《大学物理学》习题解答

1、大 学 物 理 学习题解答陕西师范大学物理学与信息技术学院基础物理教学组2006-5-8说 明：该习题解答与范中和主编的大学物理学各章习题完全对应。每题基本上只给出了一种解答，可作为教师备课时的参考。题解完成后尚未核对，难免有错误和疏漏之处。望使用者谅解。编 者2006-5-8第2章 运动学21 一质点作直线运动，其运动方程为 , x以m计，t以s计。试求：（1）质点从t = 0到t = 3 s时间内的位移；（2）质点在t = 0到t = 3 s时间内所通过的路程解 （1）t = 0时，x0 = 2 ；t =3时，x3 = 1；所以， （2）本题需注意在题设时间内运动方向发生了变化。对x求极值

2、，并令 可得t = 1s ,即质点在t = 0到t = 1s内沿x正向运动，然后反向运动。分段计算 ， 路程为 22 已知质点沿x轴作直线运动，其运动方程为。试求：（1）质点在最初4s内位移；（2）质点在最初4s时间内所通过的路程解 （1）t = 0时，x0 = 2 ；t = 4时，x4 = 30所以，质点在最初4s内位移的大小 （2）由 可求得在运动中质点改变运动方向的时刻为 t1 = 2 s , t2 = 0 (舍去)则 ，所以，质点在最初4 s时间间隔内的路程为 23 在星际空间飞行的一枚火箭，当它以恒定速率燃烧它的燃料时，其运动方程可表示为 ，其中是喷出气流相对于火箭体的喷射速度， 是

3、与燃烧速率成正比的一个常量。试求：（1）t = 0时刻，此火箭的速度和加速度；（2）t = 120 s时，此火箭的速度和加速度解 ；（1）t = 0时， v = 0 ，（2）t = 120s时， vxlv0h24 如图所示，湖中有一只小船，岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ，t = 0时，船与滑轮间的绳长为l0 。试求：当人以匀速v0拉绳时，船在距岸边x处的速度和加速度。解 （1） 设任意时刻 t ，绳长为l，由题意；船到岸边的水平距离为x ，则 小船的运动速度为 负号表示小船在水面上向岸靠近。小船的运动速度为 负号表示加速度的方向指向岸边，小船在水面上加速靠岸。25 一升

4、降机以加速度上升，当上升速度为时，有一螺丝从升降机的天花板上松脱，天花板与升降机的底面相距2.74 m 。计算：（1）螺丝从升降机的天花板落到底面所需要的时间；（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离 .解 （1）以地面为参考系，取Oy坐标轴向上 ，升降机的运动方程为 螺丝的运动方程为 当螺丝落至底面时，有 y1 = y2 ,即 所以 (2)螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 26 已知一质点的运动方程为 (SI)。试求：（1）质点的运动轨迹；（2）t = 1s和t = 2 s时刻，质点的位置矢量；（3）1s末和2 s末质点的速度；（4）质点的加速度。解 （1）质点在x 、y方向运动方程的分

5、量形式为 x = 2t ， y = 2t 2消去时间t , 可得 其运动轨迹为一抛物线（2）时 ；时 （3）质点运动的速度 v 时 v1即 ，（q1为v1与x 轴的夹角） 时 v2即 ，（q2为v2与x 轴的夹角）（4）质点运动的加速度 27 一质点在Oxy平面上运动，其运动方程为 试求：（1）质点的轨迹方程；（2）质点的速度、加速度。解 （1） 质点运动方程的分量式为，消去时间参数t，可得运动的轨迹方程 （2）速度 v加速度 28 一质点在Oxy平面上运动，其运动方程为试求质点在5s时的速度和加速度 。解 速度 v加速度 t = 5 s时的速度为 加速度 29 一质点从坐标原点开始沿抛物线

6、y = 0.5 x2 运动，它在Ox轴上分速度为一恒量，试求：（1）质点的运动方程；（2）质点位于x = 2 m处的速度和加速度 。解 （1）因为常数，故ax = 0 。当t = 0时，x = 0 ，可得质点在x方向的运动方程为 又由质点的抛物线方程，有 所以 （2）任意时刻 ； 由和x = 2，可得 t = 0.5 s所以，当质点位于x = 2.0 m时，其速度 ，加速度 210 一汽艇以速率沿直线行驶。发动机关闭后，汽艇因受到阻力而具有与速度v 成正比且方向相反的加速度，其中k为常数。试求发动机关闭后，（1）任意时刻t汽艇的速度；（2）汽艇能滑行的距离。解 本题注意根据已知条件在计算过程中

