线性代数(同济六版) 共五章 全.ppt

1、线性代数 同济六版 2007。09。05,一元一次方程 ax = b,一元二次方程,二元 、三元线性方程组,行列式 矩阵及其运算 矩阵的初等变换与线性方程组 向量组的线性相关性 矩阵的特征值和特征向量,一元一次方程 ax = b,当 a0 时，,二元 （三元）线性方程组,例 解二元线性方程组,得,于是,类似地，可得,于是,第一章 行列式,1 二阶与三阶行列式,线性方程组,消去 x2 ,的两边后,两式相加得,消元法,记,称它为二阶行列式，,于是，线性方组（1）的解可以写为,定义为,类似地，可得,类似的，我们还可以定义三阶行列式为,n 阶排列共有 n!个.,排列的逆序数,2 全排列及其逆序数,把

2、1, 2, , n 排成一列，称为一个 n 阶全排列.,奇排列 逆序数为奇数的排列.,在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有,例 1 排列 1 2 n 称为自然排列，,所以是偶排列.,一个逆序.,偶排列,一个排列中所有逆序的总数.,逆序数为偶数的排列.,它的逆序数为0 ，,三 阶排列,共有321=3!个.,例 2 排列 3 2 5 1 4 的逆序数为,t (),例 3 排列 n ( n 1 ) 3 2 1 的逆序数为,t ( n (n 1) 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2 + + ( n 1 ) =,排列 3 2 5 1 4 为奇排列., 5,三阶行列式定义为,3n 阶行

3、列式的定义,三阶行列式是,3 != 6 项,的代数和.,123,231,312,132,213,321,t(123)=0,t(231)=2,t(312)=2,t(132)=1,t(213)=1,t(321)=3,三阶行列式可以写成,定义 由 n2 个数组成的数表，,称为 n 阶行列式 ,项的代数和，,即,规定为所有形如,记成,例 1 下三角行列式,例2 下三角行列式,例 3 三阶行列式,例5 n 阶行列式,例4 四阶行列式,经对换 a 与 b ,得排列,所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性.,4 对换,对换,定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.,证 先证相邻对换的情形.,那

4、么,设排列,经对换 a 与 b排列，得排列,相邻对换,再证一般对换的情形.,设排列,事实上，排列（1）经过 2m + 1 次相邻对换变为排列（2）.,定理 2 n 阶行列式也可以定义为,根据相邻对换的情形及 2m + 1 是奇数，,性相反.,所以这两个排列的奇偶,53142,解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7,t(53412) = 0+1+1+3+3=8,53412,求这两个排列的逆序数.,经对换1与4 得排列,例 1 排列,1. 选择 i 与 k 使,（1）2 5 i 1 k 成偶排列;,（2）2 5 i 1 k 成奇排列.,若是，指出应冠以的符号,3.计算n 阶行列式,练习

5、,行列式中的项.,1.（1）i = 4, k = 3时，即排列 2 5 4 1 3 为偶排列；,（2）i = 3, k = 4时，即排列 2 5 3 1 4 为奇排列.,性质 1,性质 2,5 行列式的性质,推论 两行（列）相同的行列式值为零.,数 k ,推论 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号,性质4,性质 3,式等于零.,等于用数 k 乘此行列式 .,行列式与它的转置行列式相等.,互换行列式的两行（列），行列式变号.,行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个,行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列,外面.,若行列式 的某一列（行）的元素都是两个元素和 ，,例如,则此

6、行列式等于两个行列式之和 .,性质 5,把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另,一行（列）的对应元素上去，,行列式的值不变.,性质 6,设,行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.,记,那么,=,设行列式 D = det (aij ) 互换第 i , j ( i j ) 两行,得行列式,性质 2 的证明,其中，当 k i , j 时, bkp = akp ;当 k = i , j 时，bip = ajp, bjp = aip ,其中, 1i j n 是自然排列,所以,于是,= D,例 3,r2 - r1,例5,=,= 0,例6,例7,解 r2 - r1, r3 - 3r1 , r4

7、- r1,例 8 计算行列式,r22,r3 + r2 , r4 - 2r2,r4( -3 ) , r3r4,r4+3r3,例 9 计算行列式,解 从第 4 行开始，后行减前行得，,例 10 计算行列式,解 各行都加到第一行，,各行都减第一行的 x 倍,第一行提取公因子( a+3x ),6 行列式按行（列）展开,在 n 阶行列式 det ( aij ) 中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列,Aij = ( 1 ) i+j Mij,记成 Mij ,称为元素 aij 的余子式.,称它为元素 aij 的代数余子式.,划去, 剩下的( n 1 )2 个元素按原来的排法构成的 n 1 阶行列式

8、,记,例1 三阶行列式,中元素 a23 的余子式为,元素 a23 的代数余子式为,例2 四阶行列式,中元素 x 的代数余子式为,= 5,行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元,或,行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应,或,的代数余子式乘积之和，即,素的代数余子式乘积之和等于零. 即,定理 3,推论,引理 在行列式 D 中，如果它的第 i 行中除 aij 外其余元素,都为0, 即,D = aij Aij,那么,证明 先证 aij 位于第 1 行，第 1 列的情形，即,由行列式的定义，得,再证一般情形，设,用互换相邻两行和相邻两列，把 aij 调到左上角，得行列式,利用前面的结果，

