概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案

1、1 概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案 1已知总体X),( 2 N，其中 2 已知，而未知，设 1 X， 2 X， 3 X是取 自总体X的样本试问下面哪些是统计量？ (1) 321 XXX；(2)3 1 X；(3) 22 2 X；(4) 2 1 X； (5),max 321 XXX；(6)2 21 XX；(7) 3 1 2 2 i i X ；(8) 2 X 解：(1)(3)(4)(5)(6)(7)是，(2)(8)不是 2求下列各组样本值的平均值和样本差 (1) 18，20，19，22，20，21，19，19，20，21； (2) 54，67，68，

2、78，70，66，67，70 解：(1)9 .19)21201919212022192018( 10 1 10 1 10 1 i i xx； 43. 1)( 9 1 10 1 22 i i xxs (2)5 .67)7067667078686754( 10 1 8 1 8 1 i i xx； 018.292)( 7 1 8 1 22 i i xxs 3(1) 设总体X) 1 , 0(N，则 2 X) 1 ( 2 (2) 设随机变量F),( 21 nnF，则 F 1 ),( 12 nnF (3) 设总体X),( 2 N，则X),( 2 n N ， 2 2 ) 1( S n ) 1( 2 n， n

3、S X / ) 1( nt (4) 设总体X)10( 2 ，Y)15( 2 ， 且X与Y相互独立， 则)(YXE25， )(YXD50 4设随机变量X与Y都服从标准正态分布，则(C) 2 AYX 服从正态分布B 22 YX 服从 2 分布 C 2 X与 2 Y均服从 2 分布D 2 2 Y X 服从F分布 5在总体X)3 . 6 ,52( 2 N中随机抽取一容量为 36 的样本，求样本平均值X落在 8 .50到8 .53之间的概率 解：因为X)3 . 6 ,52( 2 N，即52， 22 3 . 6，因为36n， 2 22 05. 1 36 3 . 6 n ， 所以X)05. 1 ,52( 2

4、 N由此可得 )8 .538 .50( XP) 05. 1 528 .50 () 05. 1 528 .53 ( 8302. 0)1429. 1()7143. 1 ( 6设总体X) 1 , 0(N， 1 X， 2 X， 10 X为总体的一个样本，求： (1)99.15( 10 1 2 i i XP； (2) 写出 1 X， 2 X， 10 X的联合概率密度函数； (3) 写出X的概率密度 解：(1) 由题可知 10 1 2 i i XX)10( 2 ，查 2 分布表有99.15)10( 2 10. 0 ， 可得10. 0，即 10. 0)99.15( 10 1 2 i i XP (2) 1 X

5、， 2 X， 10 X相互独立，则联合概率密度函数为 exp 32 1 2 1 exp 2 1 ),( 10 1 2 5 10 1 2 1021 i i i i xxxxxf (3)XY ) 1 . 0 , 0(N，所以有 2 2 5 1 . 02 )0( e 5 e 1 . 02 1 )( y y yf 3 7设总体X) 1 , 0(N， 1 X， 2 X， 5 X为总体的一个样本确定常数c，使 2 5 2 4 2 3 21 )( XXX XXc Y )3( t 解：因为 i X) 1 , 0(N，5 , 2 , 1i，所以 21 XX )2 , 0(N，)( 2 1 21 XX ) 1 ,

6、 0(N， 2 5 2 4 2 3 XXX)3( 2 ， 因为 2 5 2 4 2 3 21 2 5 2 4 2 3 21 2 6 3 2 XXX XX XXX XX )3( t， 所以有 2 3 c 8设 1 X， 2 X， 3 X， 4 X是来自正态总体)4 , 0(N的样本已知 2 43 2 21 )43()2(XXbXXaY 为服从自由度为 2 的 2 分布，求a，b的值 解：由题可知 i X)4 , 0(N，4 , 3 , 2 , 1i，故有 0)2( 21 XXE，20)2( 21 XXD， 所以 21 2XX )20, 0(N同理 43 43XX )100, 0(N而 20 )2

7、( 2 21 XX ) 1 ( 2 ， 100 )43( 2 21 XX ) 1 ( 2 ， 故有 100 )43( 20 )2( 2 43 2 21 XXXX )2( 2 ， 比较可知 20 1 a， 100 1 b 9设总体X)3 . 0 ,( 2 N， 1 X， 2 X， n X为总体的一个样本，X是样本均 值，问样本容量n至少应取多大，才能使95. 0) 1 . 0(XP 解：易知X) 3 . 0 ,( 2 n N，由题意有 4 95. 01) 3 (2) /3 . 0 1 . 0 /3 . 0 () 1 . 0( n nn X PXP ， 即应有975. 0) 3 ( n ，查正态分

8、布表知975. 0)96. 1 (， 所以取96. 1 3 n ，即5744.34n，取35n 10设总体X)16,(N， 1 X， 2 X， 10 X为总体的一个样本， 2 S为样本方 差，已知1 . 0)( 2 SP，求的值 解：由抽样分布定理知 2 2 ) 1( Sn ) 1( 2 n， 因为10n，故有 2 2 4 9S )9( 2 ，得 1 . 0) 16 9 16 9 ()( 2 2 S PSP， 查 2 分布表得684.14)9( 2 1 . 0 ，即684.14 16 9 ，解得105.26 11设( 1 X， 2 X， 1n X)为来自总体X),( 2 N的一个样本，记 n i in X n X 1 1 ， n i in XX n S 1 22 )( 1 1 ， 求证： n nn S XX n n T 1 1 ) 1( nt 证：由题可知 n X),( 2 n N ， nn XX 1 ) 1 1 ( , 0( 2 n N，标准化得 n XX nn 1 1 1 ) 1 , 0(N 又因为