四年级奥数第一讲 数的整除问题

1、第一讲 数的整除问题一、 基本概念和知识：1、 整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且ab=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。用符号“b| a”表示。 2、 因数和倍数：如果a能被b整除，即ab=c由ab=c得：a=bc，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是，最大因数是它本身。练习：写出下面每个数的所有的因数：1的因数：_； 7的因数：_；2的因数：_； 8的因数：_；3的因数：_； 9的因数：_；4的因数：_； 10的因数：_；5的因数：_； 11的因数：_；6的因数：_； 12的因数：_；公因数（公约数）：

2、几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。如：3和4的公因数是：_，6和8的公因数是：_，3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。（）质数：一个数，如果只有和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。（） 合数：一个数，除了和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。（）0和既不是质数，也不是合数。、请写出20以内的所有质数：_注意：最小的质数是_，质数里面除了_是偶数外，其它都是_数。4、互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。 这里所说的“两个数”是指除

3、0外的所有自然数。 “公因数只有 1”，不能误说成“没有公因数。” 例如，2与7、13与19、3与10、5与 26等等4、质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,它们叫做这个合数的质因数练习：134=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数练习-把下列各数分解质因数（1）21 （2）42 （3）36当数字比较大的时候，我们用短除法可以快速的分解质因数例题-用短除法把下列各数分解质因数（1）180 （2）630练习1、把下列各数分解质因数（1）960 （2）25202、（第九届

4、小学希望杯全国数学邀请赛）在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是 3、（2012年第十届希望杯试题）只能被1和他本身整除的自然数叫做质数, 如：2,3,5,7等，那么，比40大并且比50小的质数是 ，小于100的最大的质数是 。4、（第七届希望杯试题）若用g（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作g（6）=4，则g(36)+g(42)= .5、(2016年第十四届希望杯)已知a,b,c都是质数，若ab+bc=119，则a+b+c=.二、数的整除性：1、能被2整除的数的特征：个位数一定是0，2，4，6或8。偶数：能被2整除的整数称为偶数，如：0，2，4

5、，6，8，10，12，14，奇数：不能被2整除的整数称为奇数。如：1，3，5，7，9，11，13，15，偶数和奇数有如下运算性质：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数，偶数奇数=奇数，偶数偶数=偶数，偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数。提醒：（1）如果两个整数的和（或者差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；（2）如果两个整数的和（或者差）是奇数数，那么这两个整数的奇偶性相反；2、能被5整除的数的特征是：个位是0或5 3、能被3整除的数的特征是：各个数位数字之和能被3整除如：27, 215等等4、能被9整除的数的特征是：各个数位数字之和能被9整除如：81, 216等等5、能被4或25整除的数的特征是：末

6、两位数能被4或25整除如：264能被4整除，150能被25整除6、能被8或125整除的数的特征是：末三位数能被8或125整除。如：2168能被8整除，不能被125整除7、能被7（11或13 ）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差，（大减小）能被7（11或13 ）整除例如：判断1540是否是7的倍数？解：把1540分成1和540两个数，因为540-1=539，由539能被7整除，所以1540能被7整除，因此1540是7的倍数例题1、已知六位数能被3整除，数字a=？解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8。即符合题意的a是2，

7、5或8。例题2、五位数48a1b能同时被2,3,5整除，则a=_，b=_。例题3、（2012年第十届希望杯决赛）如果六个连续奇数的乘积是135135，则这六个数的和是 。练习：1、（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛）若9位数20082008能够被3整除，则里的数是 2、（第十一届中环杯初赛）已知a24b8是一个五位数，且是8的倍数，则a24b8 最大是_，最小是_3、四位数8a1b能同时被2,3,5整除，则这个四位数是_.4、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）在2013的质因数中，最大的质因数与最小的质因数的乘积是（ ）。5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）喜羊羊打

8、开一本书，发现左右两页的页码数的乘积是420，则这两页的页码数的和是（ ）。6、（2014年第十二届希望杯初赛试题）自然数是3的倍数，是4的倍数，是5的倍数，则最小是 57 。分析：从题目中可以看出，这个数是3的倍数，也是4的倍数余1，也是5的倍数余2.可以用枚举法，先从5的倍数余2考虑，末尾应该是2或者7.末尾是2，不符合4的倍数余1，所以末尾肯定是7.从小到大枚举：7,17,27,37,47,57.只有57符合。三、整除的性质：1、如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除.例如：9能被3整除，81也能被3整除，那么81+9=90,81-9=72都能被3整除。2、（*）如果a能被

9、b整除，a也能被c整除，并且b、c互质（除1以外，没有其它公共因数），那么，a就能被b和c的乘积整除。例如：24能被3整除，24也能被4整除，由于3和4互质，所以24也能被34=12整除。例题4、在32的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省小学生数学竞赛初赛试题）解：因为15=35，且3和5互质。所以，只需分别考察能被3和5整除的情形。由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5或0。再据能被3整除的数的特征试算，若个位上是5，则有325=10。可推知，百位上最大可填入8。即组成的四位数是3825；若个位上是0，则有320=5。可推知

10、，百位上最大可填入7。即组成的四位数是3720。故知，这个数是3825。例题5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）一个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，则这样的数中最小的是（ ）。例题6、(2012年第十届希望杯试题)有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个。已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，则这筐桃子共有 个。练习：1、(2016年第十四届希望杯)若六位数能被12整除，则这样的六位数有个。2、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛决赛试题）如果一个小于100的自然数除以3，除以4，除以5都余2，那么这个数最小是_，最大是

11、_巩固练习：1、36的因数有（ 1,2,3,4，6,9,12,18,36 ），它的质因数有（ 2,3 ）。2、有三个小朋友，他们的年龄正好是三个连续的自然数，且他们年龄的积是210，这三个小朋友的年龄分别是（5 ）岁、（ 6 ）岁、（7 ）岁。解：用短除法分解质因数：210=2357=5673、 有一个长方形，长和宽都是整厘米数，面积是231平方厘米。这个长方形的长和宽分别是（ ）、（ ）解：用短除法分解质因数：231=3711则此长方形的长和宽有以下几种情况: 1、长37=21cm，宽11cm； 2、长311=33cm，宽7cm； 3、长711=77cm，宽3cm。4、 若9位数201620

12、16能够被9整除，则里的数是 9 解：个位数字之和是9的倍数，可以得出，方框内应填“9”5、某个自然数，被3除余2，被5除余4，被7除余6，这个自然数最小是_。6、已知五位数a329b能同时被8和9整除，则a=_5_，b=_6_ _。分析：根据能被8整除的数的特征，后三位应该能被8整除，29b 除以8，列竖式，可以推算出b=6。然后根据能被9整除的数的特征，各位数字之和能被9整除，所以a=5.7五位数能被12整除，这个五位数是_。8、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。账本是这样写的：72个微波炉，共用去679元（为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。应是_元。（注：微波炉单价为整数元）。解：72只桶共用去a67.9b元，把它改写成a679b分后，应能被72整除。72=89，8和9互质，若8能整除它，9能整除它，72就一定能整除它。由能被8整除的数的特征（末三位数能被8整除）知，79b能被8整除，则b2；由能被9整除的数的特征知，a6792a24能被9整除，则a=3。故这笔账应是36792元。9、 要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问a，b，c各代表什么数字？分析与解：因为3649，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数能被4整除，就要