9、得,于是,所以引理成立.,定理 3 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应,证 因为,或,的代数余子式乘积之和，即,椐引理，就得到,类似地可得,例 3 计算四阶行列式,解 按第 1 列展开，有,例 4 计算四阶行列式,解 按第 1 行展开，有,对等式右端的两个 3 阶行列式都按第 3 行展开，得,解 c3 - c1 c4 - 2c1,例 5 计算四阶行列式,第1 行提取 2，第 2 行提取 1,按第 2 行展开得,按第 1 行展开,r2 + r1,= 24,c2 - c1 ，c3 - c1,例 6 证明范德蒙（Vandermonde ） 行列式,证 用数学归纳法.,所以当 n=2 时（*

10、）式成立.,假设对于 n 1 阶范德蒙,ri x1ri -1 , i = n , n 1 , 2 ,有,因为,对 n 阶范德蒙行列式做运算,行列式等式成立.,按第 1 列展开后，各列提取公因子( xi - x1 ) 得,椐归纳法假设，可得,归纳法完成.,推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元,或,元素的代数余子式乘积之和等于零. 即,例7 计算 行列式,解,先以 3 阶行列式为例，例如为了证得,因为,所以,又,设行列式 D = det (aij ) ，,因为行列式 D1中第 i 行与第 j 行元素对应相同，,把行列式 D1 按第 j 行展开，有,类似地，也可以证明另一个式子.,所

11、以,推论的证明,取行列式, 7 Cramer 法则,设线性方程组,定理4 （Cramer 法则 ）若线性方程组（1）的系数行列式不,即,等于零，,其中,则方程组有唯一解,证 先证（2）是（1）的解，即要证明,为此看 n+1 阶行列式,第1行展开，注意到，其第一行中 aij 的代数余子式为,首先，因为第 1 行与第 i+1 行相同,所以它的值为零. 再把它按,故有,因而,即,是线性方程组（1）解.,3 个恒等式,A12 , A22 , An2 分别乘以上的 3 个等式得,相加,得,设 x1= c1 , x2= c2 , x3= c3 是线性方程组（1）的解,于是有,类似的可得,于是,也就是,由于

12、,例1 用 Cramer 法则解线性方程组,解 因为,所以,定理 5 如果齐次线性方程组,的系数行列式 D0 ，那么它只有零解.,下述齐次方程组有非零解？,解 根据定理 5 ，若此齐次线性方程组有非零解，则其系,所述方程组确有非零解.,行列式必为 0 .而,第二章 矩阵及其运算,1 矩阵,行矩阵（行向量)，,列矩阵（列向量)，,n 阶矩阵( n 阶方阵).,定义 1 由 mn 个数 aij (i = 1,2,m; j = 1,2,n ),实矩阵,称为mn 矩阵.,排成的 m 行n 列数表,记成,例1 （价格矩阵）四种商品在三家商店中，单位量的售价,这里的行表示商店，列表示商品,ai j 表示每

13、生产一万元第 j 类产品需要消耗的第,a23 = 0.20 就表示每生产一万元 第 3 类产品需要消耗掉0.20万元,例2 （投入产出矩阵）设某地区有3个经济部门，假定每个,（以某种货币单位计）可以用以下矩阵表示：,部门只生产一类产品，每个部门生产的产品与消耗的商品都用,货币来表示,i 类产品的价值,的第 2 类产品的价值,例（通路矩阵）甲省两个城市 s1 , s2 与乙省三个城市 t1 , t2 ,s1,s2,t1,t2,t3,4,1,3,2,2,每条线上的数字表示连接该两,s1 s2,t1 t2 t3,同型矩阵.,矩阵A与B相等,记成 A = B.,零矩阵,记成 0 .,城市的不同通路的总

14、数以由此得到,的通路信息，可用矩阵表示为：,t3 的交通连接情况如下图所示，,2 矩阵的运算,一 矩阵的加法,定义 2 设A =(aij ) , B =(bij ) 都是 mn 矩阵, 矩阵 A 与B 的和,例 1,记成 A + B, 规定为,矩阵的加法运算满足规律,2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( 结合律),3. A + 0 = A,4. 设A = ( aij ) ,记 A = ( aij ) ,规定 A B = A + ( B ),二 数与矩阵的乘法,定义 3,规定为,称 A 为 A 的负矩阵,1. A + B = B + A (交换律),易知,A +

15、( A ) = 0,例 2 若,那么,3A = A3,数乘矩阵的运算满足规律：,A, B为矩阵.,三 矩阵与矩阵的乘法,定义4 设 A = ( aij ) 是一个 ms 矩阵, B = ( bij ) 是一个 sn,A 与 B 的乘积记成 AB， 即 C = AB .,规定 A 与 B 的积为一个 mn 矩阵 C = ( cij ) ，,其中,A B = AB ms sn mn,矩阵,例 3,例 4,例 5,例 6,一般来说，AB BA ,若矩阵 A、B 满足 AB = 0,n 阶矩阵,称为单位矩阵.,如果 A 为 mn 矩阵，那么,即矩阵的乘法不满足交换律.,未必有 A = 0 或 B =

