二进制表示与运算.ppt

1、,二进制表示与运算,二进制表示与运算,二进制与十进制、八进制和十六进制的转换,数的表示（定点小数、定点整数、浮点数）,机器码（原码、反码、补码）,定点数的运算,十进制,由0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9等十个不同的符号来表示数值的一种表示方法，采用逢10进1的计算方式。例如 253.48=2*102+5*101+3*100+4*10-1+8*10-2 显然，任一数字的位置是由10的次幂而决定的，这个10就是十进制的基数。十进制的特征： 数字的个数等于基数 最大的数字比基数小1 每个数字都要乘以基数的幂次，而该幂次是由每个数所在的位置决定的,为什么数字计算机上要采用二进制

2、,计算机是电子设备，它容易实现的稳定状态有两种，如电路的通或断、电位的高或低。两种稳定状态工作可靠，抗干扰能力强，分别对应着数值和，这就是计算机中使用二进制数的理由。 和的不同编码组合可以表示一个数、一个字符或一条操作指令。,二进制,二进制数 ）用和两个数符表示两个不同的数。 ）逢二进一，即高一位数是低一位数的倍 因此，二进制数10101.101的十进制值可用以下方法求出： (10101.101)2 124+023+122+021+120+12-1+02-2+12-3 16+0+4+0+1+0.5+0+0.125 (21.625)10,二进制,二进制：逢二进位的数制系统,基数：0 1,例：(

3、110)2,122121020(6)10,奇偶数的判断以尾数为准,易于运算,用于表达二进制数所需的物理状态最少,例：0999范围内的数，十进制表示需31030个稳定状态； 二进制表示需10220个稳定状态（2101024）,二进制数转换为十进制数,整数部分： (knkn-1k2k1)2=(kn2n-1+kn-12n-2+k221+k1)10,小数部分： (. k1 k2 kn-1kn)2=(k12-1+k22-2+kn-12-(n-1)+kn 2-n)10,例： (11001)2,24+23+1=(25)10,(0.101)2,2-1+2-3=(0.625)10,(101.11)2,22+1+

4、2-1+2-2=(5.75)10,十进制整数转换为二进制数,转换规则：除2取余,(x)10 =(knkn-1k2k1)2=(kn2n-1+kn-12n-2+k221+k1)10,k1=x除2取余数，k2=(x-k1)/2除2取余，直至商数小于2,(27)10=(11011)2,例： （20）10 （67）10 （128）10,（10100）2,（1000011）2,（10000000）2,十进制小数转换为二进制数,转换规则：乘2取进位,(x)10 =(. k1 k2 kn-1kn)2=(k12-1+k22-2+kn-12n-1+kn 2-n)10,k1=x乘2取进位，k2=(2x-k1)乘2取

5、进位，直至余数为0,例： (0.125)10=(0.001)2,0.12520.25 进位为0 0.2520.5 进位为0 0.521 进位为1，余数为0，计算结束,练习： (0.625)10=,(0.101)2,(23.25)10=,(10111.01)2,八进制与十六进制,在计算机中应用二进制有一系列的优点，但写起来位数太多，读起来也比较麻烦，为了读写方便，往往采用八进制和十六进制作为二进制的过渡方式。 八进制：用0，1，2，3，4，5，6，7 八个数符。采用“逢八进一”的计数方法。 十六进制：用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F十六个数符。采用“逢十六进一”的

6、计数方法。,二进制数与八进制的转换,一位八进制数相当于三位二进制数，即有如下的对应关系： 转换的方法是：由小数点开始向左把二进制整数按每三位一划分，同理，由小数点开始向右把二进制小数按每三位一划分，不足三位的用0补齐，然后写出其相应的八进制数。,二进制数与八进制的转换,转换的方法是：由小数点开始向左把二进制整数按每三位一划分，同理，由小数点开始向右把二进制小数按每三位一划分，不足三位的用0补齐，然后写出其相应的八进制数。 【例】 (10001101.1101)2( )8,八进制与二进制数的转换,转换的方法是：这是上述转换的逆过程。将八进制数的每一位用相应的三位二进制数写出即可。 【例】 (32

