线性代数2-1.ppt

1、线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第二章 矩阵,矩阵的定义和运算,矩阵的初等变换,矩阵的秩,主要内容：,3,第一节 矩阵概念及其运算,矩阵的定义,矩阵的运算,一. 矩阵的定义,定义1：,，n）,排成一个矩形的表格，用方括号（或圆括号）,围起来，,记为,，简记为,1.,矩阵的定义,有关矩阵的元素，行、列，对角线等名与行列式的相,应名称相同。,主对角线,副对角线,元素,第2行,第2列,但应注意，矩阵是数的表格，行列式是数，两者应严,严加区别。,例如,D是行列式，本质,上是一个数：,A是矩阵，本质上是由数形,成的表格。,行列式与矩阵所使用的符号不同也是它们的区别之一。,元素为实数的矩

2、阵称为实矩阵，元素为复数的矩,阵称为复矩阵。若无特别声明，本书中的矩阵都指实,矩阵。,一阶矩阵,看做数,，除此之外，矩阵是表格，不是数。,例如：,行数和列数相同，都是4，称为4阶方阵,2行3列的矩阵,1阶方阵看做数,2. 一些常用的矩阵,例如：,的0矩阵,3阶0矩阵,今后遇到0，是代表数零还是零矩阵，根据上下文可以,分辩清楚。,主对角线上元素全是1，其余元素全是0的n阶方阵,例如,是3阶单位阵。,例如,1行n列,1行4列,为避免混淆，元素之间用逗号隔开。,例如,n行1列,4行1列,，当所,有对应元素都相等时，称A与B相等，记为A=B。即,i=1，2，m，j=1，2，n。,列数。,注：两个矩阵相

3、等的前提是，它们有相同的行数和,二. 矩阵的运算,2.,矩阵的加法和数乘,定义2：,k为数，则,对应元素相加,所有元素都乘以k,矩阵的加法和数乘运算统称为矩阵的线性运算。,矩阵的加法和数乘运算具有如下性质：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,数乘矩阵满足交换律,用数乘以矩阵和乘以行列式是不同的，例如：,同样，提取公因式也是不同的，例如,3.,矩阵乘法,定义3：,其中,i=1，2，m，j=1，2，n。,乘积AB的定义要注意以下三点：,第一、,A的列数必须等于B的行数，乘积AB才有,意义。,第二、,乘积AB的行数等于A的行数，列数等于B,的列数。,第三、,的第j列对应元素相乘之和。,例如，设

4、,则乘积：,一般，,例1、,设,（1）,，,，则,，一般，矩阵乘法不满足交换律。,无意义。（第一因子列数不等于第二因子的行数 ）,即,用类似于数1在数的乘法中的作用。,，说明单位矩阵E在矩阵乘法中的作,（2）,，则,三阶矩阵,一阶矩阵（数）,（3）,法不同：,由例1可以看出，矩阵乘法有以下三点与数的乘,(ii)由AB=0，不能推出A=0或B=0。,律不成立。,如任何n阶矩阵与n阶单位阵，总有AE=EA=A。,若对某,两个矩阵A，B，有AB=BA，则称与可交换。因此，任,何n阶矩阵与n阶单位矩阵总是可交换的。,矩阵乘法有以下与数的运算相同的性质（设A，B，,C为矩阵，k为数，运算有意义）：,（1

5、）,（结合律）,（2）,（分配律，要注意因子,的顺序）,（3）,这些性质都容易证明，此处从略。,矩阵的幂：,设A为n阶方阵，定义,n个A相乘,矩阵的幂有以下性质：,（4）,，m，n为正整数。,以下性质是需要附加条件的：,（5）,当且仅当AB=BA时，下面三个等式成立：,的分解因式公式，也要在A，B可交换（AB=BA）,时才成立。,定义4、,将矩阵A的各行换作相同序数的列，所得,的矩阵记作,，称为A的转置矩阵。,将矩阵A转置。,的元素,转置矩阵有以下性质（设A，B为矩阵，k为数，,运算可行）：,（1）,（2）,（3）,（4）,例如,（1）,（2）,（3）,（4）,例2、（填空）已知,，,，设,。

