专升本数学专题训练篇--打印

1、一、函数、极限、连续一、函数、极限、连续 历年真题 2001 专升本数学专题训练篇专升本数学专题训练篇 b a f (x)dx f ()(ba)生药1班 1、 下列各极限正确的是（） 1 x A、lim(1 ) e x0 x x etdt 0 x 2 1 B、lim(1 )x e x x 1 C、lim xsin x 11 1 D、limxsin 1 x0 xx 12、计算lim x0 x sin x 2 . 13、求f (x) (x 1)sin x 的间断点，并说明其类型. x(x21) x 0 x 0 f (x) 22、设g(x) x a ，其中f (x)具有二阶连续导数，且f (0) 0

2、. （1）求a，使得g(x)在x 0处连续； （2）求.g (x) 2002 1、 下列极限中， 正确的是（） A、lim(1 tan x) x0 cot x eB、limxsin x0 1 1 secx eD、1C、lim(1cosx)lim(1 n) n e nx0 x 10、 若f (x) 1 2e 1 e 1 x 1 x ， 则x 0是f x的 （） A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点 16、求极限lim D、连续点 x2tan x x0 tt sintdt 0 x 1 1 xx, x 0 23、设f x ，且 fx在x 0点连续，求： （1）k 的值（2） f x x 0 k

3、, 2003 3、 下列极限中， 正确的是（） x2 4sin2xarctan x D、lim xx1 A、lim 2B、lim1C、lim x2 x 2 xxx0 xx sinax x 0 x 8、若函数f (x) 2x 0为连续函数，则a、b满足 1 ln(13x)x 0 bx 1 A、a 2、b为任何实数B、a b 2 3 C、a 2、b D、a b 1 2 13、求极限lim(1 x ) x0 1 2 1cos x 19、求函数f (x) 2004 sin(x 1) 的间断点并判断其类型. x 1 x 3 1、f (x) 3 x A、有界函数 2 x3,0，是： （） x0,2 B、奇

4、函数C、偶函数D、周期函数 2、 当x 0时，x sin x是关于x的（） A、高阶无穷小B、同阶但不是等价无穷小 x C、 低阶无穷小D、等价无穷小 2 x 7、设f (x) f (x) ，则lim x 3 x 13、求函数f (x) x x 的间断点，并判断其类型. sin x .14、求极限lim 2005 (tant sint)dt 0 x0(ex21)ln(13x ) 2 1、x 0是f (x) xsin A、可去间断点 1 的（） x B、跳跃间断点C、第二类间断点D、连续点 exex 2x ；7、lim x0 x sin x f (x) 2sin x x 0 13、设函数F(x)

5、 在R内连续，并满足：f (0) 0、f (0) 6， x x 0 a 求a. 2006 x f ( ) 2 1 ，则l i m1、 若lim x0 x0 x2 A、 1 2 x （） x f ( ) 3 1 B、2C、3D、 3 x 0 x 0 在x 0处（） 1 2x sin 2、 函数f (x) x 0 A、连续但不可导B、连续且可导C、不连续也不可导D、可导但不连续 7、已知x 0时，a(1cosx)与xsinx是等级无穷小，则a 8、若lim f (x) A，且f (x)在x x0处有定义，则当A 时，f (x)在x x0 xx0 处连续. 3 13、计算lim 2007 1、若li

6、m A、 x0 x 1 x 1 x1 . 1 4 f (2x)1 2，则l i m xf () （） x x2x 1 B、C、2D、4 2 22nn 2、已知当x 0时，x ln(1 x )是sin x的高阶无穷小，而sin x又是1cosx的高阶 无穷小，则正整数n （） A、1B、2C、3D、4 1 x 7、设函数f (x) (1 kx) 2 x 0 ，在点x 0处连续，则常数k x 0 ex x 1 13、求极限lim. x0 xtan x 2008 1、设函数f (x)在(,)上有定义，下列函数中必为奇函数的是（） A、y f (x)B、y x f (x )C、y f (x)D、y f

7、 (x) f (x) 34 x21 7、设函数f (x) ，则其第一类间断点为 . x(x 1) 8、设函数f (x) a x,x 0, 在点x 0处连续，则a .tan3x ,x 0, x 13、求极限：lim( x x 2 3x) x 2009 2x ax b 1、已知lim 3，则常数a,b的取值分别为 （） x2 x 2 A、a 1, b 2B、a 2, b 0C、a 1, b 0D、a 2, b 1 x2 3x 2 2、已知函数f (x) ，则x 2为f (x)的（） 2x 4 A、跳跃间断点B、可去间断点C、无穷间断点D、震荡间断点 7、已知lim( x x x) 2，则常数C .