7、进行适当的变量变换。（1）由 ， 得 （2）因为 ， 所以 发动机关闭后汽艇能滑行的距离为 211 一物体沿x轴作直线运动，其加速度为，k是常数。在t = 0时，。试求（1）速率随坐标变化的规律；（2）坐标和速率随时间变化的规律。解 本题注意变量变换。（1）因为 ； 所以 （2）因为 ， 可得 又因为 ， 所以 212 一质点沿 x 轴作直线运动，其速度大小，（SI制）。质点的初始位置在 x 轴正方向10 m处，试求：（1）时，质点的加速度；（2）质点的运动方程；（3）第二秒内的平均速度。解 根据题意可知，时， ，（1）质点的加速度 时， （2） 由 两边积分 因此，质点的运动方程为 （3）第

8、二秒内的平均速度为 213 质点作圆周运动，轨道半径r = 0.2 m，以角量表示的运动方程为 （SI）。试求：（1）第3s末的角速度和角加速度；（2）第3s 末的切向加速度和法向加速度的大小。解 （1）因为 故 ， 以t = 3s代入， ，（2） ， 214 一质点在半径为r = 0.10m的圆周上运动，其角位置为。（1）在 t = 2.0s时，质点的法向加速度和切向加速度各为多少？（2）t为多少时，法向加速度和切向加速度的量值相等？解 (1)由于，则 ，法向加速度 切向加速度 t = 2.0s时， （2）要使,则有 所以 t = 0.55 s215 一汽车发动机曲轴的转速，在12 s内由2

9、0 r/s均匀地增加到45 r/s 。试求：（1）发动机曲轴转动的角加速度；（2）在这段时间内，曲轴转过的圈数。解 （1）由于角速度（n为单位时间内的转数），根据角加速度的定义，在匀速转动中角加速度为 （2）发动机曲轴转过的角度为 在12 s内曲轴转过的圈数为 圈216 某种电机启动后转速随时间变化的关系为，式中。求：（1) t = 6 s时的转速；(2) 角加速度随时间变化的规律；(3) 启动后6 s内转过的圈数。解 (1)根据题意，将t = 6 s代入，即得 （2）角加速度随时间变化的规律为 （3）t = 6 s时转过的角度为 则t = 6 s时电动机转过的圈数 圈217 半径为r = 0

10、.50m的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比，在t = 2 s时，测得轮缘上一点的速度值为。求：（1）该轮在t = 0.5s的角速度，轮缘上一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在2s内所转过的角度。解 由题意 ，因R = v ,可得比例系数 所以 (1) 则t= 0.5s时，角速度为 角加速度 切向加速度 总加速度 (2) 在2 s内该点所转过的角度 218 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2 m 的圆形轨道运动。已知质点的角速度与时间的平方成正比，即（SI制）。式中k为常数。已知质点在第2 s末的速度为32 m /s 。试求t = 0.5 s时质点的速度和加速度。解 首

11、先确定常数k 。已知t = 2 s时，v = 32 m/s , 则有 故 ，当t 0.5 s ， ， ，219 由山顶上以初速度v0水平抛出一小球，若取山顶为坐标原点，沿v0方向为x 轴正方向，竖直向下为 y 轴正方向，从小球抛出瞬间开始计时。试求：（1）小球的轨迹方程；（2）在t 时刻，小球的切向加速度和法向加速度。解 （1）小球在x轴作匀速直线运动 ， y轴上作自由落体 上述两方程联立消t，可得小球的轨迹方程 （2） ， t时刻，小球的速率 t时刻，小球的切向加速度 因为 ，所以，法向加速度 220 已知声音在空气中传播的速率为344 m/s 。当正西方向的风速为30 m/s时，声音相对于

12、地面向东、向西和向北传播的速率各是多大？ 解 ， 向东传播的声音的速率 向西传播的声音的速率 向北传播的声音的速率 221 一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处。 已知A、B间的距离为l，空气相对地面的速率为u，飞机相对空气的速率v 保持不变。试证：（1）假定空气是静止的（即u0），飞机往返飞行时间为；（2）假定空气的速度方向向东，飞机往返飞行时间为；（3）假定空气的速度方向向北，飞机往返飞行的时间为。试证：由速度关系 v = u + v （1）u0时，飞机往返飞行时间为 （2）空气相对地面的速度为u向东，从A B 所需时间为从B A 所需时间为所以，飞机往返飞行时间为 （3）空气

