基于螺旋理论的自由度分析原理模板

1、高等空间机构学,YSU,李永泉 燕山大学机械工程学院 2015年11月,基于螺旋理论的自由度分析原理 空间机构的位置分析 运动影响系数原理 基于约束螺旋理论的并联机构型综合 空间机构的奇异分析 机构学的其他问题,本门课程的主要学习内容,螺旋的基本概念 螺旋表示运动和受力 运动副的螺旋表示 螺旋的相关性 螺旋的相逆性 基于螺旋理论的自由度计算,基于螺旋理论的自由度分析原理,螺旋的基本概念 螺旋表示运动和受力 运动副的螺旋表示 螺旋的相关性 螺旋的相逆性 基于螺旋理论的自由度计算,基于螺旋理论的自由度分析原理,方向向量 S 位置向量 r 线矩S0= rS 直线表示为(S; S0)，满足SS0=0。

2、 一般，对偶矢量中 SS00，(S; S0)表示一个一般的螺旋,基本概念,直线的plcker坐标:,螺旋也称旋量。一个旋量表示空间的一组对偶矢量 同时表示矢量的方向和位置。 同时表示运动学中的线速度和角速度 同时表示刚体力学中的力和力矩,基本概念,螺旋一般形式 $=(S;S0)，节距,基本概念,令S0=S0-hS于是一般螺旋可以表示为 $= (S;S0+hS),SS00,h为非零有限值。 $=(S;S0)表示一般螺旋。$= (S;S0+hS) SS0=0,h=0时。 $=(S;S0)表示线矢量。 S0,h=时 $=(0;S)表示偶量。,基本概念,螺旋的基本概念 螺旋表示运动和受力 运动副的螺旋

3、表示 螺旋的相关性 螺旋的相逆性 基于螺旋理论的自由度计算,基于螺旋理论的自由度分析原理,用角速度的线矢量表示转动: 与转轴重合的单位线矢量 $=(S;S0) 转动运动的plcker坐标为 w$= w( S;S0) = (w;v0) 即角速度的大小与一个表示转轴作用线的单位线矢之积。,螺旋表示运动,用偶量表示移动 刚体移动可以看作是绕距原点无限远处轴线的瞬时转动，转轴可用一个偶量表示为 $=(0;S) 移动运动的plcker坐标： v$= v( 0;S) = (0;v) 即线速度的大小与偶量$之积。 移动运动的方向矢量空间任意平移，并不改变刚体的运动状态，( 0;S)为一个自由矢量。,螺旋表示

4、运动,更一般的螺旋运动则可看作移动与转动的合成,用线矢量表示力: 与作用力重合的单位线矢量 $=(S;S0) 力的plcker坐标可写为 f$= f( S;S0) = (f;C0) 即力的大小与和约束力重合的单位线矢之积。,螺旋表示受力,用偶量表示力偶 力偶是自由矢量，其在刚体内的平移不会改变对刚体的作用效果。 自由矢量可表示为 $=(0;S) 力偶的plcker坐标 C$= C( 0;S) = (0;C) 即力偶大小与自由矢量之积。,螺旋表示受力,力螺旋可看作力线矢与共线的力偶的合成,螺旋的基本概念 螺旋表示运动和受力 运动副的螺旋表示 螺旋的相关性 螺旋的相逆性 基于螺旋理论的自由度计算,

5、基于螺旋理论的自由度分析原理,运动副的螺旋表示,转动副,移动副,球副,螺旋的基本概念 螺旋表示运动和受力 运动副的螺旋表示 螺旋的相关性 螺旋的相逆性 基于螺旋理论的自由度计算,基于螺旋理论的自由度分析原理,螺旋相关性,螺旋相关性的定义:当有n个螺旋$i=Si+S0i，i=1,2n,螺旋线性相关时必可找到一组不全为零的数i，使得,定理： 螺旋系的相关性与坐标系的选择无关。 考虑到螺旋系的相关性与坐标系的选择无关的这个定理，为了简明，在分析螺旋系的相关性时我们可以选最方便的坐标系，使诸螺旋的表达尽可能地简单。,螺旋的基本概念 螺旋表示运动和受力 运动副的螺旋表示 螺旋的相关性 螺旋的相逆性 基于