8、 x C x3 13、求极限：lim x0 x sin x 2010 1.设当x 0时， 函数f (x) xsin x与g(x) ax是等价无穷小， 则常数a,n的值() n 1111 ,n 3 B. a ,n 3 C. a ,n 4 D. a ,n 4 63126 x1 x) 7. lim( x x1 11 2 ) 13、求极限lim( x0 xtan xx A. a 2011 1.当x 0时，函数 f (x) ex x 1是函数g(x) x2的_ A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小 D.等价无穷小 ex11 解I lim故：选C，同阶无穷小 x0 2x2 二、导数与微分二、导数与微

9、分 历年真题 2001 3、若f (x) f (x)，且在 0, 内f (x) 0、f (x) 0，则在(,0)内必有 （） A、f (x) 0,f (x) 0B、f (x) 0,f (x) 0 C、f (x) 0,f (x) 0 D、f (x) 0,f (x) 0 x tet dy 6、设，则 2dx y 2t t t0 x 11、已知y arctanx ln(1 2 ) cos 14、已知y x 2 5 ，求dy. ln ydy ，求 xdx x1, y1 . 24、一租赁公司有 40 套设备，若定金每月每套 200 元时可全租出，当租金每月每套增加 10 元时，租出设备就会减少一套， 对

10、于租出的设备每套每月需花20 元的维护费。问每月一 套的定金多少时公司可获得最大利润？ 2002 2、 已知f (x)是可导的函数， 则lim A、f (x) h0 f (h) f (h) （） h C、2 f (0)D、2 f (x)B、f (0) n c ta r 4、 若y a ex， 则dy （） 1 dx A、 1e2x ex dx B、 1 e2x C、 1 1e2x dx D、 ex 1 e2x dx 7、已知f (x)在,内是可导函数， 则( f (x) f (x)一定是（） A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、不能确定奇偶性 11、设函数y y(x)是由方程e e sin

11、(xy)确定，则 y 12、函数f (x) xy x0 x 的单调增加区间为 ex 17、已知 x acost tsint dy ，求 dx y asint tcostt 4 26、已知某厂生产x件产品的成本为C(x) 25000 200 x 价格P之间的关系为：P(x) 440 1 2 ，产品产量x与x（元） 40 1 x（元） 20 求：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品？ (2) 当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润. 2003 1、已知f (x0) 2，则lim h0 f (x 0 h) f (x 0 h) （） h C、0D、 2A、2B、4 4、已知y l

12、n(x 1 x2)，则下列正确的是（） A、dy 1 x 1 x2 B、y1 x2dxC、dy dx xy 1 1 x x0 2 dx D、y 1 x 1 x2 9、设函数y y(x)由方程ln(x y) e所确定，则y 32 10、曲线y f (x) x 3x x 9的凹区间为 x ln(1t2)dyd2y 18、已知，求、. 2dxdx y t arctant 19、求函数f (x) sin(x 1) 的间断点并判断其类型. x 1 23、要设计一个容积为V立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价：侧面是底面的一半， 而盖又是侧面的一半，问油桶的尺寸如何设计，可以使造价最低？ 2004 3、

13、直线L与x轴平行且与曲线y x e相切，则切点的坐标是（） A、1,1B、1,1C、0,1 x D、0,1 9、设f (x) x(x 1)(x 2)(x n)，n N，则f (0) d2y 15、设函数y y(x)由方程y xe 1所确定，求 dx2 y x0 的值. 23、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40 公里，乙城在 河岸的垂足与甲城相距 50 公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理 厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700 元。问污水处理厂建在何处，才 能使铺设排污管道的费用最省？ 2005 2、若x 2是函数y x ln

14、( A、1 1 ax)的可导极值点，则常数a （） 2 11 B、C、D、1 22 x cost dyd2y 14、设函数y y(x)由方程所确定，求、. 2dxdx y sint tcost 2006 x ln(1 t2)dyd2y 14、若函数y y(x)是由参数方程所确定，求、. 2dxdx y t arctant 2007 2 8、若直线y 5x m是曲线y x 3x 2的一条切线，则常数m dyd2y 14、设函数y y(x)由方程e e xy确定，求 、. dx x 0dx2x 0 xy 22、设函数f (x) ax bx cx 9具有如下性质： （1）在点x 1的左侧临近单调减少

15、； （2）在点x 1的右侧临近单调增加； （3）其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变. 试确定a，b，c的值. 2008 2、设函数f (x)可导则下列式子中正确的是（） 32 A.lim x0 f (0) f (x) f(0) x B lim x0 f (x 0 2x) f (x) f(x 0 ) x . lim x0 f (x 0 x) f (x 0 x)f (x 0 x) f (x 0 x) f(x 0 ) D. lim 2 f(x 0 ) x0 xx 32 9、已知曲线y 2x 3x 4x 5，则其拐点为 . x t sint, dy d2y 14、设函数y y(x)由参数方程t