13、相对地面的速度为u向北，如图221所示，vvu( a )Avvu( b )B习题 221从A B，飞机相对地面的速度为；从B A飞机相对地面的速度的大小与从A B等值，但方向相反。所以，飞机往返飞行的时间为第3章 牛顿定律及其内在随机性3-1 一木块能在与水平面成q 角的斜面上匀速下滑。若使它以速率v0沿此斜面向上滑动，试证明它能沿该斜面向上滑动的距离为 v02/（4gsin）。上滑fmgN下滑fmgN解 选定木块为研究对象，取沿斜面向上为x轴正向， 下滑 （1）上滑 （2）由式（2）知，加速度为一常量，有 （3）解上述方程组，可得木块能上滑的距离 3-2 在一水平直路上，一辆车速的汽车的刹车

14、距离为s = 35 m 。如果路面相同，只是有1:10的下降斜度，这辆汽车的刹车距离将变为多少？解： 在水平路上为定值，则 ，而 所以 设斜面夹角为a，刹车距离为，加速度为，则 所以 代入已知数值，注意sina = 0.1 ,可得 3-3 如图所示，质量m = 0.50kg的小球挂在倾角的光滑斜面上。mgNT（1）当斜面以加速度a = 2.0m/s2水平向右运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力各是多大？（2）当斜面的加速度至少为多大时，小球将脱离斜面？解：(1)对小球 x向： y向： 可得 小球对斜面的压力 （2）小球刚要脱离斜面时N = 0，则 ， 由此二式可解得 3-4 在水平面上一辆汽

15、车以速率v行驶，当汽车与前面一堵墙相距为d时，司机才发现自己必须制动或拐弯。设车辆与地面之间的静摩擦系数为ms .问若司机制动停车（不拐弯），他需要的最小距离d1为多大？若他不制动而作90o拐弯（作圆弧形行驶），他需要的最小距离d2又有多大？哪种办法最安全？解：汽车制动时，受到摩擦力作用，作匀减速直线运动，在拐弯情况下，汽车作圆周运动，摩擦力提供向心力。通过求出两种情况下汽车制动的距离，比较可以知道第一种方法更安全。设汽车质量为m加速度为a，则在制动时有 ，所以 若不制动而拐弯，则有 所以 由于d1 d2 可知制动安全。3-5 月球的质量是地球的，月球的半径为地球半径的 。不计自转的影响，试计

16、算地球上体重600N的人在月球上时体重多大？解： 因为地球上人体重为 所以月球上体重为 3-6 一枚质量为3.03103kg的火箭，放在与地面成58.0倾角的发射架上，点火后发动机以恒力61.2 kN作用于火箭，火箭轨迹始终与地面成 58.0的夹角。飞行48.0s后关闭发动机，计算此时火箭的高度及距发射点的距离（忽略燃料质量和空气阻力）。解 同理 火箭距发射点O的距离为 fNm3-7 在光滑水平面上固定了一个半径为R的圆环，一个质量为m的物体A以初速度为v0靠圆环内壁作圆周运动，物体与环壁的摩擦系数为m，试求物体A任意时刻的速率v？解：选取自然坐标, 切向 法向，而 ，所以 由上式得 则 3-

17、8 光滑的水平桌面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦因数为m 。开始时物体的速率为v0 ,求：（1）t时刻物体的速率；（2）当物体速率从v0减少到时，物体所经历的时间及经过的路程。解： (1)取自然坐标，有 ， 摩擦力的大小，由上述各式可得 取初始条件t = 0时v = v 0 , 并对上式积分 所以 （2）当物体的速率从v 0减少到时，由上式可得 物体在这段时间内所经过的路程 3-9 一质量为10kg的质点在力（F的单位为N，t的单位为s）的作用下，沿x轴作直线运动。在t = 0时，质点位于x = 5.0m处，其速度。求质点在任意时刻的速度和位置。解：由题意 依据

