运输单纯形法(学院轮讲)

1、2020/7/7,设平衡运输问题的数学模型为：,2020/7/7,运输单纯形法也称为表上作业法，是直接在运价表上求最优解的一种方法，它的步骤是：,第一步：求初始基行可行解（初始调运方案），常用的方法有最小元素法、元素差额法（Vogel近似法）、左上角法。,第二步：求检验数并判断是否得到最优解，常用求检验的方法有闭回路法和位势法，当非基变量的检验数ij全都非负时得到最优解，若存在检验数lk0，说明还没有达到最优，转第三步。,第三步：调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运量进行调整得到新的基可行解，转入第二步。,2020/7/7,3.2.1初始基可行解,1.最小元素法 最小元素法的思想是就近优先

2、运送，即最小运价Cij对应的变量xij优先赋值 然后再在剩下的运价中取最小运价对应的变量赋值并满足约束，依次下去，直到最后一个初始基可行解。,2020/7/7,【例3.3】求表36所示的运输问题的初始基可行解。,表36,2020/7/7,【解】,30,15,10,25,20,2020/7/7,【例3.4】求表37给出的运输问题的初始基本可行解。,表37,2020/7/7,【解】,3,6,0,4,1,6,在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如选x12,表38,2020/7/7,初始基本可行解可用下列矩阵表示,2020/7/7,1.最小元素法的优势与劣势各是什么？,参考书：

3、 熊伟，运筹学，机械工业出版社,2.用最小元素法求出的调运方案是 否接近最优？,思考题：,2020/7/7,2元素差额法（Vogel近似法）最小元素法只考虑了局部运输费用最小，对整个产销系统的总运输费用来说可能离最优值较远。有时为了节省某一处的运费，而在其它处可能运费很大。元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案，,15 15 15 15,前一种按最小元素法求得，总运费是Z1=108+52+151=105，后一种方案考虑到C11与C21之间的差额是82=6，如果不先调运x21，到后

4、来就有可能x110，这样会使总运费增加较大，从而先调运x21，再是x22，其次是x12这时总运费Z2=105+152+51=85Z1。 基于以上想法，元素差额法求初始基本可行解的步骤是：,2020/7/7,基于以上想法，元素差额法求初始基本可行解的步骤是：,第一步：求出每行次小运价与最小运价之差，记为ui，i=1,2,m；同时求出每列次小运价与最小运价之差，记为vj，j=1，2，n；,第二步：找出所有行、列差额的最大值，即L=maxui，vi，差额L对应行或列的最小运价处优先调运；,第三步：这时必有一列或一行调运完毕，在剩下的运价中再求最大差额，进行第二次调运，依次进行下去，直到最后全部调运完

5、毕，就得到一个初始调运方案。,用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所以也称为近似方案。,2020/7/7,【例5】用元素差额法求表39运输问题的初始基本可行解。,表39,2020/7/7,【解】 求行差额 ui, i=1,2,3及列差额vj,j=1,2,3,4.计算公式为 ui= i行次小运价i行最小运价 vj= j列次小运价j例最小运价,5,2020/7/7,5,4,1,4,3,3,2,20,0,2020/7/7,5,20,0,2,4,4,2,20,10,5,2020/7/7,基本可行解为,总运费Z=108+201+52+208=270。,求运输问题的初始方案还有很多方法，如左上角法、

6、右上角法等。常用的方法是Vogel近似法、最小元素法。,2020/7/7,3.2.2求检验数 求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检验数来判断，记xij的检验数为ij由第一章知，求最小值的运输问题的最优判别准则是：,所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优（即为最优解）。,求检验数的方法有两种，闭回路法和位势法。,1闭回路法求检验数 求某一非基变量的检验数的方法是：在基本可行解矩阵中，以该非基变量为起点，以基变量为其它顶点，找一条闭回路，由起点开始，分别在顶点上交替标上代数符号+、-、+、-、，以这些符号分别乘以相应的运价，其代数和就是这个非基变量的检验数。,2020/7/7,【解

7、】用最小元素法得到下列一组基本可行解,【例7】求下列运输问题的一个初始基本可行解及其检验数。矩阵中的元素为运价Cij ，矩阵右边的元素为产量ai ，下方的元素为销量bj 。,10 60 40 30,2020/7/7,矩阵中打“”的位置是非基变量，其余是基变量，这里只求非基变量的检验数。,求11，先找出x11的闭回路 ，对应的运价为 再用正负号分别交替乘以运价有 直接求代数和得,2020/7/7,同理可求出其它非基变量的检验数：,这里340，说明这组基本可行解不是最优解。,只要求得的基变量是正确的且数目为m+n1，则某个非基变量的闭回路存在且唯一，因而检验数唯一。,2020/7/7,2位势法求检

8、验 位势法求检验数是根据对偶理论推导出来的一种方法。,设平衡运输问题为,设前m个约束对应的对偶变量为ui,i=1,2,m，后n个约束对应的对偶变量为vj,j=1,2,n则运输问题的对偶问题是,2020/7/7,加入松驰变量ij将约束化为等式,ui+vj+ij=cij,记原问题基变量XB的下标集合为I，由第二章对偶性质知，原问题xij的检验数是对偶问题的松弛变量ij当（i，j） 时ij=0，因而有,解上面第一个方程，将ui、vj代入第二个方程求出ij。,2020/7/7,【例8】用位势法求例7给出的初始基本可行解的检验数。,【解】第一步求位势u1、u2、u3及v1、v2、v3、v4。,10 60

9、 40 30,令u1=0得到位势的解为,2020/7/7,再由公式 求出检验数，其中Cij是非基变量对应的运价。,计算结果与例7结果相同。,2020/7/7,3.2.3调整运量,前面讲过，当某个检验数小于零时，基可行解不是最优解，总运费还可以下降，这时需调整运输量，改进原运输方案，使总运输减少，改进运输方案的步骤是：,第一步：确定进基变量；,第二步：确定出基变量，在进基变量xik的闭回路中，标有负号的最小运量作为调整量，对应的基变量为出基变量，并打上“”以示作为非基变量。,第三步：调整运量。在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量，标有负号的变量减去调整量，其余变量不变，得到一组新的基可行

10、解，然后求所有非基变量的检验数重新检验。,2020/7/7,【例9】求下列运输问题的最优解。,45 65 50 30,【解】用最小元素法求得初始基本可行解如下：,30,45,35,40,25,15,2020/7/7,求非基变量的检验数,用闭回路法得：,2020/7/7,因为有4个检验数小于零，所以这组基本可行解不是最优解。对应的非基变量x11进基.,对应的非基变量x11进基.,x11的闭回路是 标负号的变量是x12、x33、x21，取运量最小值,x33最小，x33是出基量，调整量=15,2020/7/7,在x11的闭回路上x11、x32、x23分别加上15，x12、x33、x21分别减去15，并且在x33处打上记号“”作为基变量，其余变量不变，调整后得到一组新的基可行解：,2020/7/7,重新求所有非基变量的检验数得：,13=3，22=0，24=7，31=1，33=4，34=1,x34进基、 x14出基。调整运量得到下表：,2020/7/7,再求非基变量的检验数：,13=3，14=1，22=0，24=8，31=1，33=4,所有