6、螺旋理论的自由度计算,基于螺旋理论的自由度分析原理,分支中的某个运动螺旋$1和分支的约束螺旋$2互逆，其互易积为零,物理意义：互易积为零的两个螺旋，一个表示物体运动，一个表示物体受到的约束力，则互易积就是力螺旋对运动螺旋所作的瞬时功，如两个螺旋的互易积为零，则表示约束螺旋在运动螺旋方向上没有瞬时功。,螺旋相逆性,约束螺旋为约束力线矢,螺旋相逆性,对于分支中的转动副， $1是一个线矢量，即,根据前面的互易积公式，有,此式子成立的条件是,可知：约束力与转动副轴线 共面（相交或平行）,螺旋相逆性,约束螺旋为约束力线矢,对于分支中的移动副， $1是一个偶量，即,根据前面的互易积公式，有,此式子成立的条

7、件是,可知：约束力（反螺旋）与移动副 垂直,螺旋相逆性,约束螺旋为约束力线矢,对于分支中的转动副， $1是一个线矢量，即,螺旋相逆性,约束螺旋为约束力偶,螺旋相逆性,根据前面的互易积公式，有,此式子成立的条件是,可知：约束力偶（反螺旋）与转动副 垂直,约束螺旋为约束力偶,对于分支中的移动副， $1是一个偶量，即,根据前面的互易积公式，有,可知：约束力偶（反螺旋）与移动副轴线 始终互逆。,螺旋相逆性,约束螺旋为约束力偶,螺旋相逆性,两线矢相逆的充要条件是它们共面 两个偶量必相逆 线矢与偶量仅当垂直时才相逆 线矢和偶量皆自逆,与已知螺旋系相逆的反螺旋,螺旋的基本概念 螺旋表示运动和受力 运动副的螺

8、旋表示 螺旋的相关性 螺旋的相逆性 基于螺旋理论的自由度计算,基于螺旋理论的自由度分析原理,修正的G-K公式：,机构自由度计算,M机构的自由度； d机构的阶数（6-公共约束数 ）； n机构的构件数(包括机架)； g运动副的个数； fi第i个运动副的自由度； v冗余约束的个数； 机构中存在的局部自由度,机构的公共约束,机构的公共约束： 与机构中的每个运动螺旋都相逆的约束螺旋称为机构的公共约束。存在公共约束则意味着机构中任何一个构件都不能发生这个运动。 并联机构的公共约束： 各分支都能提供同样的约束（约束力应共轴，约束力偶应同向）。,机构的阶,机构的阶： 机构运动螺旋系的阶（Rank），机构所有构

9、件允许的运动维数 机构的阶 + 公共约束数 = 6,3-RPS机构自由度计算,3-RPS机构自由度计算,分支的运动螺旋系：,约束螺旋系为：,对于这个3-RPS整体机构，3个相同分支有3个类似的约束力，都过各自分支球副中心并与第一个转动副平行。作用于上平台的3个约束力就约束了平台的3个自由度，限制了包括动平面内的两个移动和绕动平面法线的相对转动。没有公共约束,按照修正的G-K公式计算：,3-RPS机构自由度计算,自由度性质,3-RRC机构自由度计算,RRC分支的运动螺旋系： 分支的约束螺旋系为： 为分别沿y和z轴方向的两个约束力偶。,考虑公共约束,建立同样的分支坐标系分析可知，三个分支的约束螺旋

10、系均为分别沿y和z轴方向的两个约束力偶。,3-RRC机构自由度计算,考虑公共约束,3-RRC机构自由度计算,可以看出三个分支有相同的（竖直方向）力偶分量 ，即机构存在一个公共约束。共面不汇交的三个约束力偶 又对应一个并联冗余约束。 由修正的G-K公式计算可得：,冗余约束,对于许多复杂的多环并联机构,除了需要考虑构成公共约 束的过约束外,还有一些过约束是在多个分支构成多环并联 时候发生的,这里称之为”冗余约束”。 求法：当除去公共约束后，其余的 个约束构成一个 系 螺旋，如果 则存在冗余约束，冗余约束,4-URU机构自由度计算,URU分支的运动螺旋系： 分支的约束螺旋系为： 为沿y轴方向的约束力