18、初始条件，t0 = 0时，积分 所以 又因v = d x/d t,并由初始条件：t0 = 0时x 0=5.0m，积分 所以 3-10 质量为m的质点在外力F 的作用下沿x 轴运动，已知t = 0时质点应位于原点，且初始速度为零，力F 随距离线性地减小，x = 0时，F = F0 ; x = L, F = 0.试求质点在;x = L处的速率。解： 由题意，力F与x的关系为 由牛顿第二定律 ，而 则 积分 所以 3-11 轻型飞机连同驾驶员总质量为1.0103kg 。飞机以的速率在水平跑道上着陆后，驾驶员开始制动，若阻力与时间成正比，比例系数 ，求：（1）10s后飞机的速率；（2）飞机着陆后10s

19、内滑行的距离 。解： 以地面飞机滑行方向为坐标正方向，有 得 t =10s时， 又 故飞机着陆后10s内所滑行的距离 3-12 一物体自地球表面以速率v0竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为f kmv2，其中 m为物体的质量，k为常量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度的值（设重力加速度为常量）。上抛mgfmgf下落解 以地面为原点，y轴竖直向上（1）上抛 ； 积分 ； 故有 （2）下落 积分 则 习题312图3-13如图所示，电梯相对地面以加速度a竖直向上运动，电梯中有一滑轮固定在电梯顶部，滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为m1和m2的物体A和B，且mlm2。设滑轮的质量和滑

20、轮与绳索间的摩擦均略去不计，如以电梯为参考系，求物体相对地面的加速度和绳的张力。解 取坐标 y 向下，设为物体相对电梯的加速度，有 ，由上述各式可得 绳的张力 物体A对地面的加速度 B对地面的加速度为 第4章 动量守恒与能量守恒41 一粒子弹在枪膛中所受的合力为 ；式中F和t的单位分别为m和s，假设子弹出枪口时所示合力为零，此时子弹的速度为。试求：（1）子弹在枪膛中经历的时间；（2）子弹在枪膛中所受的冲量；（3）子弹的质量。解 （1）由题意 ；所以 （2）子弹在枪膛中所受的冲量 （3）由动量定理，可得子弹的质量 xmv1mv2Ia习题42 用图42 一个质量为m = 0.14 kg的垒球沿水平

21、方向以的速率投来，经棒打击后，沿与水平方向成的方向向回飞出，速率变为。（1）求棒给球的冲量的大小与方向。（2）如果球与棒接触的时间为，求棒对球的平均冲力的大小。它是垒球本身重量的几倍？解 （1）如图所示，设垒球飞来方向为x轴方向，棒对球的冲量大小为与垒球投来方向的夹角q 为 （2）棒对球的平均冲力 此力为垒球本身重量的 = 616倍43 自动步枪连发时每分钟射出120发子弹，每发子弹的质量为m =7.9103 kg，子弹出枪口的速率为735 m / s 。子弹射出时，枪托每分钟对肩部的平均压力为多少？解 以分钟计，枪对子弹的平均推力为 由牛顿第三定律可知，枪托对肩的压力等于11.6 N 。44

22、 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一个质量为50 kg的杂技演员，在走钢丝练习时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来。已知安全带的长度为5 m ，安全带弹性缓冲作用时间约为0.5 s。若取重力加速度，则安全带对杂技演员的平均作用力为多少？解 以杂技演员为研究对象，人跌至5 m处时的速率为 在缓冲过程中，根据动量定理，有 可得 45 以炮弹以速率v0沿倾角q 的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为相等的两块，一块沿仰角上飞，一块沿的俯角下冲，求刚爆炸后这两块碎片的速率各为多少？习题425 用图v2yxv0cosqv1450450解 如题图所示，炮弹炸裂前速率为，沿水平

23、方向，炸裂后两块分别以v1和v2飞行。忽略爆炸过程中重力的作用，炮弹及碎块的动量守恒。于是有水平方向： 竖直方向： 联立解此二式，可得 习题46 用图O v0yxv1x1hx2v246 一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6 m。爆炸1.00 s后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为。问第二块落在距抛出点多远的地面上。（设空气的阻力不计）解 取如图示坐标，爆炸前，物体在最高点A的速度的水平分量 物体爆炸后，第一块碎片竖直落下 碎片落地时，有y1 = 0 , t = t1 ,则由上式得 根据动量守恒定律，在最高点处有 ， 可解得爆炸后第二