16、2n,nZ所决定，求 , 2dx dx y 1cost, 21、求曲线y 2009 1 (x 0)的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值. x x 00, 1 3 、 设 函 数 f (x) 在 点x 0处 ， 可 导 则 常 数 的 取 值 范 围 为 x s in , x 0 x （） A、0 1 4、曲线y A、1 B、0 1C、1D、1 2x 1 的渐近线的条数为（） 2(x 1) B、2C、3D、4 x ln(1t) dy d2y , 2 .14、设函数y y(x)由参数方程所确定， ，求 2dx dx y t 2t 3 21、已知函数f (x) x 3x 1，试求：

17、（1）函数f (x)的单调区间与极值； （2）曲线y f (x)的凹凸区间与拐点； （3）函数f (x)在闭区间2,3上的最大值与最小值. 3 e x,x 0 23、已知函数f (x) ，证明函数f (x)在点x 0处连续但不可导. 1 x ,x 0 2010 x23x4 2、曲线y 2 的渐近线共有() x 5x6 A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条 6、设f (x) x 3x，则在区间(0,1)内() A. 函数f (x)单调增加且其图形是凹的B. 函数f (x)单调增加且其图形是凸的 C. 函数f (x)单调减少且其图形是凹的D. 函数f (x)单调减少且其图形是凸的 8.

18、 若f (0) 1，则lim x0 3 f (x) f (x) x 14、设函数y y(x)由方程y exy dy d2y 2x所确定，求, 2dx dx (x) ,x 0, 22、设f (x) x 其中函数(x)在x 0处具有二阶连续导数，且 x 0, 1, (0) 0,(0) 1，证明：函数f (x)在x 0处连续且可导。 2011 2.设函数f (x)在点x 0处可导，且lim f (x 0 h) f (x 0 h) 4,则f(x 0 ) _ h0 h A.4B.-2C.2D.4 解:由导数的定义知： 2 f(x 0 ) 4 故：f(x 0 ) 2,选B 3.若点(1,-2)是曲线 y

19、ax3bx2的拐点，则_ A.a 1,b 3B.a 3,b 1C.a 1,b 3 D.a 4,b 6 解：拐点即二阶导为0的点 y 6ax2b 0，则有6a2b （0 *） a 1,又(ax bx )| x1 2,即ab 2(*)，由（*）与（*）得 选A b 3. 32 三、不定积分三、不定积分 历年真题 2001 2、不定积分 1 1 x2 dx （） 1 A、 1 1 x2 B、 1 x2 c C、arcsinxD、arcsinx c e2x dx. 15、计算 1 ex 19、已知y f (x)过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线2x y 3 0，若 f(x) 3ax2b，且f (

20、x)在x 1处取得极值，试确定a、b的值，并求出y f (x)的 表达式. 2002 3、 设f (x)有连续的导函数， 且a 0、 1， 则下列命题正确的是（） A、 C、 f (ax)dx 1 f (ax)C a B、 D、 f (ax)dx f (ax)C f (ax)dx f (x)Cf (ax)dx) af (ax) 22、求积分 2003 xarcsin x2 1 x4 dx 2、 若已知F (x) f (x)， 且f (x)连续， 则下列表达式正确的是（） A、F(x)dx f (x) c C、 f (x)dx F(x) c d F(x)dx f (x) c dx d F(x)d

21、x f (x) D、 dx B、 15、求不定积分xln xdx 2004 10、求不定积分 arcsin3x 1 x2 dx ex 16、设f (x)的一个原函数为，计算xf (2x)dx. x 2005 3、若f (x)dx F(x)C，则sin xf (cosx)dx （） B、 F(sin x)CC、F(cos)CD、 F(cosx)CA、F(sin x) C 15、计算tan3xsecxdx. 22、设函数y f (x)的图形上有一拐点P(2,4)，在拐点处的切线斜率为3，又知该函数 的二阶导数y 6x a，求f (x). 2006 4、 已知 A、2e 则f (x)dx （）f (

22、x)dx e2xC， 2xC B、 1 2x 1 eC C、 2e2xCD、 e2xC 22 15、计算 2007 1 ln x dx. x 4、设函数f (x)的一个原函数为sin2x，则 A、cos4x CB、 f(2x)dx （） C、2cos4x CD、sin4x C 1 cos4x C 2 15、求不定积分x edx. 2008 10、 设函数f (x)的导数为cos x， 且f (0) 2x 1 ， 则不定积分f (x)dx . 2 x3 dx. 15、求不定积分： x 1 2009 x 1) 是 函 数 f (x) 的 一 个 原 函 数 ， 则5 、 设 F(x) l n3(

