第4章线性方程组

1、第4章相似矩阵与二次型,4.1本章的教学要求,1.了解相似矩阵、内积、正交矩阵的概念及其性质，了解矩阵对角化的充分必要条件。2.理解矩阵的特征值及特征向量的概念，掌握矩阵的特征值及特征向量的求法。3.会将实对称矩阵对角化，会将线性无关组正交规范化。4.理解二次型的概念，了解正交变换的概念，惯性定律，二次型的秩。,5.会用矩阵表示二次型，掌握用配方法和正交变换法化二次型为标准形的方法。6.了解二次型的正定性及其判别法。重点：实对称矩阵对角化，线性无关向量的正交规范化,矩阵特征值及其特征向量的概念和求法，用配方法和正交变换法化二次型为标准形的方法。难点：矩阵特征值及其特征向量的概念，用配方法和正交

2、变换法化二次型为标准形的方法。,4.2本章的主要内容,4.2.1向量的内积设有两个n维向量,记，则称为向量与的内积。内积是向量的一种运算，如果用矩阵记号表示，向量的内积还可写成,设为n维向量，为实数，则内积满足下列运算规律:123,4.2.2向量的长度设称为n维向量的长度（或范数）。向量的长度具有下述性质：1.非负性：当时，当时，；2.齐次性：3.三角不等式：,4.2.3单位向量当时，称为单位向量。,4.2.4向量的单位化对任何非零向量称为向量的单位化。,4.2.5向量的正交当时，称向量与正交.例如向量与向量是正交的.因为,4.2.6正交向量组若非零向量组中的任意两个向量都是正交的，则称这个向

3、量组为正交向量组。正交向量组的性质定理：定理1正交向量组一定是线性无关的。例如n维单位向量是正交向量组.因为,4.2.7正交规范向量组若一个正交向量组的每个向量都是单位向量，则称它为正交规范向量组。,例4.2.1将正交规范化.解取,然而将单位化，取,则即为所求.,例4.2.2已知，求非零向量使成为正交向量组.解所求的应满足即基础解系为,，,将正交化，取即为所求.,4.2.8正交矩阵如果n阶方阵A满足，则称A为正交矩阵。1.正交矩阵具有以下性质：(1)E是正交矩阵；(2)若A与B都是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵；(3)若A是正交矩阵，则也是正交矩阵；(4)若A是正交矩阵，则detA=1或-1

4、。,2.正交矩阵的判定定理定理2方阵A为正交矩阵A的每一行（列）向量都是单位向量，且两两正交。定理3n阶实数方阵A是正交矩阵。定理4n阶实数方阵A是正交矩阵。,例4.2.3判断下述矩阵是否是正交矩阵：（1）A其中为实数;（2）B,解（1）AA所以A是正交矩阵.,（2）BB=E所以B是正交矩阵.,4.2.9特征值与特征向量设A为n阶方阵，若存在数和n维非零列向量X，使得AX=X则称数为矩阵A的特征值，称非零列向量X为矩阵A对应于特征值的特征向量。,4.2.10特征矩阵与特征多项式设矩阵,则称矩阵为A的特征矩阵，它的行列式det(E-A)是关于的一个n次多项式，称det(E-A)为A的特征多项式。

5、,1.矩阵特征值和特征向量的存在定理定理5设A为n阶方阵，则数为A的特征值是A的特征多项式det(E-A)的根；n维向量是A对应于特征值的特征向量是齐次线性方程组（E-A）X=O的非零解。2.矩阵特征值和特征向量的性质定理定理6对称矩阵A的不同特征值的特征向量一定是正交的。定理7对称矩阵A的不同特征值的特征向量是线性无关的。,定理8方阵A对应于不同特征值的特征向量是线性无关的。定理9实对称矩阵的特征值都是实数。,4.2.11矩阵A的迹矩阵A的主对角线元素之和,称为A的迹，记作tr(A)，即tr(A)=。,4.2.12相似矩阵设A与B都是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=PAP则称A与B

6、是相似的，记作AB。,相似矩阵具有如下性质：1.相似矩阵有相同的行列式。2.相似矩阵具有相同的可逆性；若可逆，它们的逆矩阵也相似。3.相似矩阵具有相同的特征多项式。4.相似矩阵具有相同的特征值。5.相似矩阵有相同的迹。,4.2.13方阵A可对角化如果n阶方阵A能相似于对角矩阵，则称方阵A可对角化。方阵A可对角化的定理：,定理10n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量，并且此时以它们为列向量组的矩阵P，就能使为对角矩阵，而且此对角矩阵的主对角元依次是对应的特征值是。定理11若A是实对称矩阵，则一定可对角化，并且一定能够找到一个正交矩阵T，使得为对角矩阵。,例4.2.4设A=求正交矩阵T，使

7、TAT为对角矩阵.解由于A=A，故由定理知，一定可找到正交矩阵T，使得TAT为对角矩阵.第1步先求A的特征值，由,det(,EA)=,求得A的不同特征值为（二重），第2步对于，求解齐次线性方程组（2EA）X=O，由,求得其一个基础解系为,2EA=,先正交化,令,再单位化,令对于，求解齐次线性方程组（7EA）X=O，由,7EA=,求得它的一个基础解系为,这里只有一个向量，只要单位化，得第3步以正交单位向量组为列向量组的矩阵T，就是所求的正交矩阵，即T=,有TAT,4.2.14n元二次型、二次型矩阵含n个变量的二次齐次多项式,其中,且称为n元二次型，矩阵A称为二次型的矩阵。,例如二次型为要写成矩阵

