12.11勾股定理 (2)

1、第十七章 勾股定理,17.1 勾股定理,第1课时 勾股定理,1,课堂讲解,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,勾股定理 勾股定理与图形的面积,相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客， 发现朋友家用砖铺成的地 面反映直角三角形三边的 某种数量关系，同学们， 我们也来观察下面的图案， 看看你能发现什么？,A、B、C的面积有什么关系？ 直角三角形三边有什么关系？,让我们一起探索这个古老的定理吧！,1,知识点,勾股定理,知1导,我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的 直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由 三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作法时给出的.,弦,

2、股,勾,图1,知1导,(1)观察图2-1 正方形A中含有 个 小方格，即A的面积 是 个单位面积.,正方形B的面积是 个单位面积.,正方形C的面积是 个单位面积.,9,9,9,18,知1导,分“割”成若干个直角边为整数的三角形,=18(单位面积),S正方形c,知1导,(2)在图2-2中，正方形A，B， C中各含有多少个小方格？ 它们的面积各是多少？,(3)你能发现图2-1中三个正方 形A，B，C的面积之间有 什么关系吗？,SA+SB=SC,即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.,知1导,a,c,b,Sa+Sb=Sc,观察所得到的各组数据，你有什么发现？,猜想:两直角边a、

3、b与斜边c 之间的关系？,a2+b2=c2,知1讲,a2+b2=c2,a,c,b,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.,勾,股,弦,勾股定理,(毕达哥拉斯定理),知1讲,定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边 和斜边，那么a2b2c2. 数学表达式： 在RtABC中，C90，ABc，ACb， BCa，则a2b2c2.,分清斜边和直角边因为在RtABC中，a，b， c是三边，所以可以用勾股定理解决问题,例1 在RtABC中，C90，A，B，C的 对边分别是a，b，c. (1)已知ab6，求c； (2)已知c3，b2，求a； (3)已知a

4、b21，c5，求b.,知1讲,（来自点拨）,导引：,(1)C90，ab6， 由勾股定理，得 (2)C90，c3，b2， 由勾股定理，得 (3)C90，ab21，a2b. 又c5，由勾股定理，得(2b)2b252， 解得b,知1讲,（来自点拨）,解：,总 结,知1讲,（来自点拨）,利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般 都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即一分：分 清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长 及两边之间的关系式代入a2b2c2（假设c是斜边）； 三化简,1 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边 长为c. (1)已知a=6，c=10，求b； (2)已知a=5，

5、b=12，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.,知1练,（来自教材）,(1) (2) (3),解：,知1练,（来自典中点）,下列说法中正确的是() A已知a，b，c是三角形的三边长，则a2b2c2 B在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的 平方 C在RtABC中，C90，所以a2b2c2 D在RtABC中，B90，所以a2b2c2,C,知1练,（来自典中点）,3 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b， 斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是() Ab2c2a2 Ba2c2b2 Cb2a2c2 Dc2a2b2,C,知1练,（来自典中点）,【2016荆门】如图，在AB

6、C中，ABAC，AD是BAC的平分线已知AB5，AD3，则BC的长为() A5 B6 C8 D10,C,知1练,（来自典中点）,【2016东营】在ABC中，AB10，AC2 ，BC边上的高AD6，则另一边BC等 于() A10 B8 C6或10 D8或10,C,知1练,（来自典中点）,【 2017陕西】如图，将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起，其中点A与点A重合，点C落在边AB上，连接BC. 若ACBACB90，ACBC3，则BC的长为() A3 B6 C3 D.,A,知1练,（来自典中点）,【2016漳州】如图，在ABC中，ABAC5，BC8，D是线段BC上的动点(不含端点B，

7、C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有() A5个 B4个 C3个 D2个,C,知1练,（来自典中点）,如图，在RtABC中，A90，BD平分ABC，交AC于点D，且AB4，BD5，则点D到BC的距离是() A3 B4 C5 D6,A,2,知识点,勾股定理与面积的关系,知2导,在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形， 并把它们剪下来如图所示，用这四个直角三角形进 行拼摆，将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直 角形斜边c为边长的小正方形,归 纳,知2导,观察图形，容易得到大正方形的边长为 a+b，所以 大正方形的面积是(a+b)2又因为大正方形是由4个全等 的直角三角形和中间的正方

8、形拼成的，所以大正方形的 面积又可表示成 ab4+c2 因此有(a+b)2= ab4+ c2整理得a2+b2=c2，即a、b、c为边的直角三角形满足 两直角边的平方和等于斜边的平方,知2讲,例2 观察如图所示的图形，回答问题： (1)如图，DEF为直角三角形，正方形 P的面积 为9，正方形Q的面积为 15，则正方形M的面积 为_； (2)如图，分别以直角 三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆， 则这三个半圆形的面积之间的关系式是_； (用图中字母表示) (3)如图，如果直角三角形两直角边的长分别为3和 4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你 利用(2)中得出的结论求阴影部分的

9、面积,知2讲,(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得 DF2DE2EF2，即正方形M的面积91524； (2) 另外由勾股定理可知AC2BC2AB2，所以S1S2S3； (3)阴影部分的面积两个小半圆形的面积和直角三角 形的面积大半圆形的面积，由(2)可知两个小半圆形 的面积和大半圆形的面积，所以阴影部分的面积 直角三角形的面积,（来自点拨）,导引：,知2讲,(1)24 (2)S1S2S3 (3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆 形的面积为S3，三角形的面积为S， 则S阴影S1S2SS3 S 346.,（来自点拨）,解：,总 结,知2讲,（来自点拨）,与直角三角形三边相连的正

10、方形、半圆及正多边形、 圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜 边上的图形面积本例考查了勾股定理及正方形的面积 公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细 观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容 易联想到勾股定理,1 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边 形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分 别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.,知2练,（来自教材）,SE(122162)(92122) 400225 625.,解：,2 (2016株洲)如图，以直角三角形的三边a，b，c为 边或直径，分别向外作等边三角形，半圆，等腰直 角三角形和正方形，上述

11、四种情况的面积关系满足 S1S2S3的图形个数是() A1 B2 C3 D4,知2练,（来自典中点）,D,知2练,（来自典中点）,3 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面 积分别为3和4，则b的面积为() A3 B4 C5 D7,D,知2练,（来自典中点）,如图，已知ABC为直角三角形，分别以直角边AC，BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为() AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能确定,C,知2练,（来自典中点）,【 2017温州】四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH，已知AM为RtABM较长直角边，AM2 EF，则正方形ABCD的面积为() A12S B10S C9S D8S,C,1. 勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角 三角形三边关系 2由勾股定理的基本关系式：a2b2c2可得到一些 变形关系式：c2a2b2(ab)22a