16、0 的结论.,n 阶矩阵,称为对角矩阵.,两个对角矩阵的和是对角矩阵，,两个对角矩阵的积也是对角矩阵.,矩阵的乘法满足下述运算规律,解1,解2,矩阵的幂 A 是一个n 阶矩阵, k 是一个正整数,规定,矩阵的幂满足规律,其中 k , l 为正整数.,对于两个 n 阶矩阵 A与 B，一般说,例 8,解一,解二,例 10 已知线性方程组,如果记,那么上述线性方程组可记成,于是,四 矩阵的转置,定义 5 将矩阵 A 的各行变成同序数的列得到的矩阵称为 A,矩阵的转置满足下述运算规律,记为 AT.,的转置矩阵,解一 因为,所以,解二,矩阵 A 称为对称矩阵，,容易知道, A = ( aij )nn是对

17、称矩阵的充要条件是,例 13如果 A 是一个 n 阶矩阵，那么，A+A是对称矩阵,i , j = 1,2 , ,n.,矩阵 A 称为反对称矩阵，,如果 AT = A .,如果 AT = A .,矩阵 A = ( aij )nn是反对称矩阵的充要条件是 aij = aji ,证 因为,A A是反对称矩阵,所以A+A是对称矩阵,aij = aji ,i , j = 1,2 , , n.,因为,所以A A是反对称矩阵,例 14 设 A 为 mn 矩阵,证 由矩阵的乘法可知 AA是 m 阶的.,所以 AA是对称矩阵.,1.证明 H 为对称矩阵.,1. 证 因为,所以H 为对称矩阵.,因为,2.计算 H

18、2 .,=E.,方阵的行列式运算满足下述规律 ，,例 16 设 A 是 n 阶矩阵，,称为矩阵A的伴随矩阵.,式 Aij 所构成的矩阵,五 方阵的行列式,定义6 由 n 阶矩阵 A 的元素（按原来的位置）构成的行列式，,称为方阵 A 的行列式,证明,由行列式 |A| 的各元素的代数余子,那么,于是,2. 设 A 为 3 阶矩阵,那么,于是,先就 3 阶矩阵给出证明.,证 设,于是有,因此,同理可证，,= 0,= 0,= 0,证 设 A = ( a i j )nn ,也就是,于是有,因此,同理可证，,3 逆矩阵,定义 7 设 A 是 n 阶矩阵，如果有 n 阶矩阵 B ，使,如果矩阵 A 是可逆

19、的，则 A 的逆矩阵是唯一的，记其为 A-1.,定理 1 若矩阵 A 是可逆的，,证 因为 A 可逆，,定理 2 若 |A|0，,则 A 可逆, 且,则称 A 是可逆矩阵，,且称 B 为 A 的逆矩阵.,AB = BA = E,即有 A-1 使 A A-1= E .,所以 |A|0 .,则 |A|0 .,证 由2的 例 16 可知,根据逆矩阵的定义，即有,所以有,因为 |A|0 ，,设 A 是 n 阶矩阵，如果|A|0 , 那么A称为非奇异矩阵.,A 是可逆矩阵的充分必要条件是|A|0 ,A 是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异的,例1 判断下列矩阵,是否为可逆矩阵？,推论 设 A, B 都为

20、 n 阶矩阵 ,于是,则 A 为可逆矩阵，,若 AB = E（或 B A = E），,所以 |A|0 ，,解 因为,所以A 为可逆矩阵，B是不可逆矩阵,证 因为|A|B|=|AB|=|E|=1,例2 因为,所以,方阵的逆矩阵满足下述运算规律：,因为,因为,3.设A ,B 为同阶可逆矩阵,则 AB 也可逆，且,3.设A ,B 为同阶可逆矩阵,例 3 求矩阵,的逆矩阵.,解 由,知 A 的逆矩阵 A-1 存在.,4.设A 为可逆矩阵,因为,再由,得,例 4 已知,求矩阵 X 满足 AX = C .,解 由例3 知 A-1存在，于是,得 X = A-1C ，即,4 矩阵的分块法,子块,用分块法计算矩

21、阵 A 与 B的乘积 , 左矩阵 A 的列的分法与右,解 把 A，B 分块成,其运算规则与普通矩阵的运算规则类似.,矩阵 B 的行的分法一致.,分块矩阵,分块法计算矩阵 的乘积,则,其中,而,所以,分块矩阵的转置,设分块矩阵,那么,分块矩阵,其中 Ai 都是方阵，,则A是可逆矩阵，并有,称为分块对角矩阵,解 用分块法.令,可得,例3 设B 为n 阶矩阵，若把按 B 列分块为,则,于是,若 A 也是 n 阶矩阵,便有,AB =,第三章 矩阵的初等变换与,用消元法解线性方程组，,1 矩阵的初等变换,1. 互换两个方程；,2. 以非零数乘某个方程；,3. 一个方程的倍数加到另一个方程.,例 1 解线

22、性方程组, ,对方程组用到三种变换：,线性方程组, 2,，+5, 2,定义 1 下述三种变换称为矩阵的初等行变换:,1.对调两行;,2.以非零数乘某行的所有元素;,3.把矩阵某行的所有元素的 k 倍加到另一行的对应元素上去.,初等列变换.,初等变换.,如果矩阵 A 经初等变换得到矩阵 B ,下述形状的矩阵叫做行阶梯形矩阵,任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵.,那么称矩阵 A 与 B 等价.,记为 AB .,B1 是矩阵 A 经初等行变换得到的阶梯形矩阵.,例 2 用初等行变换把矩阵,解,A,变成行阶梯形矩阵.,称 B2 为行最简形矩阵.,再作初等行变换 B1 又可以变为,任