11、偶。,4-URU机构自由度计算,4个共面不平行约束力偶，没有公共约束,且只有两个独立，因此存在两个冗余约束。由修正的G-K公式计算可得,3-UPU机构自由度计算,UPU分支的运动螺旋系： 分支的约束螺旋系为： 为垂直于U副十字平面的约束力偶。,3-UPU机构自由度计算,三个分支的三个约束力偶在空间分别垂直各自的十字头平面，它们相互并不平行，彼此线性无关，没有公共约束,没有冗余约束。 三个约束力偶限制了三个转动自由度，上平台只具有三个移动自由度。 由修正的G-K公式计算可得,平面五杆平行四边形机构自由度计算,AD分支的运动螺旋系： 分支的约束螺旋系为： 分别为沿x和y轴方向的两个约束力偶和沿z轴

12、和杆件方向的两个约束力。,x,y,可以看出三个分支为动平台提供了两个方向相同的约束力偶，和一个共轴的约束力，即机构存在三个公共约束。共面平行的三个约束力又对应一个并联冗余约束。 由修正的G-K公式计算可得：,平面五杆平行四边形机构自由度计算,自由度性质,空间平行5H机构自由度计算,空间5个具有不同节距且轴线平行的螺旋依次相连，运动螺旋系： 约束螺旋系为：,可以看出机构存在两个公共约束，属于四阶机构。 由修正的G-K公式计算可得：,空间平行5H机构自由度计算,当5个螺旋节距相同时，即 。 此时多了一个反螺旋，即 此时机构共有三个公共约束，属于三阶机构。 由修正的G-K公式计算可得：,3-RRCR

13、并联机构自由度计算,取分支坐标系原点与中心点重合，y轴沿圆柱副的中心线，z轴垂直向上，则RRCR分支的运动螺旋系： 分支的约束螺旋系为： 为过中心点垂直向上的约束力。,z,y,三个约束力共轴，存在一个公共约束，没有冗余约束。由修正的G-K公式计算可得,3-RRCR并联机构自由度计算,自由度性质,DELTA并联机构的自由度计算,分支中含有闭环子链,Delta机构,用“自由度等价的串联链以代替局部闭环（广义运动副）”,DELTA并联机构的自由度计算,DELTA并联机构的自由度计算,4U平行四边形机构的相对自由度,分支1的运动螺旋系： 分支1的约束螺旋系为： 为沿z轴方向的约束力偶和两U副中心点连线

14、的力线矢。,DELTA并联机构的自由度计算,4U平行四边形机构的相对自由度,4U机构约束螺旋系： 4U广义副的自由度的数目和性质： 绕y轴的转动和沿y轴的移动以及垂直于该方向的移动,DELTA并联机构的自由度计算,x,y,DELTA并联机构的自由度计算,分支运动螺旋系： 分支约束螺旋系为： 为沿x和z轴方向的约束力偶。,可以看出三个分支为动平台提供了三个方向相同的约束力偶，即机构存在一个公共约束。其余三个约束力偶平行于定平台，平面汇交线性相关，最大线性无关数为2，又对应一个并联冗余约束。 由修正的G-K公式计算可得：,自由度性质,DELTA并联机构的自由度计算,Bennett机构自由度计算,Bennett机构是由轴线相错的四个转动副构成的单自由度空间机构。 满足“封闭形对边的长度相等，扭角相等，且对边与扭角的正弦成比例”。,Bennett机构自由度计算,设AC=2l, BD=2m, AC和BD的夹角为。 E, F为AC 和BD的中点且 EF=n。选取E为原点, x轴沿向量EF, y轴沿EA。根据所满足的几何条件，可得点A, B, C, D的坐标为,另外4 个转动副轴线的方向矢量可以表示