几何的五大模型

1、几何问题 -五大模型,风子编辑,概念,1、等积变换模型,1）等底等高的两个三角形面积相等 2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比 如图1 S1：S2=a：b 3）夹在一组平行线之间的等积变形，如图2 SACD= SBCD 反之，如果SACD= SBCD，则有直线AB/CD,S1,S2,a,b,A,B,C,D,图1,图2,概念,2、鸟头定理（共角定理）模型,1）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 2）共角三角形的面积比等于对应交（相等或互补角）两夹边的乘积之比,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,如图，在ABC中，D、E

2、分别是AB、AC上的点，或D是BA延长线上， E在AC上，则有SABC ： SADE=(ABAC)：(ADAE),思考：怎样用等积变换模型来证明这个模型,A,B,C,D,E,概念,3、蝴蝶定理模型（任意四边形中的比例关系）,1）不规则四边形,S1,S2,S4,S3,O,A,B,C,D,a,b,S1：S2=S4：S3,AO：OC=(S1+S2)：(S3+S4),1）梯形,S1,S2,S4,S3,O,A,B,C,D,a,b,S1：S3=a2：b2,S1：S3：S2：S4=S3=a2：b2：ab：ab,S梯形的对应份数为（a+b）2,概念,4、相似模型,A,B,C,D,E,金字塔模型,沙漏模型,F,

3、G,E,F,D,A,B,G,C,1）相似三角形线段关系 AD:AB=AE:AC=DE:BC=AF:AG 2）相似三角形面积关系 SADE ： SABC=AF2：AG2,概念：,A,B,C,G,D,E,F,SABG： SACG= SBGE： SCGE =BE:CE,SBGA： SBGC= SGAF： SGCF =AF:CF,SAGC： SBGC= SAGD： SBGD =AD:BD,5、燕尾定理模型,1）翅膀之比等于尾巴之比,2）翅膀面积之和：尾巴面积=翅骨：尾骨,（SABG+ SACG）： SBGC=AG:GE,3）,例题：等积变换,例题1：一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方

4、形 面积的15%，黄色三角形面积是21cm2。问：长方形的面积是 多少平方厘米？,红,黄,绿,红,分析：S黄+S绿=S长方形2（=宽长2） 黄色三角形面积21cm2，占长方形面积比例 50%-15%=35% 因此，长方形面积=2135%=60cm2,例题：等积变换,例题2：图中ABCD是个直角梯形，以AD为一边向外作长方形ADEF， 其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC，则图 中阴影部分的面积是多少平方厘米？,A,B,C,D,E,F,P,分析：,1、连接AE、BD，作两条平行线,2、PD/BC ，根据等积变换模型 S PBD= S PCD AB/ED ,根据等积变换模型S

5、AEP= S PDB,3、根据如此等积变换，阴影部分面积与三角形ADE相等，即： S阴影=SADEF2=3.18,思考：几何问题经常要用到添加辅助线，这比较关键。,例题：一半模型,例题3：如图ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘 米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米。,A,B,C,D,E,F,分析：阴影部分是一个个三角形，矩形CDEF中阴影 部分的三角形底边长度为矩形的长，高与矩 形宽相等，根据面积公式可知S阴影=SEDCF2,思考：一半模型是什么意思？,例题：燕尾定理模型,例题4：如图E在AD上，ADBC，AD=12cm，DE=3cm，求SABC是 SEBC的几倍

6、？,E,A,B,C,D,分析：,翅膀,尾巴,根据燕尾定理模型，S翅膀：S尾巴=AE:ED,SABC= S翅膀+S尾巴,SEBC= S尾巴,SEBC SEBC= 123=4,例题5：如图，A、B、C都是正方形边的中点， COD比AOB大15平方厘米的面积， AOB的面积是多少平方厘米。,A,E,B,D,C,O,ABD 的高是CBD的一半，而底边相同 SCOD-SAOB=SCBD -SABD= SABD =15cm2 SAOB= SABD 2=7.5cm2,分析：,例题：等积变换模型,例题4：图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正 方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？

7、,A,B,C,D,E,F,G,H,分析：,从图可知，存在等积等高，那试试等积变换模型,6,5,1,2,3,4,正方形的各条边边长相等，都为12，E、F、G为 三等分点，想想？可采用什么模型,怎么变换呢？先画几条符合该模型的辅助线,想想？HBE与HAB、 HBF与HBC、 HDG与HCD之间的比例关系,都存在1:3的关系,所以：S阴影是S正的三分之一，即S阴影=12123=48,例题：鸟头（共角）模型,例题4：如图，已知三角形ABC面积为1，延长至D，使BD=AB，延长BC 至E，使CE=2BC，延长至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积,A,B,C,D,E,F,分析：,1、想想？ACB与F

8、CE、 CAB与FAD、 ABC与DBC是什么关系,2、互补。在共角模型中，共角三角形的面 积比等于对应交（相等或互补角）两夹边 的乘积之比,3、SABC： SFCE=BCCA：CEAF SFCE=8 SABC=8 同理可知： SFAD=6，SDBE=3 所以： SFDE=18,思考？共角模型可以用等积变换模型推导出来，请用等积变换模型试试 关键点：添加辅助线,例题：梯形蝴蝶定理模型,例题4：如图，面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E、F是DC边上的 三等分点，求阴影部分的面积。,A,D,B,C,O,E,F,S1,S2,S4,S3,1、看下图形，回忆下梯形蝴蝶定理模型,分析：,2、S2=S

9、4，S1：S3=a2：b2 S1：S3：S2：S4=S3=a2：b2：ab：ab,a,b,3、蝴蝶定理模型，把梯形肢解模块化，我们 可以假设最小的三角形面积为1份。想想？其它各部分所占的份数,4、 a：b=3:1，S2=S4=3份，S1=9份,5、 想想？正方形ABCD中，还有哪些没有包块进去，及与份数之间的关系,6、SADE =S2+S3，S BCF =S4+S3 想想？为什么，用了什么模型,7、正方形ABCD被分成了24份 S阴影=S2+S4=62412=3cm2,例题：相似模型,例题4：如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于 G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH=5cm，HF=3cm， 求AG,A,B,C,D,E,O,G,H,F,分析：,1、根据题目意思，是要找到线段间的关系， 而图形中存在著多的相似三角形,2、我们先来看看图中与AG、AH、HF相关 的相似图形,3、共找到三对相关的相似图形 AB:FD=AH:HF=5：3 OE:FD=1：2 AB：OE=10：3 AO=AF/2=4cm AG=41013=40/13（cm）,例题：,例题4：正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