23、何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行最简形矩阵.,对B2 再作初等列变换又可得,任何 mn 矩阵 A 都可经过初等变换化为形如,的矩阵,称矩阵F 为 A 的标准形.,例 3 用初等行变换将矩阵,变成行最简形矩阵.,解,A,2 矩阵的秩,定义 2 在 mn 矩阵 A 中任取 k 个行与 k 个列,定义 3 如果矩阵 A 中有一个 k 阶子式 D 0，,零矩阵的秩规定为 0 .,数 k 称,解 在 A 中有一个 2 阶子式,且 A 的所有的,所以 R(A) = 2.,3 阶子式都等于零，,称为矩阵 A 的一个,位于这,且所有的 k+1,则称 D 为 A 的一个最高阶非零子式.,阶子式都等于

24、0 ,为矩阵 A 的秩，矩阵 A 的秩记成 R(A).,些行与列交叉处的元素而得的 k 阶行列式,k 阶子式.,据定义3可知，,解 在 A 中有一个 3 阶子式,且 A 中所有的,4 阶子式都等零，,所以 R(A) = 3 .,行阶梯形矩阵的秩 = 其非零行的行数.,Dr 相应的一个 r 阶子式 Mr ,因而,若把矩阵 A 的第 i 行乘数 k0 得矩阵B，,且 Mr = Dr , 或 Mr = Dr ,那么 B 中存在一个,且 Mr= Dr 或 Mr= k Dr .,与Dr 相应的一个 r 阶子式 Mr ,设 R(A)= r ，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0 .,当 A 对调第 i 行

25、,第 j 行得矩阵 B 时.,在矩阵 B 中存在一个与,定理 1 若AB ，则 R(A)= R(B).,证明 先证明,如果矩阵 A 经一次初等行变换得矩阵B，,那么,R(A) R(B).,我们也可以证明，如果把矩阵 A 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行,得到矩阵 B ,那么矩阵 B 中必有一个 r 阶子式 Mr 0 .,因而,因而,这样，我们就证明了，,如果矩阵 A 经一次初等行变换得矩阵 B ,则有 R(B)= R(A).,由矩阵经一次初等行变换秩不变，,类似的可以证明，经有限次初等列变换,总之，若AB ，则 R(A)= R(B).,则 R(A) R(B)成立.,所以也应有 R(B) R

26、(A).,若矩阵 A 经一次初等行变换得矩B，,那么矩阵B 也可以,这样，我们就证明了，若矩阵 A 经一次初等行变换得矩阵 B ,变换矩阵的秩也不变.,经一次初等行变换得矩阵A ,即可知经有限次初等行,矩阵的秩也不变.,例3 求下列矩阵的秩,求矩阵 A 的秩,1. 根据矩阵秩的定义.,2. 根据定理 1.,用初等变换把矩阵 A 化成行阶梯形矩阵，,行阶梯形矩阵的秩 = 其非零行的行数（定义3）.,解 用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.,A,r1r2,r2 - 2r1,r2r3,r3 + 4r2,因此，R(A) = 3.,矩阵A 的秩 = 此行阶梯形矩阵的秩（据定理1 ）,例4 求下述矩阵的秩

27、,解 用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.,A,r1r3 r2 - 2r1 r3 - 2r1,因此，R(A) = 2.,线性方程组,称为 n 元齐次线性方程组.,A称为方程组的系数矩阵,于是，这个齐次方程组可以记为,3 线性方程组的解,记,定理 2 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要,证 必要性 设方程组 Ax = 0 有非零解.,假设 R(A) = n ，,根据 Cramer 法则，D 所对应的 n 个方程构成的齐次线性方程组,从而原方程组 Ax = 0也只有零解，,矛盾.,充分性 设 R(A) = r n ,那么 A1 只含 r 个非零行，,用反证法来证明,条件是系数矩

28、阵A 的秩 R(A) n .,R(A) n .,故 R(A) n .,对 A 施行初等行变换得到行阶梯形,矩阵 A1 .,那么在 A 中应有一个 n 阶子式 |D|0.,只有零解，,不妨设为,于是齐次线性方程组 Ax = 0 与,这个方程组有 n - r 0 个自由未知量,也有非零解.,同解.,把它改写成,因此有非零解.,故 Ax = 0,例 1 3 元齐次线性方程组,是否有非零解？,解 由,r2 - r1 r3 - 3r1 r4 - r1,r3 - r2 r4 - 2r2,因为R(A)=23,所以此齐次线性方程组有非,可知R(A)=2.,零解.,解 用初等行变换化系数矩阵,可知，,有非零解.