23、（） A、 f(2x 1)dx 1313 C B、 C C、 C D、 C 6x 46x 412x 812x 8 15、求不定积分：sin2x 1dx. 2010 15、求不定积分xarctanxdx 四、定积分与广义积分四、定积分与广义积分 历年真题 2001 4、2 0 x 1dx （） B、2C、1D、1A、0 10、设f (x)为连续函数，则 1 1 f (x) f (x) xx3dx 16、已知 k1 ，求k的值.dx 1 x2 2 0 21、过P(1,0)作抛物线y （1）切线方程； （2）由y x 2的切线，求 x 2，切线及x轴围成的平面图形面积； （3）该平面图形分别绕x轴、

24、y轴旋转一周的体积。 2002 8、设I 1 x4 1 x0 dx，则I的范围是 （） 0 I A、 22 B、I 1C、I 0D、 I 1 22 9、 若广义积分 A、0 p 1 1 1 1 dx收敛， 则p应满足 （） px B、p 1C、p 1D、p 0 xtan2x dx 13、 11 x2 1 x 1 ,x 0 2 19、设f (x) ，求f x 1 dx 0 1 ,x 0 1ex 24、 从原点作抛物线f (x) x 2x 4的两条切线， 由这两条切线与抛物线所围成的图形 记为S，求： （1）S的面积；（2）图形S绕X轴旋转一周所得的立体体积. 2 2003 11、 1 1 x2(

25、3x sin x)dx 16、计算 1cos d 2 2 2 2 sin 21、设有抛物线y 4x x，求： （i） 、抛物线上哪一点处的切线平行于X轴？写出该切线方程； （ii） 、求由抛物线与其水平切线及Y轴所围平面图形的面积； （iii） 、求该平面图形绕X轴旋转一周所成的旋转体的体积. 2004 4、x y 8R 设所围的面积为S，则 A、S 17、计算广义积分 222 22R 0 8R2 x2dx的值为 （） C、B、 S 4 dx S 2 D、2S 2 1 x x 1 21、证明： 2 0 xf (sin x)dx 2 0 f (sin x)dx，并利用此式求x 0 sin x d

26、x. 21 cos x 2005 9、 1 x 1 1 x 1 1 ； 16、计算arctanxdx 0 2 23、已知曲边三角形由y 2x、x 0、y 1所围成，求： （1） 、曲边三角形的面积； （2） 、曲边三角形饶X轴旋转一周的旋转体体积. 2006 9、设f (x)在0,1上有连续的导数且f (1) 2， 1 0 f (x)dx 3，则xf(x)dx 0 1 16、计算2 0 x2cosxdx. 23、已知一平面图形由抛物线y x、y x 8围成. （1）求此平面图形的面积； （2）求此平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积. 22 2007 9、定积分 2 2 4 x2(1 xc

27、os3x)dx的值为 16、计算定积分 1 2 2 1 x2 dx. x2 2 21、设平面图形由曲线y 1 x（x 0）及两坐标轴围成. （1）求该平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积； （2）求常数a的值，使直线y a将该平面图形分成面积相等的两部分. 2008 11、定积分 2sin x 1 1 x2 dx的值为 . 1 16、求定积分： 1 0 e xdx. 22、设平面图形由曲线y x，y 2x与直线x 1所围成. 22 （1）求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积. （2）求常数a，使直线x a将该平面图形分成面积相等的两部分. 2009 16、求定积分： 1 0 x2 2

28、 x2 dx. 22、设D1是由抛物线 y 2x 和直线x a, y 0所围成的平面区域， D 2 是由抛物线 2 y 2x2和直线x a, x 2及y 0所围成的平面区域，其中0 a 2.试求： （1）D1绕y轴旋转所成的旋转体的体积V1，以及D2绕x轴旋转所成的旋转体的体积V2. （2）求常数a的值，使得D1的面积与D2的面积相等. 2010 x31dx 的值为9. 定积分 2 1x 1 1 16、计算定积分 4 0 x3 dx 2x1 2 23、设由抛物线y x (x 0)，直线y a (0 a 1)与 y 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋 转一周所形成的旋转体的体积记为V 1(a) ，由