24、块碎片抛出时的速度分量分别为 ，爆炸后，第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为， 落地时，y2 = 0 ，可解得第二块碎片落地点的水平位置 47 一载人小船静止于湖面上，小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6 m，人的质量为50 kg ,试问当人从船尾走到船头时，船将移动多少距离？假定水的阻力不计。解 假定船的质量为M，速度为v，人的质量为m，相对于船的速度为u，其方向与v的方向相反。选x轴沿v的方向，由该方向动量守恒有 上式各项乘时间t得 。设t时间内船走的路程为S，人相对于船走过的路程为，则有，故 48 A、B两球在光滑水平面上运动，已知A球的质量为、速度为，B球的质量为、速度为 。两球碰

25、撞后合为一体，求碰撞后的速度。 解 以v表示碰撞后的速度。由动量守恒定律 所以 习题49 用图 O v0vyxDx49 质量为M的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成a 角的速率v0向前跳去 .当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出 .问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）解 取如图所示坐标.把人与物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物的过程中，满足动量守恒，有 式中v为人抛物后相对地面的水平速率，vu为抛出物对地面的水平速率。得 人的水平速率的增量为 而人从最高点到地面的运动时间为 所以，人跳跃后增加的距离 410 一人从10 m

26、深的井中提水，起始时，桶及桶中水的总质量为10 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.20 kg的水 .水桶被匀速地从井中提到井口，求人所做的功。解 水桶在匀速上提过程中，a = 0，拉力与水桶重力平衡，有 取坐标y竖直向上，水桶位于y处时，拉力 人对水桶的拉力的功为 411 长度为2 m的细绳的一端系在天花板上，另一端系一质量为0.20 kg的小球。现把小球移至使细绳与竖直方向成角的位置，然后从静止释放。试求：（1）在绳索从转到角的过程中，重力和张力所做的功；（2）物体在最低位置时的动能和速率；（3）在最低位置时绳的张力。解 如图所示，重力的功l习题411 用图mgTqO 张力的功 （2

27、）在最低位置时的动能为 小球在最低位置的速率为 （3）当小球在最低位置时，由牛顿定律可得 ； 412 最初处于静止的质点受到外力的作用，该力的冲量为，在同一时间间隔内，该力所做的功为2 J, 问该质点的质量为多少？解 由题意， ， ，根据动量定理，有由动能定理，有 所以 413 一质量为m 的质点，系在细绳的一端，绳的另一端固定在平面上。此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动。设质点的最初速率是v0。当它运动一周时，其速率为v0/2。求：（1）摩擦力做的功；（2）动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？解（1）摩擦力做功为 （2）由于，故有 可得动摩擦因数为 （3）一周中损失的动能为

28、，则在静止前可运行的圈数为 圈414 用铁锤把钉子敲入墙面木版。设木版对钉子的阻力与钉子进入木版的深度成正比。若第一次敲击，能把钉子钉入木板 。第二次敲击时，保持第一次敲击钉子的速度不变，那么第二次能把钉子钉入多深？x习题414 用图x1OF = kxx2解 F = kx（k为常数），由动能定理 ， 按题意， ，即 可得 415 质量为3 kg的质点在力F作用下沿直线运动，已知质点的运动方程为；x和t的单位分别为m和s 。试求：（1）在最初4 s内作用力F所做的功；（2） t = 1s时，力F对质点所做功的瞬时功率。解 （1）由 得 时，时，由动能定理 （2）由 得 时，则 时，所以 416

29、质量为1kg 的物体，以初速度从高度240 m处自由落下，并陷入沙坑中，陷入的深度为 0.2 m ，不计空气阻力，求沙对物体的平均阻力。解 物体下落h距离 陷入沙坑深度S 所以 代入数值得 f = 1.2104 N417 劲度系数为k的轻弹簧竖直悬挂，弹簧下端挂一物体，平衡时弹簧已有一伸长。若以物体的平衡位置为竖直y轴的原点，取物体的平衡位置作为弹性势能和重力势能的零点。试证：当物体的位置坐标为y时，弹性势能和重力势能之和为。证 设在平衡时弹簧已被拉长，则 当物体再下降距离y时，弹性势能为 以平衡位置为重力势能零点，则此时重力势能为 此时弹性势能和重力势能的和为 418 有一种说法认为地球上的