29、,R(A) = 2 3.,性方程组有非零解.,n 元非齐次线性方程组,A称为非齐次线性方程组的系数矩阵, B 称为增广矩阵.,记,于是，,Ax = b,这个非齐次方程组可以记为,其中,定理 3 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条,证明 必要性,则 B可化成 行阶梯形矩阵,件是 R(A) = R(B) ,假设R(A) R(B) ，,其中 B = ( A b ) 为非齐次线性方程组,用反证法,设非齐次线性方程组 Ax = b 有解，,要证R(A),= R(B) .,Ax = b 的增广矩阵.,于是得到与原方程组 Ax = b 同解的方程组：,因为它含有矛盾方程 0 = 1，所以

30、这个方程组无解，,这与原方程,充分性 设 R(A) = R(B) = r .,则 B1中含 r 个非零行 .,用初等行变换化增广矩阵 B 为,组有解矛盾.,故 R(A) = R(B) .,行阶梯形矩阵 B1 ，,不妨设B1 为,B1 对应的方程组为,这个方程组有解.,它与原方程组 Ax = b 同解，,所以非齐次线性,方程组 Ax = b 有解.,由上述证明还可以知道，,n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有唯一解的充分必要条件是,R(A) = R(B) = n .,例 3 判断下列非齐次线性方程组是否有解,解 用初等行变换化其增广矩阵,由此可知，R(A) = 3, R(B) = 4， 即

31、R(A) R(B) ，,因此方程组,例 4 a , b 取何值时，非齐次线性方程组,（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？,无解.,解 用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵，,（1）当 a 1 时，R(A) = R(B) = 4 ,（2）当 a = 1 ，b 0 时，R(A) = 2 , 而R (B) = 3,（3）当 a = 1 ，b = 0 时，R(A) = R(B) = 2,由此可知：,方程组有唯一解；,方程组无解；,方程组有无穷多个解.,4 初等矩阵,定义4 由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.,初等矩阵有三种：,E,E,E,例1 矩阵,且有,都是初等矩阵，,所

32、以,由于,也都是初等矩阵，,所以,初等矩阵是可逆矩阵，,且其逆矩阵是同类型的初等矩阵.,一般的有,= E.,因此，,由于,= E.,因此，,由于,= E.,因此，,由于,定理4 对矩阵 A 施行一次初等行（列）变换相当于以相应,证明 设 A 是 mn 矩阵,记,其中a1 , , ai , , aj , , am 分别是 A 的第 1, , i , , j , , m,行.用初等矩阵 E( i , j ) 左乘矩阵 A ,得,的初等矩阵左（右）乘 A.,同样可以得到，定理对其它两种初等行变换也成立.,类似的，可以得到初等列变换的情形.,例 2,例 3,定理5 设 A 为 n 阶矩阵, 则 A 是

33、可逆矩阵的充分必要条件是,证明 必要性 设 A 为可逆矩阵.,A = P1 Pi E Pi+1 Pk,即 A = P1P2 Pk .,充分性 因为初等矩阵是可逆矩阵，可逆矩阵的乘积也是可,推论 矩阵 A B ( A 与 B 等价）的充要条件是存在可逆矩,用初等变换求矩阵的逆矩阵,设 A 为可逆矩阵, 据定理5，有初等矩阵 P1 , P2 , , Pk , 使,存在有限个初等矩阵 P1 , P2 , , Pk ，使 A = P1P2 Pk .,也就是存在初等矩阵 P1, P2 , , Pk ,使,所以,当P1 , P2 , , Pk 为初等矩阵, A = P1P2 Pk 时 ，,因为 A E ,

34、所以 E 经有,限次初等变换可以化为 A，,逆矩阵.,A 是可逆矩阵.,矩阵 P 和 Q 使 PAQ = B .,还有,所以,由（1）和（2）式，根据定理4可知，可逆矩阵 A 经一些初等,E 经同样一些初等行变换可变为 A-1.,初等行变换,A = P1P2 Pk .,于是有,行变换可化为 E ,解,所以,所以,第四章 向量组的线性相关性,1 n 维向量,定义 1 由 n 个数 a1 , a2 , , an 组成的有序数组，,叫做 n 维向量,实向量,向量的加法，,列向量，,称 ai 为向量 a 的第 i 个分量.,行向量.,数乘.,记成,2 向量组的线性相关性,向量组,如果 A = ( ai

35、j )是 mn 矩阵，,称为 矩阵 A 的列向量组.,mn 矩阵 A = ( aij ) 又有 m 个 n 维行向量:,称为矩阵 A 的行向量组.,另一方面，由有限个向量所组成的向量组可以构成矩阵.,例如，由向量组（*）可以构成 mn 矩阵,那么 A 有 n 个 m 维列向量:,A = ( a1 , a2 , an ),定义 2 设向量组 A: a1 , a2 , am ,任取一组实数,称向量,是向量组 A 的一个线性组合.,给定向量组 A: a1 , a2 , am 和向量 b ,使,则称向量 b 能由向量组 A 线性表示.,因为b = 2a1 a2 ，,所以,若存在一组数,也就是说非齐次线

36、性方程组,无解.,就是说非齐次线性方程组,有解.,一般地， 向量 b 能由向量组 A: a1 , a2 , am 线性表示的,充分必要条件是非齐次线性方程组,有解.,据第 3 章定理 3，,所以有,定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充要条件是 R(A) =,R(B) , 其中矩阵 A = ( a1 , a2 , am ), B = ( a1 , a2 , am ,b ) .,解 因为,由此可知，R(A) = 3, R(B) = 4，,定义3 设有向量组 A: a1 , a2 , am 和向量组 B: b1 , b2 ,若向量组 A 与向量组,因此向量 b,即 R(A) R(B) ，

