大学物理——机械振动

1、广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。,弹簧振子,简谐振动微分方程,一、简谐振动的基本特征,6-1 简谐振动（simple harmonic motion),其通解为：,谐振动运动方程,运动学定义:,动力学定义:,1、简谐振动的定义,运动方程,振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初条件.,频率 单位时间内振动的次数.,角频率,周期T 物体完成一次全振动所需时间.,初相位,相位 t ,决定谐振动物体的运动状态,2、描述简谐振动的特征量,3.振动速度及加速度,简谐振动的加速度和位移成正比而反向.,4.振动初相及振幅由初

2、始条件决定,初始条件：当t = 0时, x = x0 ，v = v0,代入,得, = arctan,例6-1. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅A= 0.12 m，周期 T= 2 s， 当t = 0 时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06 m, 此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。,解,取平衡位置为坐标原点。,由题设T= 2 s，则,A= 0.12 m,由初条件 x0 = 0.06 m，v0 0,得,简谐振动的表达式为,设简谐振动的表达式为,例6-2. 如图所示，倔强系数为 8103Nm-1的轻质弹簧一端固定于A，另一端系一质量为M=4.99kg的木块静止于水平光滑桌面上。 质

3、量 m=0.01kg的子弹以水平速度v =103 ms-1 射入木块使其作简谐振动。若在木块经过平衡位置且向右运动时开始计时。取平衡位置为坐标原点、向右为x轴正方向，求其振动方程。,解：mv=(m+M)V,0.01103=(4.99+0.01)V,V=2m.s-1,A=0.05m,二、简谐振动的旋转矢量表示法,1.简谐振动与匀速圆周运动,匀速圆周运动在x轴上的投影 （或分运动）为简谐振动：,2.简谐振动的旋转矢量表示法,3.两同频率简谐振动的相位差（phase difference）,两个谐振动,相位差,两同频率的谐振动的相位 差等于它们的初相差。, =2 1, 0, x2超前x1, = 0,

4、 同相, = ，反相,4.谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系,例6-3. 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线 如图所示，求此简谐振动的表达式。,解,设简谐振动方程为,x0 = A/2，v0 0,由旋转矢量表示法,v0 0,旋转矢量以 匀角速由t = 0 到t = 1s 转过了4/3,t =1s,角频率的计算：t = 1s 时，对应图示的旋转矢量。,例6-4.已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。,解：方法1,用解析法求解,设振动方程为,故振动方程为,v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位,由图知,方法2：,用旋转矢量法辅助求解。,固有角频率,三、简谐振动实例

5、,1. 弹簧振子(blockspring system),平衡位置： 弹簧为原长时，振动物体所处的位置. x=0 , F=0,位移为x处:,由牛顿第二定律,角频率,完全由振动系统本身的性质决定。,固有周期,固有频率,2. 单摆(simple pendulum),当 5(= 0.0873rad)时，,摆球相对于平衡位置的角位移为 时， 切向合外力:,平衡位置 ：摆线与竖直方向夹角 = 0 .,由牛顿第二定律,得,或,谐振动微分方程,结论：单摆的小角度摆动是简谐振动。,3. 复摆(compound pendulum),绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。,令,小幅摆动时,角位移，回复力矩,M =mg

6、hsin,M =mgh,由刚体的转动定律,或,得,谐振动微分方程,线性谐振动,角谐振动,简谐振动的判断及振动方程的确定,归纳与总结,例：判断下列运动是否为简谐振动,1.乒乓球在地面上的上下跳动,2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动,O,切向运动,简谐振动,振动的角频率和周期分别为：,四、简谐振动的能量,谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep,某一时刻，谐振子速度为v，位移为x,谐振动的动能和势能是时间的周期性函数.,系统的机械能守恒,振动能量曲线,例:如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为l=9.8cm t=0时 x0= -9.8cm, v0=0 (1) 取开始振动时为计

7、时零点， 写出振动方程； (2) 若取x0=0，v00为计时零点， 写出振动方程,并计算振动频率。,解：, 确定平衡位置 mg=k l 取为原点 k=mg/ l 令向下有位移 x, 则 f=mg-k(l +x)=-kx 作谐振动 设振动方程为,初条件:,由x0=Acos0=-0.0980 cos00, 取0=,振动方程为：x=9.810-2cos( 10t+ ) m,x0=Acos0= -0.098m,v0=-Asin0 =0,t=0 时 x0= -0.098m，v0=0,(2)按题意,t=0 时 x0=0，v00,x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2,v0=-Asin0