30、一次灾难性物种（如恐龙）绝灭是由于6500万年前一颗大的小行星撞入地球引起的。设小行星的半径是10km，密度为6.0103 kg/ m3（和地球的一样）它撞入地球将释放多少引力势能？这能量是唐山地震估计能量的多少倍？（1976年，,唐山地震释放的能量约为1018J。）解 小行星落到地面上所释放的引力势能为 由于小行星运行轨道半径比地球半径大的多，所以有 此能量约是唐山地震释放能量（约1018J）的106倍。419 两颗中子星质量都是1030 kg ，相距1010 m 。如果它们最初都是静止的。（1）当它们的距离减小到一半时，它们的速度各是多大？（2）当它们就要碰到时，它们的速度又将各是多大？解

31、 （1）由机械能守恒可得，对两中子星的距离r减小到一半的过程，有 由此得 （2）同理，要碰上的过程，有 由此得 = 4.1107 m / sq习题420图Rm420 如题图所示，有一半径为R的半球形光滑面，有一物块从半球形光滑面的最高点由静止沿球面滑下，若摩擦力略去不计。求此物块离开半球面的位置以及物块在该位置的速度。解 系统机械能守恒 物块沿法向 物块脱离球面时，支持力T= 0，所以 物块此时的速率为 v的方向与重力P方向的夹角为 421 一质量为m的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，离开地面的高度等于地球半径的2倍（即2R）。试以m、R ，引入恒量G ，地球质量M表示出：（1）卫星的动能；（2

32、）卫星在地球引力场中的引力势能；（3）卫星的总机械能。解 （1）对卫星用牛顿第二定律 由此式可得卫星的动能为 （2）引力势能为 （3）卫星的总机械能为 422 一轻弹簧的原长为，劲度系数为k，上端固定，下端悬挂一质量为m的物体，先用手托住，使弹簧保持原长。然后突然将物体释放，物体达最低位置时弹簧的最大伸长量和弹性力是多少？物体经过平衡位置时的速率为多少？解 以v表示物体再落下一段距离y时的速度，则机械能守恒定律给出 物体达到最低位置时，上式给出 此时弹力为最大值 物体经过平衡位置时，应有 由以上各式得 由此得物体的速度为 423 质量m1的弹丸A ，穿过如题图所示的摆锤B后，速率由v减少到v/

33、2 。已知摆锤的质量为m2，摆线长度为l ，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动 ，v的最小值应为多少？解 碰撞 m2习题423 用图Olm1vBA摆锤达最高点（v3为摆锤在最高点的速率） 摆锤从最低点到最高点 所以 424 如题图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为M ，从与水平成倾角a 30o斜面上的点B由静止下滑。设斜面对车的阻力为车重的0.25倍，矿车下滑距离l时，与缓冲弹簧一道沿斜面运动。当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置B再装货。试问要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大？MB习题424 用图l解 设弹簧

34、被压缩的最大距离为x，矿车在下滑和上行的全过程中，摩擦力所做的功为 式中M和m分别为矿车满载和空载时的质量。根据功能原理，在矿车运动的全过程中，摩擦力所做的功应等于系统机械能增量的负值，故有 由于矿车返回原位时速度为零，故DEk = 0 ；而,故有 可解得 m1m2v习题425 用图425 如图所示，质量为m1的钢球以速率为v射向质量为m2 的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动。求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离 .解 设弹簧的最大压缩量为x0 。小球与靶共同运动的速率为v1 。 由机械能守恒定律，有 所以 426 质量为，速率为

35、的粒子A与另一个质量为其一半而静止的粒子B发生二维完全弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为。求：（1）粒子B的速率及相对粒子A原来速度方向的偏角；（2）粒子A 的偏转角。习题426 用图yxvAavAvBb解 取如题图所示的坐标，在碰撞前后系统动量守恒定律，有 又由机械能守恒定律，有 碰撞后B粒子的速率为 各粒子相对原粒子方向的偏角分别为 m习题427 用图Ah v0M427 如图所示，一质量为M的物块放置在斜面的最低端A处，斜面的倾角为a ，高度为h ，物块与斜面的动摩擦因数为 m ，今有一质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动。求物块滑出顶端时的速度大小 .