6、,解：,定义5、,对于n阶矩阵A，若有,对称矩阵。,，则称A为,即在对称矩阵中，每一对关于主对角线相对称的元素,都相等。,例如，下列A，B，0三个矩阵都是对称矩阵：,对称矩阵有以下性质：,（1）,对称矩阵(为数)。但AB不一定为对称矩阵，,例如：,A，B都是对称矩阵，但AB不是对称矩阵。,（2）,若A，B都是n阶对称矩阵，则AB仍为对称矩,阵的充分必要条件是A与B可交换，即AB=BA。,证明：,因为,所以,证毕。,5.,共轭矩阵,定义6.,，称,为A的共轭矩阵，,例如：,的共轭矩阵为,容易验证共轭矩阵有以下性质（设A，B为复矩,阵，k为复数，运算可行。）,6.,n阶矩阵的行列式,定义7.,设A

7、为n阶矩阵，保持A的元素位置不动，,det(A)或,由A的元素所构成的n阶行列式称为A的行列式，记作,。即,的行列式为,别。,性质的对象，也有着许多不同的运算性质，应严加区,例如,n阶矩阵的行列式有以下性质（设A，B为n阶矩阵，,k为数）,（1）,（2）,（3）,留到本章3中再证明。（证毕）,证明：,（1）就是行列式性质。（2）共有k行，每行,都有公因子k，由行列式性质3就得到（2）。性质（3）,例如，,思考,7.,n阶矩阵的伴随矩阵,定义8.,设有n阶矩阵,置，所得矩阵称为A的伴随矩阵，,例如，,设,，则A的伴随矩阵为,伴随矩阵有以下基本性质：,例如，上例中，,，且,定义9.,设A为n阶矩阵

8、，若存在n阶矩阵B，使得,其中E为n阶单位矩阵。,则称为A可逆矩阵，称B为A的,逆矩阵，,记做,定理、,n阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是A,的行列式,当A可逆时，A的逆矩阵为,推论、,若AB=E（或BA=E），则A可逆，且,逆矩阵有以下性质：,（1）,（2）,（3）,（4）,若A可逆，数k不等于0，则kA可逆，且,（5）,若A，B同阶可逆，则AB可逆，且,若A可逆，则定义,则幂的性质,对一切正整数n，m都成立。,可逆矩阵又称为非奇异矩阵，不可逆矩阵称为奇,异矩阵。,例3.,判断下列矩阵可逆，并求其逆矩阵。,（1）,（2）,矩阵是方便的。但对三阶矩阵就较麻烦了，因为求伴,随矩阵时要计算9个二

9、阶行列式。若是四阶矩阵，则要,将在本章3介绍用初等变换求逆矩阵的方法。,计算16个三阶矩阵，更是大工作量。对于高阶矩阵，,例4.,设,求二阶矩阵X，Y，使满足AX=B，YA=B。,矩阵方程AX=B，YA=B。）,（也就是解,由计算结果可见,意是在左边乘还是在右边乘。,。这是由于A与B不可交换,的缘故。因此，在等式两边乘一个矩阵时，特别要注,例5.,设,，其中E是4阶单位矩,阵，,是4阶矩阵A的转置矩阵。,又已知,求矩阵A。,例6.,设A为三阶矩阵，,试计算行列式,例7.,设矩阵A满足,矩阵。试证A - E可逆，并求其逆。,，其中E为单位,本 节 完,证明：,以第二个等式为例。根据乘法的分配律，

10、有,当且仅当AB=BA时，有,证明：,（1）（2）（3）明显，只证明（4）。,证等式的两边第i行j列元素相等即可。设,只要,行i列元素,另一方面，,是,矩阵，,是,矩阵，故,，其中i行j列元,素为,=B中第i列与A中j行对应元素乘积之和,故有,解：,证明：,可得,根据矩阵乘法以及行列式的展开式及其推论,证明：,必要性：,设A为可逆矩阵，则有AB=BA=E，,由矩阵行列式的性质有,故,必要性：,设,，取,，则,根据定义，A可逆，且,证明：,若AB=E，两边取行列式，得,因此,，根据定理，A可逆。,在AB=E的两边左乘,，得,证明：,（1）,由定义及定理的证明中可知成立。,（2）,由（1）有,（3）,，根据推论，,可逆，且,（4）,，根据推论，kA可,逆，且,（5）,根据推论，A