7、5.46)8( )2 解 3 2 5 . 4 6 011 010 101 . 100 110,二进制数与十六进制数的转换,一位十六进制数相当于四位二进制数，即有如下对应关系：,二进制数与十六进制数的转换,转换的方法是：由小数点开始向左把二进制整数按每四位一划分，同理，由小数点开始向右把二进制小数按每四位一划分，不足四位用0补齐，然后写出其相应的十六进制数。 【例】 (11110111101.01)2( )16 解 0111 1011 1101 . 0100 7 D . 4 所以 (11110111101.01)2(7BD.4)16,二进制数与十六进制数的转换,将十六进制数的每一位用相应的四位二

8、进制数写出。 【例】 (23.F)16( )2 解 2 3 . F 0010 0011 . 1111 所以 (23.F)16(100011.1111)2,非十进制到十进制数的转换,非十进制数转换成十进制数 其方法以上已经介绍过了，即把非十进数按位权展开并求和。 例如： (32CF.4B)16 ( )10 (32CF.4B)16 316321621216115160416-11116-2 12288512192150.250.04296875 (13007.29296875)10,二、八、十六进制对照表,表1.1 二、八进制数字对照表,表1.2 二、十六进制数字对照表,数制转换小结 1.非十进制

9、数转换成十进制数 方法：把非十进数按位权展开并求和。 2.十进制数转换为非十进制数 （1）十进制整数转换为非十进制整数,方法：除以基数，直至商为，取其余数，倒排。,（2）十进制小数转换为非十进制小数 8 4 2 1 23 22 21 20,方法：乘以基数，直至小数部分为0，取其整数，顺排。 3.非十进制之间互相转换,（1）二进制数与八进制数间互换 一位八进制数相当于三位二进制数 （2）二进制数与十六进制数间互换 一位十六进制数相当于四位二进制数,练习,十进制转换为二进制：83.25，56.38 二进制转换为十进制：11010011.001011 八进制转换为二进制：265.73 二进制转换为八

10、进制：11010011.1101 十六进制转换为二进制：3FD.6C 二进制转换为十六进制：11011110.11 十进制转换为八进制：593.92 八进制转换为十进制：67.76,练习,十进制转换为十六进制：85.58 十六进制转换为十进制：7C.C7 八进制转换为十六进制：56.65 十六进制转换为八进制：5B.B5,数的定点与浮点表示,一个十进制数123.456可以表示为 123.456 = 0.123456 * 103 数0.000456可以表示为： 0.000456 = 0.456 * 10-3 类似地，对于二进制数10011.101也可以这样表示为： 10011.101 = 210

11、1 * 0.10011101,数的定点与浮点表示,一般地，任意一个二进制数N可表示为： N=2j * S 其中j是二进制整数位数；S是二进制小数，j称为数N的阶码，S为数N的尾数。尾数S表示数N的全部有效数字，阶码j指明了小数点的位置。,数的定点与浮点表示,一般地，任意一个二进制数N可表示为： N=2j * S 对任何一个数，若阶码j是固定不变的，则把这种表示法称为定点表示，这样的数称为定点数。反之，如果j可以取不同值，则把这种表示称为数的浮点表示，这样的数称为浮点数。,数的定点与浮点表示,一般地，任意一个二进制数N可表示为： N=2j * S 如果对任何数j=0，则该定点数只能表示小数。这种

12、表示法是一种常用的方法，以后我们讨论问题时，除非特别说明，否则都采用这种表示方法。,数的定点与浮点表示,如果计算机中的数采用定点表示，则计算机中数的小数点是固定的，这种计算机叫定点计算机；如果计算机中的数采用浮点表示，这时机器中数的小数是可以变化的，这种计算机叫浮点计算机。,数的机内表示 定点小数,定点小数：,数符：0正， 1负,例：+0.001101,-0.1010,若机器字长为n，则定点小数的数值表示范围为： 2-(n-1)=|x|=1-2-(n-1),小数点,有关机器码及其运算的介绍均以定点小数为例,数的机内表示 定点整数,无符号整数：,字长为n时，无符号整数的表达范围为 02n-1,有