36、解 子弹与物块撞击过程，在沿斜面的方向上，根据动量守恒有在物块上滑的过程中，物块刚滑出斜面顶端时的速度为v2 ,并取A点的重力势能为零。由系统的功能原理可得 所以 第5章 角动量守恒定律及刚体的转动5-1 质点在有心力作用下沿光滑水平面上的圆周运动，当圆的半径为r0时，质点的速率为v0 。若在有心力作用下使圆半径逐渐减小。试求圆半径减小到r 时，质点的速率v 是多少？解 在有心力作用下，质点的角动量守恒 由此可得 5-2 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。彗星离太阳最近的距离是，近日点时它的速率是。彗星离太阳最远的距离，远日点时彗星的速率是多少？解 彗星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角

37、动量守恒 由此得 4-3 若将月球轨道看作是圆，其转动周期按27.3d计算。试求月球对地球中心的角动量及掠面速度。解 月球对地球中心的角动量为 =2.861034 kg m2 / s月球对地心的掠面速度 5-4 1988年12月，我国发射的通信卫星在到达同步轨道之前，先要在一个大的椭圆形“转移轨道”上运行若干圈。此转移轨道的近地点高度为h1 = 205.5 km，远地点高度为h2 = 35835.7 km ，卫星越过近地点时的速率为v1 = 10.2 km / s 。已知地球半径为。（1）求卫星越过远地点时的速率v2 ；（2）求卫星在此轨道上运行的周期；（提示：椭圆面积公式）。解 （1）由卫星

38、对地心的角动量守恒 可得卫星越过远地点时的速率为 = 1.59 k m / s（2）椭圆面积 掠面速度 卫星的运行周期 5-5（1）设氢原子中电子在圆形轨道上以速率v绕质子运动。作用在电子上的向心力大小为（库仑力），其中e为电子的电量，r为轨道半径，为恒量（真空中电熔率）。试证明轨道半径为 （2）假设电子绕核的角动量为h/2p的整数倍，其中h为普朗克常量。试证明电子的可能轨道半径由下式确定： （3）是由以上两式消去v，从而证明符合这两个要求的轨道半径必须满足以下关系式： 证 （1）电子绕质子作圆周运动的向心力是，有 则电子的轨道半径为 （2）根据题意，即，有 则电子可能的轨道半径为 （3）根据

39、（1）和（2）的结果消去v ，得 5-6 质量m = 5 kg的质点在xoy平面上运动，作用在质点上的力为 （力的单位为N ，时间的单位为s ），已知t = 0 时，质点静止于坐标原点处。试求：2秒末（1）该质点的动量；（2）作用力F对原点的力矩；（3）该质点对原点的角动量。解（1） 由得 两边积分得： 当时 ， （2）由得 两边积分得： 当时 ， （3）由质点角动量定义得：Fl1l2fNN 5-7 飞轮的质量为60 kg，直径为0.50 m，转速为1 000 r/min，现要求在5.0 s内使其制动，求制动力F，假定闸瓦与飞轮之间的摩擦因数= 0.40，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。解 如

40、图所示。根据闸杆的力矩平衡，有 而，则闸瓦作用于轮的摩擦力矩为 （1）摩擦力矩是恒力矩，飞轮作匀角加速转动，有 （2）飞轮绕轴的转动惯量，根据转动定理，由式（1）、（2）可得制动力 5-8 一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为2.03103 N.m，涡轮的转动惯量为25.0 kgm2。当轮的轴速由2.80103 r/min 增大到1.12104 r/min时，所经历的时间t为多少？解：在匀变速转动中 （1）由转动定理有： （2）由式（1）、（2）得 =10.8 s5-9 用落体观察法测定飞轮的转动惯量，如图所示使质量为m的重物由静止开始下落，带动飞轮转动。记录重物下落的距离和时间，便可

41、计算出飞轮的转动惯量。试写出它的计算式（轴承进摩擦忽略不计）。BmgTT 解 对滑轮，根据转动定理，有 对重物，由牛顿定律，有 由于 重物匀加速下落，则有 由上述各式可解得 5-10 半径为R，质量为m的均质圆盘，求通过圆盘边缘且与盘面垂直的轴的转动惯量。解 根据平行轴定理和绕圆盘中心轴O的转动惯量可得 xOOO1O1Rx5-11 试证明质量为m，半径为R的匀质球体，以直径为轴的转动关量为，如以和球体相切的线为轴，其转动惯量又为多少？证 在垂直于转轴方向取小圆盘为微元，微元盘对轴的转动惯量 式中，则 又由平行轴定理可得 5-12 质量面密度为的匀质矩形板，试证通过与板面垂直的几何中心轴线的转动