29、抛物线y x (x 0)，直线y a (0 a 1) 与直线x 1所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 V 2 (a)，另 2 2 2 V(a) V 1(a)V2 (a)，试求常数a的值，使V(a)取得最小值。 五、变限积分 历年真题 2001、2002在极限中考的，2003没考。 2004 22、设函数f (x)可导，且满足方程 2005、2006没考 2007 5、设f (x) 4 tf (t)dt x 0 x 21 f (x)，求f (x). x2 1 sint2dt，则f (x) （） 224 A、sin xB、2xsin xC、2xcosxD、2xsin x 20

30、08 3、设函数f (x) A、4x sin2x 2009 8、设函数(x) 2 1 2x t2sintdt，则f (x)等于 （） B、8x sin2xC、 4x sin2xD、8x sin2x 222 2x 0 tetdt，则(x) . 2010 3.设函数 (x) () x A. 2xecos x B. 2xecos x C.2xe cos xD. ecos x x22x22x22 2 2 x etcostdt ，则函数(x)的导数(x)等于 六、零值定理、介值定理、微分中值定理 历年真题 2001 23、设f (x)在0,c上具有严格单调递减的导数f (x)且f (0) 0；试证明：

31、对于满足不等式0 a b a b c的a、b有f (a) f (b) f (a b). 2002没考 2003 22、证明方程xe 2在区间0,1内有且仅有一个实根. x 2004没考 2005 8、函数f (x) ln x在区间1,e上满足拉格郎日中值定理的； 21、证明方程：x 3x 1 0在1,1上有且仅有一根. 3 2006 3、下列函数在1,1上满足罗尔定理条件的是（） A、y e 2007 3、设函数f (x) x(x 1)(x 2)(x 3)，方程f (x) 0的实根个数（） A、1 2008 23、设函数f (x)在闭区间0,2a(a 0)上连续，且f (0) f (2a) f

32、 (a)，证明：在开 区间(0,a)上至少存在一点，使得f () f ( a). 2009、2010没考 B、2C、3D、4 x B、y 1 xC、y 1 xD、y 1 2 1 x 七、偏导数、全微分、二重积分七、偏导数、全微分、二重积分 历年真题 2001 8、交换积分次序 y 2 0 dxf (x, y)dy x 2x 9、函数z x的全微分dz 18、计算 2sin y dxdy，D是x 1、y 2、y x 1围成的区域. D xz2z 20、设z f (x , )，其中f 具有二阶连续偏导数，求、. yxxy 2 2002 15、交换积分次序 2 2 0 x 1 0 dy y fx,

33、ydx e 22 1 2 2 e 20、计算 2003 dx 0 x y dy dx 1x2 0 x2 y2dy 12、交换积分次序 1 0 dy2y 0 f (x, y)dxdy 1 33y 0 f (x, y)dx 14、求函数z tan y 的全微分 20、计算二重积分 2222x y 2x及直线(1x y )dxdy ，其中是第一象限内由圆D x D y 0所围成的区域. 2004 11、交换二次积分的次序 1 0 dx2x x2 f (x, y)dy z2z 18、设z f (x y,xy)，且具有二阶连续的偏导数，求、. xxy 19、计算二重积分 sin ydxdy ，其中D由曲

34、线y x及y2 x所围成 y D 2005 4、 设区域D是xoy平面上以点A(1,1)、B(1,1)、C(1,1)为顶点的三角形区域， 区域D 1 是D在第一象限的部分，则 A、2 (xy cosxsin y)dxdy （） D (cosxsin y)dxdy D1 B、2xydxdy D1 C、4(xy cosxsin y)dxdy D 1 D、0 nv(x, y) ln 5 、 设 u(x, y) a r c t a， （） A、 x y x2 y2 ， 则 下 列 等 式 成 立 的 是 uv xy B、 0 uvuvuv C、D、 yxyyxx 1x2 x1 11、交换二次积分的次序

35、 1 dx 2 f (x, y)dy ； z2z 17、已知函数z f (sin x, y )，其中f (u,v)有二阶连续偏导数，求、 xxy 24、设f (x)为连续函数，且f (2) 1，F(u) （1） 、交换F(u)的积分次序； （2） 、求F (2). 2006 22 6 、 设 对 一 切 x 有f (x, y) f (x, y)， D (x, y) | x y1, y 0 ， u 1 dyf (x)dx，(u 1) y u D1(x, y) | x2 y21,x 0, y 0，则f (x, y)dxdy （） D A、0B、 xy f (x, y)dxdy C、2f (x, y