8、 , sin 0 0, 取0=3/2, x=9.810-2cos(10t+3/2) m,对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变,固有频率,例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹簧、一半径为R、转动惯量为J的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.,解：取位移轴ox，m在平衡位置时，设弹簧伸长量为l，则,当m有位移x时,联立得,一、同方向、同频率谐振动的合成,合振动是简谐振动,其频率仍为。,合振动,6-2 简谐振动的合成,如 A1=A2 , 则 A=0，两个等幅反相的振动合 成的结果将使质点处于静止状态。,合振动的

9、振幅取得最大，两分振 动相互加强。,合振幅最小，两分振动相互减弱。,分析,二. 两个同方向频率相近简谐振动的合成 拍,如果我们先后听到频率很接近的声音，如552 和 564 Hz，我们很难区分它们频率的差异；如果这两 种声音同时到达我们的耳朵，我们听到声音频率为 558Hz=(552+564)/2,其强度以12Hz (=564 552) 的频 率变化。这种现象称为拍，12Hz 为拍频。,分振动,合振动,1. 拍及拍频,令,则,拍 =2 = 2 1 , 拍= 2 1,拍:,拍频: 单位时间内振动加强或减弱的次数.,合振动忽强忽弱的现象.,拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用标准音叉来校准钢

10、琴的频率：因为音调有微小差别就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就被校准了。,2. 拍的应用,三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成,合振动,分振动,合振动质点的轨迹方程,合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线,质点离开平衡位置的位移,讨论,合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线,质点离开平衡位置的位移,合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆.质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。,合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆.质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。,四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成,轨迹称为李萨如图形,对于两个频率不相同的谐振动，其相位差,不断地随时间变化，因

11、而合振动不一定有稳定的轨迹。,只有在两振动的频率成简单的整数比时， 才有稳定的轨迹。,若已知一个分振动的周期，可根据合振动的李萨如图形 求出另一个分振动的周期，这种方法常用来测定频率。,* 五、简谐振动的分解 频谱,振动的分解：把一个复杂振动分解为若干个简谐振动。,若周期振动的频率为:0,则各分振动的频率为:0、20、30,(基频 , 二次谐频 , 三次谐频 , ),按傅里叶级数展开,任何一个复杂的周期性振动，都可看作是若干个简谐振动的合成。,方波的分解,方波可按傅里叶级数展开为：,例如：,0,例如：锯齿波可按傅里叶级数展开为：,一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动。,一、

12、阻尼振动（damped vibration)：,阻尼振动,1.阻尼振动 能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。,摩擦阻尼： 系统克服阻力作功，系统的动能转化为热能。,辐射阻尼： 振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。,6-3 阻尼振动 受迫振动和共振,简谐振动是物体在回复力作用下的一种无阻尼自由振动。,当振动系统受到阻力作用时，在回复力和阻力作用下 振动，称为阻尼振动。,弹簧振子动力学方程,系统固有角频率,阻尼因子,物体以不大的速率在粘性介质中运动时,介质对物体的阻力与速度的一次方成正比,阻力系数,2 .阻尼振动的振动方程 （以摩擦阻尼为例）,(1)弱阻尼振动:,阻尼对振动的影

13、响：1. A 减小 2. T 增大,非简谐振动,3.弱阻尼振动、过阻尼振动、临界阻尼振动,(2) 临界阻尼振动,系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来.,(3)过阻尼振动,系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置.,二、 受迫振动,受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。,弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程,周期性外力策动力,令,稳定解,稳定解,(1)频率: 等于策动力的频率 ,(3)初相:,特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化,(2)振幅:,受迫振动振幅的大小，与系统的初始条件无关，而决定于振动系统的性质(固有角频率、质量)、阻尼的大小和策动力的特征。,三、共振,在一定条件下, 振幅出现极大值, 振动剧烈的现象。,1). 位移共振,(1)共振频率 :,(2)共振振幅:,2)速度共振:,一定条件下, 速度幅vm=A极大的现象。,速度共振时，系统的动能也达到最大，此时系统从外界吸收能量最多。,共振的利与弊,钢琴、小提琴等乐器的木制琴身，利用共振现象使 其成为了一共鸣盒，以提