37、,那么称向量组 B 能由向量组 A 线性表示.,如果组 B 的每个向量都能由向量组 A 线性表示，,则称这两个向量组等价.,不能由向量组 A 线性表示., bs ，,B 能互相线性表示，,等价,定义4 设有向量组 A: a1 , a2 , am ,则称向量组 A 是线性相关的.,否则，称它是线性无关的.,才能使（）式成立，,也就是，,则称向量组 A 是线性无关的.,如果存在不全为零的数,因为有,向量组 A: a1 , a2 , am 线性相关的充分必要条件是齐次线,有非零解.,定理 2 向量组 a1 , a2 , , am 线性相关的充分必要条件是,矩阵 A 的秩 R (A) m . 其中矩阵

38、 A = ( a1 , a2 , am ).,所以向量组 E 线性无关.,因为只有当,性方程组,例 7 向量组,向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的.,因为矩阵 A = ( a1 , a2 , a3 ) 的行列式 |A| 0,例 8 讨论向量组,的线性相关性.,解 先求矩阵（a1 , a2 , a3 ) 的秩.,由,所以 R (A ) = 3 .,由定理 2知，,知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 3,所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.,解 由,的线性相关性.,例 10 已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，,证 设有一组数 x1 , x2 , x3

39、 使,x1(a1 + a2 ) + x2(a2 + a3 ) + x3 (a3 + a1 ) = 0 ,可知 R ( a1, a2, a3, a4 ) = 3,同时,由,可见 R ( a1, a2, a4 ) = 3,因此，向量组 a1 , a2 , a4 线性无关.,所以向量组 a1 , a2 , a3 , a4 线性相关.,a1 + a2 ， a2 + a3 ， a3 + a1,证明向量组,也线性无关.,因为向量组 a1 , a2 , a3 线性无关 ,( x1 +x3 ) a1 + ( x1+x2 ) a2+ ( x2+x3 ) a3 = 0,所以有,由于此齐次线性方程组的系数行列式,故

40、只有零解 x1 = 0， x2 = 0，x3 = 0，,所以向量组,a1 + a2 ，a2 + a3 ，a3 + a1,也就是,线性无关.,于是就有,即 a1 能由 a2 , am 线性表示.,如果向量组 A 中有一个向量能由其余向量线性表示 .,证明 如果向量组 A: a1 , a2 , am ( m2 ) 线性相关，,例 11 向量组 A: a1 , a2 , am ( m2 ) 线性相关的充分,设am 能由a1 , a2 , am 1 线性表示:,于是,所以向量组 A 线性相关.,则有不全为零的数,不妨,必要条件是向量组 A 中至少有一个向量能由其余向量线性表示.,定理 3 若向量组 A

41、: a1 , a2 , am 线性相关,组 B: a1 , a2 , , am , am+1 也线性相关., 若向量组 A:,线性无关，,也线性无关.,则向量组 B:,则向量, n +1 个 n 维向量必线性相关., 如果向量组 A : a1 , a2 , am 线性无关，,a1 , a2 , am , b 线性相关,那么向量 b 可由向量组 A 线性表示.,且表法唯一.,证 记矩阵A = ( a1 , a2 , am ), B = ( a1 , a2 , am , a m+1 ),于是R(B ) R(A)+1.,若向量组 A : a1 , a2 , am 线性相关,有R (A) m ，,再由

42、定理 2,向量组 B 也线性相关., 记矩阵 A = ( a1 , a2 , am ), B = ( b1 ,b2 ,bm ), 这里 A,若向量组 A 线性 无关，,则R (A) = m ，,于是 R (B ) = m，,因此向量, 设 a1 , a2 , an+1 都是 n 维列向量,则有 R(A) n n+1,故 n +1 个 n 维向量 a1 , a2 , an+1,据定理2,就可知，,所以 R( B ) R(A)+1 m+1,而向量组 B:,An(n+1) = ( a1 , an , a n+1 ),记矩阵,组 B 也线性无关.,为 nm 矩阵, B 为 (n+1)m 矩阵, 有R(

43、A) R(B ) m., 记矩阵A = ( a1 , a2 , am ) 和B = ( a1 , a2 , am ,b )，,有R(A) R(B) .,因为向量组A 线性无关，而向量组B 线性相关，,所以 R (A) = m ，R (B ) m +1 ，,因此 R (B ) = m .,由 R(A)=R(B)=m ,据定理 1可知，,向量 b 可由向量组 A 线性表示.,根据第 3 章定理 3 后面的结果可以得到，,向量 b 能由向量组 A,必线性相关.,线性表示式是唯一的.,知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2,所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.,根据定,理 3(1)

44、可知，,向量组 a1 , a2 , a3 , a4 也线性相关.,例13 讨论向量组 a1 , a2 , a3 线性相关性 ,其中,解 因为向量组,线性无关，,根据定理 3(2),所以,解 因为,向量组 a1 , a2 , a3 线性无关.,例 14 已知向量组,线性无关，,由定理 3(3)可知向量组,线性相关，,根据定理 3(4)可得,能由向量组,线性表示，,且表法唯一,3 向量组的秩,定义5 如果在向量组 A 中有 r 个向量 a1 , a2 , ar 满足条件：, 向量 组 a1 , a2 , ar 线性无关，, 向量组 A 中任意 r +1 个向量都线性相关.,那么称向量组 a1 ,