42、惯量为，其中a为矩形板的长，b为它的宽。证 取矩形板的几何中心为坐标原点，在板上取一质元，它对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为 整个矩形板对该轴的转动惯量为 5-13 质量为m，内外半径分别为R1和R2（R1 R2）的、长为L的匀质圆筒。试求该圆筒对其中心轴的转动惯量。解：以为轴、r为半径取厚度为的薄圆筒，其体积，质量圆柱体的体密度为 5-14 如题图所示的系统，滑轮C可视为半径为R = 0.01 m、质量为mC = 15kg的匀质圆盘，滑轮与绳子间无滑动，水平面光滑，若滑块A的质量为mA = 50 kg，重物B的质量为mB=200kg。求重物B的加速度及绳中的张力。BmBgT2T

43、1T2AmAgNT1解： 对A，有 对B，有 对滑转C，有 又因为 ， 可解得 ， ，5-15 如题图所示，质量为m1=16 kg 的实心圆柱体A，其半径为r =15 cm可以绕其固定水平轴转动，阻力忽略不计，一条轻绳绕在圆柱体上，其另一端系一个质量为m2 = 8.0 kg的物体B，求：（1）物体B由静止开始下降1.0 s后的距离；（2）绳的张力。Bm2gT T A解 （1）对实心圆柱体A, 对物体B ，有 又因为 ， 可解得物体下落的加速度 在t =1.0 s时，B 下落的距离为 （2）绳中的张力为 5-16 如题图所示之装置，定滑轮是半径为R，质量为2m匀质圆盘，滑轮两边分别悬挂质量均为m

44、的物体A、B。置于倾角为的光滑斜面上，若B向下作加速运动时，求：（1）其下落的加速度大小；（2）滑轮两边绳子的张力。（设绳的质量及伸长均不及，绳与滑轮间无滑动，滑轮与轴承近光滑）。 AmgNT1BmgT2T1T2解 对A，沿斜面方向有 对B，有 对滑轮 且有 由于 解上述各方程可得 ， ，习题517图mk5-17 如题图所示，质量可忽略不计的细绳，绕过半径为30 cm，转动惯量为0.50 kgm2的定滑轮，一端与劲度系数k =2.0 Nm1的弹簧连接，另一端悬挂质量为0.06 kg的物体。当物体落下0.40 m时的速率是多大？（设开始时物体静止且弹簧无伸长） 解 物体下落过程中，物体弹簧滑轮和

45、地球组成的系统机械能守恒，设物体下落h时，速度为v，滑轮角速度为，设物体初始位置势能为零。于是有习题518图 Mm 1m2a考虑到 得 5-18 一不变的力矩作用在铰车的鼓轮上使轮转动，如题图所示，匀质圆柱形鼓轮的半径为r，质量为m1。绕在鼓轮上的轻绳系以质量为m2的重物，使其沿倾角为的斜面上升。重物和斜面的滑动摩擦因数为。在开始时此系统静止，试求鼓轮转过角时的角速度。解 根据质点系动能定理，在鼓轮转过角的过程中，（设鼓轮转过角时的角速度为）则有 习题519图5-19 如题图所示，半径分别为r1、r2的两个薄伞形轮，它们各自对通过盘心且垂直面转轴的转动惯量为J1和J2。开始时轮以角速度转动，问

46、与轮成正交啮合后，两轮的角速度分别为多大？解 设相互作用力为F ，在啮合的短时间内，根据角动量定理，对轮有 对轮有 两轮啮合后应有相同的线速度，故有 由上述各式可解得 5-20 一质量为20.0 kg的小孩，站在一半径为3.00 m，转动惯量为450 kgm2的静止水平转台边缘上，转台与轴间的摩擦不计。如果此小孩对转台以1.00 ms-1的速率沿转台边缘行走，问转台的角速度有多大？解 人相对地面的角速度为 根据系统的角动量守恒定律，有 习题521图qAPmv0rOw式中分别为转台、人对转台中心轴的转动惯量 。可得转台的角速度为 式中负号表示转台转动的方向与人对地面的转动方向相反 。5-21 如题图所示，有一根质量很小的长度为L的匀质细杆，可绕通过其中心点O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动，当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率v0垂直落在距转轴为14处，并背离点O向细杆的断点爬行。设小虫的质量与细杆的质