高中数学 2.1.2《椭圆的几何性质》教案（5） 湘教版选修1-1（通用）

1、第五课时 椭圆的简单几何性质教学目标1、掌握椭圆的几何性质，掌握用坐标法研究直线与椭圆的位置关系2、熟练地求弦长、面积、对称等问题3、培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力教学过程1、复习回顾椭圆的定义、几何性质判断直线与圆的位置关系的方法2、探索研究直线与椭圆的位置关系：坐标法(围绕直线与椭圆的公共点展开的)，将直线方程与椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，当0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相离。3、反思应用例1当m为何值时，直线l：yxm与椭圆9x216y2144相切、相交、相离？分析：将直线方程yxm代入椭圆9x216y2144中，得9

2、x216(xm)2144，整理，得25x232mx16m21440，(32m)2425(16m2144)576m214400当0即m5时，直线与椭圆相切；当0即5m5时，直线与椭圆相交；当0即m5或m5时，直线与椭圆相离。例2已知斜率为1的直线l经过椭圆x24y24的右焦点交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|。分析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由椭圆方程知：a2=4,b2=1,c2=3,右焦点,直线l的方程为，代入椭圆得小结：弦长公式例3过椭圆x2/16y2/41内一点M(2,1)引一条弦AB，使AB被点M平分，求弦AB所在直线的方程。解一：当弦AB的斜率不存在时，弦AB的方程为x=2

3、，不合题意舍去设弦AB所在直线的方程为：y1k(x2)，代入椭圆方程并整理得(4k21)x28(2k2k)x4(k21)2160，又设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2为方程的两个根，于是，又M为AB的中点，解之得k1/2，故所求弦AB的方程是x2y40解二：设A(x1,y1),B(x2,y2)，M(2,1)为AB的中点，x1x24,y1y22又A、B两点在椭圆上，x124y1216，x,224y2216，两式相减得x12x224(y12y22)0,故所求弦AB的方程是x2y40解三：设A(x,y)，由M(2,1)为AB的中点得B(4x,2y)A、B两点在椭圆上，x24y216，

4、(4x)24(2y)216，两式相减得x2y40,由于过A、B的直线只有一条，故所求弦AB的方程是x2y40小结：解一常规解法；解二是解决有关中点弦问题的常用方法；解三利用曲线系解题。例4试确定实数m的取值范围，使椭圆x2/4y2/31上存在两点关于直线l：y2xm对称。解一：设存在A(x1,y1),B(x2,y2) 关于直线l：y2xm对称，故可设直线AB的方程为y2xt，代入椭圆方程x2/4y2/31，并整理得x2txt230，则t24(t23)0。解得2t2。x1x2t，AB的中点M为(t/2,3t/4),M在直线l上，3t/42t/2m,即mt/4,从而1/2m1/2.解二：设存在A(

5、x1,y1),B(x2,y2) 关于直线l：y2xm对称，,则ABl，且AB的中点M在l上，设AB的中点M(x0,y0)，则x1x22x0,y1y22y0，又A、B两点在椭圆上，3x124y1212，3x,224y2212，两式相减得3(x12x22)4(y12y22)0,即y03x0/2,又y02x0m，解得x02m，y03m，点M在椭圆内，即m23m21，解得1/2m1/2.例5椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|20/9，OPOQ，求此椭圆的方程。解：设椭圆方程为x2/a2y2/b21(ab0)，左焦点F(c,0)当PQx轴时，|FP|FQ

6、|b2/a，由OPOQ知|FO|FQ|，即cb2/a,aca2c2，即e2e10，解得，这与条件不符，PQ不垂直x轴设PQ：yk(xc)，P(x1,y1),Q(x2,y2)，设a2t,，则bt椭圆方程可化为x24y24t2(t0)，将直线PQ的方程代入椭圆方程得，则x1、x2为方程的根OPOQ，x1x2y1y20，即整理得：，整理得k24/11，此时|PQ|20/9，即所以所求椭圆方程为x2/4y214、归纳总结数学思想：数形结合、函数与方程知识点：直线与椭圆的位置关系、弦长公式、中点弦问题、对称问题作业：1、直线l与椭圆方程为4x29y236交于A、B两点，并且AB的中点M(1,1)，求直线l的方程