函数的最值与导数.ppt

1、第三章 导数及其应用,3.3.3 函数的最值与导数,极值反映的是函数在某一点附近的局部 性质,而不是函数在整个定义域内的性质。,但是我们往往更关心函数在某个区间上 哪个值最大，哪个值最小。,观察区间a,b上函数y=f (x)的图象，,你能找出它的极大值点，极小值点吗？,极大值点 ，,极小值点,你能说出函数的最大值点和最小值点吗？,最大值点 ：a ，,最小值点：d,最小值是f (b).,单调函数的最大值和最小值容易被找到。,函数y=f(x)在区间a,b上,最大值是f (a),图1,最大值是f (x3),图2,函数y=f (x)在区间a,b上,最小值是f (x4).,一般地，如果在区间a,b上函数

2、y=f (x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么 它必有最大值和最小值。,怎样求函数y=f (x)在区间a ,b内的最大值 和最小值？,思考,只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点 的函数值进行比较即可。,例1、求函数f(x)=x3-12x+12在0, 3上的 最大值，最小值。,例1、求函数f(x)=x3-12x+12在0,3上的 最大值，最小值。,解：由上节课的例1知，在0,3上，,当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值，,并且极小值为f (2)=-4.,又由于f (0)=12,f (3)=3,因此，函数 f(x)=x3-12x+12在0, 3上的 最大值为12，最小值为-4

3、。,求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值);,将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下,练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间 -2,2上的最大值与最小值。,因为f(-2)=57, f(1.5)=-28.75, f(2)=-23,所以函数的最大值为57，最小值为-28.75,解： =-36+6x+12x2=6(2x2+x-6),令 =0,解得x1=-2 , x2=1.5,练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间 -1,1

4、上的最值。,解： =3x2-6x+6=3(x2-2x+2),因为 在-1,1内恒大于0,所以 f(x)在-1,1上是增函数，,故当x=-1时，f(x)取得最小值-12；,当x=1时，f(x)取得最大值2。,例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a; (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值。,令 3,解: (1) =-3x2+6x+9,函数f(x)的单调递减区间为 (-,-1) (3,+),(2) f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,f(2)f(-2),于是有22+a=20,

5、解得a=-2,f(x)=-x3+3x2+9x-2,f(x)在-1,2上单调递增,在(-1,3)上 0,又由于f(x)在-2,-1上单调递减，,即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7。, f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的 最大值和最小值。,f(-1)=1+3-9-2=-7,例3、证明：当x0时，xln(1+x),解：设f(x)=x-ln(1+x).,即xln(1+x).,又因为f(x)在x=0处连续，,所以f(x)在x0上单调递增，,从而当x0时，有f(x)=x-ln(1+x)f(0)=0,练习3:当x1时,证明不等式:,证:设,显然f(x)在1,+)上连续,且f(1)=0.,显然,当x1时, ,故f(x)是 1,+)上的增函数.,所以当x1时,f(x)f(1)=0,即当x1时,例4、求证,证明：设,在x=1附近 由负到正,令 =0,解得x=1,当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值,所以当x0时，f(x) f(1)=0,从而,小 结:,求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值);,将函