被c所截线段的长度解：（）设m的坐标为（x,y）p的坐标为（xp,yp）由已知得p在圆上，即c的方程为（）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与c的交点为将直线方程代入c的方程，得 即 线段ab的长度为注：求ab长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。41、（上

29、海理23） 已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。（1）求点到线段的距离；（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 。 。 。解： 设是线段上一点，则，当时，。 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，点集由如下曲线围成，其面积为。 选择， 选择。 选择。42、（四川理21） 椭圆有两顶点a（-1，0）、b（1，0），过其焦点f（0，1）的直线l与椭圆

30、交于c、d两点，并与x轴交于点p直线ac与直线bd交于点q（i）当|cd | = 时，求直线l的方程；（ii）当点p异于a、b两点时，求证：为定值。 解：由已知可得椭圆方程为，设的方程为为的斜率。则的方程为43、（天津理18）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点已知为等腰三角形（）求椭圆的离心率；（）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分. （i）解：设 由题意，可得即整理得（舍），或所以（ii）解

31、：由（i）知可得椭圆方程为直线pf2方程为a，b两点的坐标满足方程组消去y并整理，得解得 得方程组的解不妨设设点m的坐标为，由于是由即，化简得将所以因此，点m的轨迹方程是44、（浙江理21）已知抛物线:，圆:的圆心为点m（）求点m到抛物线的准线的距离；（）已知点p是抛物线上一点（异于原点），过点p作圆的两条切线，交抛物线于a，b两点，若过m，p两点的直线垂直于ab，求直线的方程本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 （i）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 所以圆心m（0，4）到准线的距离是（ii）解：设

32、，则题意得，设过点p的圆c2的切线方程为，即则即，设pa，pb的斜率为，则是上述方程的两根，所以将代入由于是此方程的根，故，所以由，得，解得即点p的坐标为，所以直线的方程为45、（重庆理20）如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为 （）求该椭圆的标准方程； （）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由解：（i）由解得，故椭圆的标准方程为 （ii）设，则由得因为点m，n在椭圆上，所以，故 设分别为直线om，on的斜率，由题设条件知因此所以所以p点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为f1，f2，则由椭圆的定义|pf1|+|pf2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为46、a，b是抛物线上的两点，且oa（o为坐标原点）求证：（1）a，b两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定植；（2）直线ab经过一个定点证明：（1）设两式相乘得 所以直线ab过定点(2p,0)47、（2005年春季北京，18）如图，o为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线两点。（1） 写出直线的截距式