36、)dxdyD、4f (x, y)dxdy D1D1D1 u x 12、dxdy . 其中D为以点O(0,0)、A(1,0)、B(0,2)为顶点的三角形区域. 11、设u e sin x， D z2z 20、设z xf (x ,xy)其中f (u,v)的二阶偏导数存在，求、. yyx 2 1 f (x)dxdyt 0 24、设g(t) t ，其中D t 是由x t、y t以及坐标轴围成的正方形 D t at 0 区域，函数f (x)连续. （1）求a的值使得g(t)连续； （2）求g (t). 2007 11、设z x ，则全微分dz y 2z 17、设z f (2x 3y,xy)其中f具有二阶

37、连续偏导数，求. xy 20、计算二重积分 D x2 y2dxdy，其中D (x, y) | x2 y2 2x, y 0 23、设b a 0，证明：dy a bb y f (x)e2xydx (e3xe2xa) f (x)dx. a b 2008 y 在点 （2， 2） 处的全微分dz为（） x 11111111 A、 dx dy B、 dx dy C、 dx dy D、 dx dy 22222222 5、 函数z ln y2z 18、设函数z f (x y, )，其中f (x)具有二阶连续偏导数，求 . xxy 19、计算二重积分 的平面区域. 2009 2xdxdy，其中 D 是由曲线y

38、D 1 ，直线y x,x 2及y 0所围成 x z . x 22 18、计算二重积分 yd ，其中D (x, y)0 x 2, x y 2, x y 2. 10、设函数z z(x, y)由方程xz yz 1所确定，则 2 D 2z 19、设函数z f (sin x, xy)，其中f (x)具有二阶连续偏导数，求. xy 2010 5、二次积分 A. C. dy 0 1y1 1 f (x, y)dx交换积分次序后得 () 1 0 2 dx x1 1 x1 f (x, y)dy B. f (x, y)dy D. 2 1 2 dx x1 0 1 f (x, y)dy f (x, y)dy 1 dx

39、1 1 dx x1 11. 设函数z lnx24y，则dz x1 y0 2z 18、设z y f (xy,e )，其中函数f具有二阶连续偏导数，求 xy 2x 19、计算二重积分 区域。 xdxdy ，其中 D 是由曲线x D 1 y2，直线y x及x轴所围成的闭 八、微分方程八、微分方程 历年真题 2001 7、y 6y 13y 0的通解为 17、求y ytan x sec x满足y 2002 6、微分方程y 2y y 0的通解是（） x0 0的特解. y c 1 cosx c 2 sin x B、y c1e c2eA、 x x2xy c 1 c 2 xe C、 xy c 1e c2e D、

40、 xx 14、设y(x)满足微分方程e yy 1，且y(0) 1，则y 21、求y cos xy e 2003 7、微分方程yy 0满足y A、y c1cosx c2sin x C、y cosx 2x sin x 满足y(0) 1的解. x0 0，y x0 1的解是 B、y sin x D、y ccosx 17、求微分方程xyy x e的通解. 2004 6、微分方程y3y2y xe A、Axe 2005 20、求微分方程xy y e 0满足y x1 e的特解. 2006 17、求微分方程x y xy y的通解. 22、已知曲线y f (x)过原点且在点(x, y)处的切线斜率等于2x y，求

41、此曲线方程. 2007 12、设y C1e2x 22 x 2x的特解y 的形式应为（） 2x 2x B、(Ax B)eC、Ax e 22x D、x(Ax B)e2x C 2e 3x 为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为 2 18、求微分方程xy y 2007x满足初始条件y x1 2008的特解. 2008 6、微分方程y 3y 2y 1的通解为（） A、y c1ex c 2e 2x1 2x B、y c1ex c2e2x 2x C、y c1e c2e x1 2 D、y c1e c2e x 1 2 1 2 20、求微分方程xy 2y x的通解. 2009 12、微分方程(1 x

42、)ydx (2 y)xdy 0的通解为 . 20、求微分方程y y x的通解. 2010 20、已知函数y e和y e x2x 2 是二阶常系数齐次线性微分方程 y py qy 0的两个 x 解，试确定常数p, q的值，并求微分方程y py qy e的通解。 f(x) 24、设函数f (x)满足方程f (x) f (x) 2e，且f (0) 2，记由曲线y 与直线 f (x) x y 1,x t(t 0)及 y 轴所围平面图形的面积为A(t)，试求lim A(t) t 2011 已知函数 y (x1)ex是一阶线性微分方程 y2y f (x)的解,求二阶常系数微分方程 y3y2y f (x)的

43、通解. 解： f (x) y2y ex(x1)ex2(x1)ex (3x4)ex, 则二阶线性微分方程为：y3y2y (3x4)ex， 1 其通解为： y C 1e xC 2e 2x 2 (3x4)ex C 1e xC 2e 2x D 3D2 11 x2xxex(3x4) C eC ee(3x4) 12 (D1)23(D1)2D25D6 15125 C 1e xC 2e 2xex(D)(3x4) C 1e xC 2e 2xex(x) 6362312 11 C 1e xC 2e 2x(x)ex 24 九、空间解析几何九、空间解析几何 历年真题 2001 5、方程x y 4x在空间直角坐标系中表示