45、a2 , ar 是向量组 A 的一个最大线性无关向,r 称为向量组 A 的秩.,一般来说，向量组的最大无关组不是唯一的.,简称为最大无关组.,量组，,定理4 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，,证 设矩阵A nm = ( a1 , a2 , am ),Dr 所在的 r 个列向量线性无关.,再由定理 2 知， A 中的任,又由于A 中所有的 r +1 阶子式都为0，,所以 A的列向量组的秩等于 r .,因此, Dr 所在的 r 列是 A 的列向量,类似的可证, 矩阵 A 的行向量组的秩也等于矩阵 A 的秩R(A) .,如果向量组的秩是 r ,易知，向量组与它的最大无关组是等价的.,那么此向量组的任意

46、 r 个线性无关的,也等于它的行量,并设 r 阶,据定理 2可知，,子式 Dr 0 .,且 R(A) = r,向量都可以是它的一个最大无关组.,组的秩.,意 r +1个列向量都线性相关.,组的一个最大无关组 .,都是向量组 A 的最大无关组.,例 2 求下列向量组的秩和它的一个最大无关组：,解 组成矩阵 A = ( a1 , a2 , a3 , a4 ) ,知 R(A) = 3，,所以，向量组 a1 , a2 , a3 , a4 的秩等于3 .,因为，向量组 a1 , a2 , a4 构成的矩阵经初等行变换可以变成,A ,用初等行变换把 A 变成,行阶梯形矩阵.,因此向量组 a1 , a2 ,

47、 a4 线性无关.,于是 a1 , a2 , a4 是向量组 a1 , a2 , a3 , a4 的一个最大无关组.,所以,向量组 a1 , a2 , a4 的秩为 3，,定理 5 如果向量组 B 能由向量组 A 线性表示，,那么向量,组B 的秩不大于向量组 A 的秩.,证 设向量组 A 的一个最大无关组为 A0 : a1 , a2 , , as ,向量组 B 的一个最大无关组为 B0 : b1 , b2 , , br .,要证 r s .,因为向量组 B 能由向量组 A 线性表示，,所以向量组 B0 能由,于是 有sr 矩阵 K = ( kij ) 使,假设 r s, 看齐次线性方程组,向量

48、组 A0 线性表示.,它的系数矩阵的秩R(K) s r ,所以有非零解.,任取其一个,就有,这与向量组 B0 线性无关矛盾，,推论 1 等价的向量组秩相等.,推论 2 设 A 是 mn 矩阵, B 为 ns 矩阵，则,R( AB ) R( A ),推论 3 设向量组 A0 是向量组 A 的部分组, 若向量组 A0 线性,因此 r s .,R( AB ) R( B ).,无关, 且向量组 A 能由向量组 A0 线性表示,则向量组A0 是向量,组A 的一个最大无关组.,例 3 向量组A :,的秩相等，都为 2.,但向量组 A 与 B 不等价.,秩相等的向量组未必等价,4 向量空间,定义6 设 V

49、是 n 维向量的集合，,那么称集合V为向量,例1 3 维向量的全体 R3 是一个向量空间,由单个零向量组成,例 2 集合,是一个向量空间.,例 3 集合,不是向量空间.,定义 7 设有向量空间 U 及 V,就称 U 是 V 的子空间.,定义 8 设 V 为向量空间，如果 r 个向量,且满足,如果集合V 非空，,且对任意,的集合也是一个向量空间.,空间., V 中任意向量都可由 a1 , a2 , ar 线性表示.,那么，向量组 a1 , a2 , ar 就称为 V 的一个基，,空间V 的维数，,例1 中R3 的维数为 3 ，,因为，,是 R3 的一个基.,例2 中V 的维数为 n - 1, 因

50、为,是它的一个基.,事实上，r 维向量空间中的 r 个线性无关的向量就可以组成,如果向量 a1 , a2 , ar 是向量空间 V 的一个基, 则,称 r 为向量,并说V 是 r 维向量空间.,它的一个基., a1 , a2 , ar 线性无关；,5 线性方程组的解的结构,设有 n 元齐次线性方程组,Ax = 0 ,若 x1 = c1 , x2 = c2 , , xn = cn 是 的解，记,称为方程组 的解向量.,齐次方程组的解的性质,性质 1,性质 2,齐次方程组 的解空间 U 的一个基也称为齐次方程组 的,具体说，,是 的一组解向量，,且满足,2 齐次方程组 的每个解都可由,那么称,为齐

51、次方程组 的一个基础解系.,如果,是齐次方程组 的一个基础解系，,那么的所有解都可表为,其中 k1, k2 ,ks 为任意实数,称上式为齐次方程组 的通解.,定理 6 n 元齐次线性方程组,Ax = 0 ,的解空间的维数为 n - r ，,即 的基础解系含 n - r 个解，,其中,R(A) = r.,如果 的全体解向量所组成的集合记为U ,则 U 是一个向,称为齐次方程组 的解空间.,量空间.,一个基础解系.,于是得到与同解的方程组：,矩阵,不妨令为,证 设R(A) = r ,用初等行变换化系数矩阵 A 为行最简形,代入 的右端依次可得：,于是得到 的 解:,n r 个,对自由未知量 xr+