13、符号整数：,字长为n时，有符号整数的表达范围为 |x|=2n1-1,数的机内表示 浮点数,浮点数：,将数x表示为 s2j的形式，其中s为x的小数形式（尾数）,-110.11= -0.11011211,设阶码共m位，尾数共n-1位，则浮点数的表示范围为： 2-(2m-1)2-1=|x|=2(2m-1)1-2-(n-1),符号的表示方法,在计算机中，二进制数码1和0是用电子元件的两种不同状态来表示的，对于一个数的符号，也用电子元件的两种不同状态来表示。一般约定正数的符号用0表示，负数和符号用1表示。 在作乘法或除法时，把数的符号位按位相加后就得到结果的符号位，其规则为： 正数乘正数，符号按位相加得

14、：0+0=0 正数乘负数，符号按位相加得：0+1=1 负数乘负数，符号按位相加得：1+1=0,逻辑代数,在数字电路中，我们要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。,在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义，这里的0和1只表示两个对立的逻辑状态，如电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。,1 “与”逻辑,A、B条件都具备时，事件Y才发生。,三种基本运算,-与、或、非,灭,灭,灭,亮,逻辑代数的基本运算,逻辑代数的描述方法,真值表,用0表示开关断开、1表示开关闭合 用0表示灯灭、1

15、表示灯亮,逻辑代数的描述方法,逻辑式,真值表,Y=AB或AB,0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1,有0出0，全1出1。,“或”逻辑,A、B只有一个条件具备时，事件Y才发生。,灭,亮,亮,亮,逻辑代数的描述方法,逻辑式,真值表,Y=A + B,0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1,有1出1，全0出0。,“非”逻辑,逻辑式,真值表,有1出0，全0出1。,A条件具备时 ，事件 Y不发生；A不具备时，事件Y才发生。,机器码原码,数学定义： x原=,x 1x=0,1-x 或 1+|x| 0 x-1,物理意义：将x表示为定点小数,例：x

16、=+0011011 x原00011011 x= -1000110 x原11000110,机器码原码,原码表示法简单易懂，与真值的转换方便。 运算：当两个数作加法运算时，如果两数码符号相同，则数值相加，符号不变；如果两数符号不同，数值部分实际上是进行相减。这时，必须比较两个数哪个绝对值大，才能决定谁减谁。这件事在手算时容易解决，但计算机中执行却比较麻烦，增加了计算复杂性，效率会降低。,机器码反码,所谓反码，就是把二进制数的各位数码，0变为1，1变为0。,数学定义： x反=,x 1x=0,2-2-n+x 0=x-1,物理意义：正数反码等于原码，负数反码等于原码各数码位取反,例：x=+0011011

17、 x原00011011 x反00011011 x= -1000110 x原11000110 x反10111001,机器码补码,3,9,取模运算：整除模数后取余数,例：45 mod 12 =9 3 mod 12=3 5 mod 3=2,模：一个计算系统的最大容量,定点小数机器码以2为模,-3 9 (mod 12),机器码补码,数学定义： x补=,x 1x=0,2+x 或 2-|x| 或 x反+2-n 0 x-1,物理意义：正数补码等于原码，负数补码等于反码最低位加1,例：x=+0011011 x原00011011 x反00011011 x补00011011 x= -1000110 x原11000

18、110 x反10111001 x补10111010,示例,已知X=0.125，求它的原码、反码和补码 X原 = 0.001X反 = 0.001X补 = 0.001 已知X=-0.25，求它的原码、反码和补码 X原 = 1.010X反 =2-2-n+X=1.101 X补 = 2-|X| =1.110X补 = X反+2-n,示例,已知X补 = 1.1011，求它的反码和原码 解：因为X补 = X反 + 2-n 所以X反 = X补 2-n = 1.1011 2-n = 1.1010 故X原 = 1.0101,定点数加（减）法,当数值用补码形式表示时，可用加法完成减法运算。这样，在计算机的计算器中只要有一个加法器，而不必为了实现减法或负数而再配一个减法器。 补码加法公式为： X补+ Y补= X + Y补(mod 2) 以上形式的正确性可以得到证明，其条件为|X|1, |Y|1, |X+Y|