44、 （） A、圆柱面 2002 5、在空间坐标系下，下列为平面方程的是（） A、y x B、 2003 5、在空间直角坐标系下，与平面x y z 1垂直的直线方程为（） 2 22 B、点C、圆D、旋转抛物面 x y z 0 x 2y 4z C、=D、3x 4z 0 273x 2y z 1 A、 x y z 1 x 2y z 0 B、 x 2y 4z 213 C、2x 2y 2z 5 2004没考 2005 D、x 1 y 2 z 3 10、设向量 3,4,2、2,1,k；、互相垂直，则k ； 18、求过点A(3, 1, 2)且通过直线L: 2006 10、设a 1，a b，则a(a b) 19、

45、求过点M(3,1,2)且与二平面x y z 7 0、4x 3y z 6 0都平行的直线方 程. 2007 1 10、已知a，b均为单位向量，且ab ，则以向量ab为邻边的平行四边形的面积为 2 x 4y 3z 的平面方程. 521 x y z 2 0 19、求过点(1,2,3)且垂直于直线的平面方程. 2x y z 1 0 2008 4、 设向量a (1,2,3)，则ab等于（）b (3,2,4)， A、 （2，5，4）B、 （2，5，4）C、 （2，5，4）D、 （2，5，4） 17、设平面经过点 A（2，0，0） ，B（0，3，0） ，C（0，0，5） ，求经过点P（1，2，1） 且与平面

46、垂直的直线方程. 2009 9、已知向量a (1, 0, 1)，b (1, 2,1)，则a b与a的夹角为 . 17、求通过直线 2010 10. 设a (1,2,3),b (2,5, k)，若a与b垂直，则常数k xy 1z 2 且垂直于平面x y z 2 0的平面方程. 321 x 2t 17、求通过点(1,1,1)，且与直线y 32t垂直，又与平面2x z5 0平行的直线的方 z 53t 程。 十、无穷级数十、无穷级数 历年真题 2001、2002没考 2003 6、下列说法正确的是（） 1 A、级数收敛 n1 n B、级数 1 收敛 2 n1 n n (1)n C、级数绝对收敛 n n

47、1 2004 D、级数n!收敛 n1 (x 1)n 12、幂级数的收敛区间为 n2 n1 20、把函数f (x) 2005 6、正项级数(1) 1 展开为x 2的幂级数，并写出它的收敛区间. x 2 u n1 n 、(2) u n1 3 n ，则下列说法正确的是（） A、若（1）发散、则（2）必发散B、若（2）收敛、则（1）必收敛 C、若（1）发散、则（2）可能发散也可能收敛D、 （1） 、 （2）敛散性相同 12、幂级数(2n 1)x n1 n 的收敛区间为； x2 19、把函数f (x) 展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间. 22 x x 2006 5、 设u n1 n 为正项级数， 如

48、下说法正确的是（） u n1 A、如果limu n 0，则u n 必收敛B、如果lim l(0 l )，则u n 必收 n0n u n1n1 n 敛 C、如果u n1 n 收敛，则u n1 2 n 必定收敛D、如果(1) n1 nu n 收敛，则u n 必定收敛 n1 18、将函数f (x) xln(1 x)展开为x的幂函数（要求指出收敛区间）. 2007 6、 下列级数收敛的是（） 2n A、 2 n1 n B、 n1 n n 1 1(1)n C、 n n1 D、 n1 (1)n n 2008 xn 12、幂函数的收敛域为 . nn2 n1 2009 6、设为非零常数，则数项级数 A、条件收

49、敛 n （） 2n n1 B、绝对收敛C、发散D、敛散性与有关 1an n 11、若幂函数 2 x (a 0)的收敛半径为 ，则常数a . 2 n1 n 2010 4.下列级数收敛的是() n A. B. n1 n1 2n1 C. 2n n n1 1(1)n D. n n1 n2 n2 n1 (1)n n 12. 幂级数x的收敛域为 n n0 十一、不等式的证明 历年真题 2001没考 2002 25、证明：当 2 x 2 时，cosx 1 1 x2成立 2003、2004、2005没考 2006 21、证明：当x 2时，3x x3 2. 2007 24、求证：当x 0时，(x 1)ln x