52、1 , xr+2 , xn 分别取值,下面证明解向量组,是 的一个基础解系，,首先，据定理 3可知，,证明的任意解都可由,从而它们也是 的一个基础解系.,其次，,是 的一个解.,根据齐次方程组解的性质可知，向量,也是 的一个解，,因此,这就证明了,所以， 的基础解系含 n - r 个解.,方程组（1）的一个基础解系，,从而也是齐次,例 1 求下列齐次线性方程组的基础解系与通解.,解 对系数矩阵 A 作初等行变换,将其变为行最简形矩阵,得,于是得同解方程组,即得基础解系：,并得方程组的通解,是此齐次方程组的两个线性无关的解,因为Ax = 0 的基础解系含有两个解，,因此它的两个线性无关,证 根据

53、齐次方程组解的性质可知，,组Ax = 0 的两个解,也是这个方程组的一个基础解系,其中数k 0 .,也线性无关，,所以向量组,设非齐次线性方程组,Ax = b (4),（4）的解也记为向量.,性质 3,是对应的齐次方程组,Ax = 0 （5）,性质 4,也是（4）的解.,非齐次线性方程组（4）的通解为,k1 , k2 , kn-r 是,任意实数.,非齐次线性方程组的解具有性质,则（4）的任意一个解,由此及性质4可知，,的解.,例 3 求解方程组,解 用初等行变换把增广矩阵 B 变为行最简形,知R(B) = R(A) = 2,所以方程组有解，,并得同解方程组,取 x2= 0, x3= 0,即得方

54、程组的一个解,对应的齐次方程组为,可得基础解系,方程组的通解为,也就是,写成,也可以把方程组,得通解为,也就是,第五章 相似矩阵及二次型,1 预备知识 向量的内积,定义 1 设有 n 维向量,令 x , y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ,称 x , y 为向量 x 与 y 的内积.,内积具有下列性质：,1. x , y = y , x ;,3. x + y , z = x , z + y , z ;,4. x , x 0,其中 x，y，z 是为向量，,易知, x , y = xTy .,当且仅当时x = 0 时 x , x = 0.,定义 2 非负实数,称为 n 维向量

55、 x 的长.,向量的长具有性质：,长为 1 的向量称为单位向量.,若向量 x 0 ,如果 x , y = 0 ，那么称向量 x 与 y 正交.,一组两两正交的非零向量.,正交向量组:,那么它应满足,由,得,规范正交向量组:,定理 1 正交向量组必线性无关.,证 设向量组 a1 , a2 , , ar 是正交向量组,类似的可证,于是向量组 a1 , a2 , , ar 线性无关.,但不为正交向量组.,向量组 e1 , e2 , , er 为规范正交向量组，当且仅当,若有一组数,由单位向量构成的正交向量组.,设向量组 a1 , a2 , ar 线性无关，则必有规范正交向量组,正交化：,单位化：,于

56、是，e1 , e2 , , er 是规范正交向量组，,且与 a1 , a2 , , ar,等价.,e1 , e2 , , er 与 a1 , a2 , , ar 等价.,e1 , e2 即为所求.,取它的一个基础解系,再把b2 , b3正交化即为所求a2 , a3 .,也就是取,定义 3 设 n 维向量 e1 , e2 , , er 是向量空间 V 的一个基,如果向量组 e1 , e2 , , er 为规范正交向量组，,则称 e1 , e2 , . ,向量组 a1 , a2 , a3 是所求正交向量组.,er 是 V 的一个规范正交基.,所以对齐次方程组,定义 4 如果 n 阶矩阵 A 满足,

57、那么称 A 为正交矩阵.,n 阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向,设n 阶矩阵 A = ( a1 , a2 , , an ) , 其中 a1 , a2 , , an 是,或者说, n 阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列,A为正交矩阵，即是,ATA = E ,都是正交矩阵.,例 6,（行）向量组构成向量空间 Rn 的一个 规范正交基.,A的列向量组.,量组是规范正交向量组.,由此可见， A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向量,组是规范正交向量组.,定义 5 若 P 为正交矩阵，则线性变换 x = Py 称为正交变换.,线性变换的系数构成矩阵,于是线

58、性变换（）,就可以记为,x = Py,都为正交变换.,例 7,若 线性变换 x = Py 为正交变换，,a , b 为任意两个向量.那么,这是因为,特别的，,2 方阵的特征值与特征向量,定义6 设 A 是 n 阶矩阵，,和 n 维非零列向量 p,非零向量 p 称为 A 的对于特征值,称为方阵 A 的特征多项式.,称为n 阶矩阵 A 的特征方程.,(1)式也可写成,使得,行列式,求 n 阶方阵 A 的特征值与特征向量的方法：,1 求出矩阵的 A 特征多项式,特征值.,它的非零解都是,例1 求矩阵,的特征值和特征向量.,解 A 的特征多项式为,于是，,所以，A 的特征值为,得基础解系,解方程组(A - E)x = 0.由,其中k为任意非零数.,得基础解系,例 2 求矩阵,的特征值和特征向量.,解 A 的特征多项式为,其中k是任意非零数.,所以，A 的特征值为,解方程组(A - 3E)x = 0.由,得基础解系,的全部特征向量为 kp1 ,解方程组(A - E)x = 0. 由,其中k为任意非零数.,得基础解系,的全部特征向量为 k p2 + l p3 ,其中数,证 对特征值的个数 m 用数学归纳法.,由于特征