第一类曲线积分

1、,第十章,曲线积分与曲面积分,积分学定积分二重积分三重积分,积分域区间域平面域空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲面积分,曲线积分,曲面积分,第一类曲线积分,第二类曲线积分,第一类曲面积分,第二类曲面积分,第一类曲线积分,第一节,第十章,一、第一类曲线积分的概念与性质,二、第一类曲线积分的计算法,一、第一类曲线积分的概念与性质,1.问题的提出,曲线形构件的质量,设有一位于xOy平面上的曲线形状的构件(如图)，,求构件的质量.,采用分割，近似，求和，取极限的方法来求曲线形构件的质量:,构件分布是非均匀的，其线密度为,1分割,2近似,3求和,4取极限,在小弧段,该弧段的质量可近似表示为,整个构件质

2、量的近似值,构件的质量,设函数f(x,y)在xOy面内的分段光滑曲线弧L,2.定义10.1,上有界.将L任意分成n个小弧段，设分点为,则称该极限值为函数f(x,y)在曲线L上的第一类,被积函数,积分弧段,积分和式,弧微分,被积表达式,曲线积分或对弧长的曲线积分，记作,注,1当函数f(x,y)在曲线L上连续时,曲线积分,2曲线形构件的质量可以表示为,存在(充分条件).,3,4,5,6,7,1若积分弧段为空间曲线弧,3如果L是闭曲线,则记为,推广,则函数,f(x,y,z)在曲线弧,上对弧长的曲线积分为,2对空间曲线弧有与平面曲线弧类似的重心公式和转动惯量公式.,思考：,定积分,对弧长的曲线积分,但

3、定积分中dx可能为负.,否！,是否可看作对弧长曲线积分的特例?,要求ds0,3.性质,1线性性质：,2可加性：,3保序性：,基本思路:,计算定积分,定理10.1,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,二、第一类曲线积分的计算法,1.直接法,点,将曲线L任意分成n份，设各分点对应参数为,对应参数为,证,根据定义,因此,则,注,因此积分限必须满足下限小于上限：,2注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,1,则,2如果L为极坐标形式,则,1如果曲线L的方程为,推广,3设空间曲线弧的参数方程为,其中L是抛物线,点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧.,解,上点,例1计算

4、,计算半径为R,中心角为,的圆弧L对于它,的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).,解建立坐标系如图,则,例2,计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解,线,例3,2.利用对称性,例4,解,由轮换对称性,知,解,例5,将圆周表示成参数方程的形式比较困难，由表达形式的对称性可利用对称性计算,点(x,y,z)的坐标满足曲线的方程,例6,解,曲面对称于,截取的柱面面积A是第一卦限,部分面积,圆柱面的准线L的参数方程：,柱面面积,1.定义,2.性质,内容小结,3.计算,对参数方程形式,对显函数形式,对极坐标形式,1.例5中改为,如何计算,解令,则,思考题,2.设C是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界,求,解分段积分,备用题例1-1,L是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),为顶点的三角形的边界.,解,解,例1-2,有一半圆弧,其线密度,解,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的引力.,例2-1,解,例3-1,计算,其中为球面,解,化为参数方程,则,例3-2,例3-3,其中L是：,曲线L的参数方程是：,解,L为球面,坐标面的交