50、(x 1). 2008 24、对任意实数x，证明不等式：(1 x)e 1 2009 x 22 24、证明：当1 x 2时，4xln x x 2x 3. 2 201021、证明：当x 1时，ex1 1 2 1 x 22 附:(历年真题答案,仅供参考) 20012001 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等等数数学学参参考考答答案案 1、C2、D3、B4、D5、A6、2 7、y e (C 1 cos2x C 2 sin 2x)，其中C 1 、C2为任意实数 8、 3x 2 0 dyyf (x, y)dx dyyf (x, y)dx 2 2 2 y42 9、yx

51、 y1dx xyln xdy 10、 64 5 112xln x 11、dy 1 x 2 x 1 2x dx 12、 1 3 13、x 1是第二类无穷间断点；x 0是第一类跳跃间断点；x 1是第一类可去间断点. e2xe2x exex1 xxdx dx e ln(1 e )C 14、115、16、 1 ex1 ex tan xdxtan xdx secxedx C elncos x 17、y e secxelncos xdx C x C ， cosx y x0 0 0Cx . C 0 y cos0cosx 18、解：原式2 0 sin y2dy1y 1 dx 1cos4 2 x0 19、解：

52、“在原点的切线平行于直线2x y 3 0” f (x) 2即b 2 b2 33 又由f (x)在x 1处取得极值，得f (1) 0，即3a b 0，得a 故f (x) 2x 2，两边积分得f (x) 所以c 0，所以y f (x) 2 2 3x 2x c ，又因曲线y f (x)过原点， 3 2 3x 2x 3 z12z2x2 x1 f 1 2x f 2 ，20、 2 f 12 3 f22 2 f 2 xyxyyyy 21、 （1）2y x 1 0； （2） 16 ； （3）V x ，V y 365 f(x)x f (x)f(x)x f (x) 22、 lim lim x0 x0 1(x)2

53、f(x)x f(x) f(x)f(x)x1 lim limf (0). x0 x0 2x2x2 23、由拉格朗日定理知： f (a b) f (b) f( 1 )(b 1 a b)， a f (a) f (0) f( 2 )(b 2 a) a 由于f (x)在(0,c)上严格单调递减，知f (1) f ( 2 )，因f (0) 0，故 f (a) f (b) f (a b). 24、解：设每月每套租金为20010 x，则租出设备的总数为40 x，每月的毛收入为： (20010 x)(40 x)，维护成本为：20(40 x).于是利润为： L(x) (180 10 x)(40 x) 7200 2

54、20 x 10 x2(0 x 40) L(x) 0 x 11 比较x 0、x 11、x 40处的利润值，可得L(11) L(0) L(40)， 故租金为(2001011) 310元时利润最大. 20022002 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等等数数学学参参考考答答案案 0105、ACABD0610、CBABB11、112、(，113、0 14、2ex315、 e 1 dx ln x 0 3 f (x, y)dy 16、17、1 2 z 18、 x 2zy ， 224 22 yx(x y ) x y 1 19、解：令t x 1，则x 2时t 1，x 0

55、时，t 1， 所以 2 0 f x 1 dx 1 11 1dx dx 1ln(1e ) ln(e1) 01 x11ex 0 20、原式 21、y e 2 2 0 dy 1y2 y 22 4 0 x y dx dr rdr 0 1 12 cos x 1 (x 1) 22、 arcsin2x2C 4 23、 （1）k e 1 1ln(1 x) x(1 x).x 0 2 x(1 x) x （2）f (x) e .x 0 2 24、 （1）S （2）V 2 0 2 dx 2 x22x4 6x dy dx 0 2 2x22x4 2x dy 2 16 3 2 0 2 (x 2x 4) dx (6x) dx

56、 (2x)2dx 2 0 512 15 25、证明：F(x) 1 x2 cosx，因为F(x) F(x)，所以F(x)是偶函数，我们只需 要考虑区间0, 2x2 sin x，F(x) cosx. ，则F (x) 2 2 2 F (x) 0F (x)0,arccos 时，即表明在内单调递增，所 2 内严格单调递增； 在x 0,arccos 以函数F(x)在0,arccos 在xarccos 22 ,时，F(x) 0，即表明F(x)在arccos,内单调递减， 22 2 ,内单调递增. 2 ,内满 2 2 又因为F ( ) 0，说明F(x)在arccos 2 综上所述，F(x)的最小值是当x 0时，因为F(0) 0，所以F(x)在 足F(x) 0. 26、 （1）设生产x件产品时，平均成本最小，则平均成本 C(x)250001 （件） 200 x，C (x) 0 x 1000 xx40 （2）设生产x件产品时，企业可获最大利润，则最大利润 C(x) 11 2 xP(x) C(x) x440 x 25000 200 x x ， 2040 xP(x) C(x