8、形式，把这些项分别改写成即,其矩阵表示式为或简单地就用对称矩阵A=来表示.,4.2.15化二次型为标准形如果二次型通过满秩变换X=CY(C为n阶满秩方阵)，使得原二次型用表示时，化为,简称此过程为化二次型为标准形。,4.2.16正交变换如果二次型通过满秩变换X=CY,使得原二次型化为标准形，且满秩方阵C是正交矩阵，则称此变换为正交变换。,定理13对于任何一个二次型一定能找到一个正交矩阵T，使得经过正交变换X=TY,把它化为标准形其中是二次型的矩阵A的全部特征值。,化二次型为标准形的定理：定理12任何一个二次型都可化为标准型。即任何一个对称矩阵A，总能找到可逆矩阵C，使得成为对角矩阵。,例4.2

9、.5化二次型为标准形.解先将含的各项配成一个关于的完全平方项，即,再将含的各项配成完全平方，即令即得,例4.2.6求一个正交变换X=TY，把二次型化为标准形.解的矩阵是A=A的特征多项式,det(,E-A)=,于是A的不同特征值为(二重)对于(二重)，求解齐次线性方程组（4EA）X=O，由4EA=求得一个基础解系为,先正交化,令,再单位化，令对于，求解齐次线性方程组（EA）X=O，由,-2EA=,求得它的一个基础解系为,再单位化，得令,T=,则T是正交矩阵，并且有TAT=于是，令X=TY，得,=,4.2.17二次型的秩将二次型的矩阵A的秩，称为二次型的秩。,4.2.18正惯性指数与负惯性指数在

10、二次型的标准形中，系数为正的平方项个数p称为的正惯性指数；系数为负的平方项个数sp称为的负惯性指数，其中s为的秩。惯性定理：定理14二次型的任一标准形中，系数为正的平方项个数是惟一确定的，它等于的正惯性指数；而系数为负的平方项个数也是惟一确定的，它等于的负惯性指数。,4.2.19正定二次型二次型如果对任意一组不全为零的实数，都有则称为正定二次型。,4.2.20正定矩阵如果二次型是正定二次型,对称矩阵A称为正定矩阵。,4.2.21k阶主子式(kn)在n阶方阵A中，取第行及第列（即行标与列标相同）所得到的k阶子式称为A的k阶主子式(kn)。,例如，设A=取第1，3行及第1，3列得到二阶子式就是一个

11、二阶主子式.,4.2.22k阶顺序主子式在n阶方阵A中取第行及第列得到的k阶子式（kn），称为A的k阶顺序主子式。,例如，上例中的A，1阶顺序主子式|2|=2，二阶顺序主子式是三阶顺序主子式是detA.,正定矩阵的判定定理：定理15n元二次型是正定的全大于零。定理16满秩变换不改变二次型的正定性。定理17n元二次型是正定的它的正惯性指数等于n。,定理18n元二次型是正定的它的矩阵A的特征值全大于零。定理19n元二次型是正定的它的矩阵A的所有顺序主子式全大于零。即对称矩阵A是正定矩阵它的所有顺序主子式全大于零。,4.2.23负定、半正定与半负定的二次型设是二次型，对任一组不全为零实数，如果都有，

12、则称是负定的；如果都有，则称是半正定的；如果都有,称是半负定的。,4.2.24负定、半正定与半负定矩阵如果对称矩阵A所对应的二次型分别是负定的、半正定、半负定，则分别称对称矩阵A为负定的、半正定、半负定。,例4.2.7判别下列二次型的正定性：（1）（2）（3）解（1）的矩阵为A=,因为|3|=30,所以,从定理知，正定，即A也正定.,（2）的矩阵为A=因为|1|=10,所以,从定理知，不是正定的.,（3）的矩阵为A=因为|2|=20,所以,从定理知，是负定的，即A也负定.,4.3本章的主要解题方法,4.3.1施密特（Schmidt）正交化方法施密特（Schmidt）正交化方法由以下两步组成：第

13、1步将个线性无关的向量组进行正交化，得到s个正交向量为且与向量组等价,具体过程如下：,令那么是正交向量组，且与等价。,第2步将正交向量组中每一个向量单位化，只要取于是是正交规范向量组，且与等价，从而也是与等价。,将一组线性无关向量组通过上述正交化，单位化得到与之等价的正交规范向量组的方法称为施密特（Schmidt）正交化方法。,例4.3.1将向量组，正交规范化。解利用施密特正交化方法。第1步首先正交化，令,第2步再把单位化，得,请读者想一想，将一个向量组正交规范化是否是惟一的？,4.3.2计算方阵A的特征值与特征向量的方法利用计算行列式与求齐次线性方程组的解相结合的方法，来计算方阵A特征值和特

14、征向量，具体的步骤如下：第1步写出并计算A的特征多项式det(E-A)；第2步求出特征多项式det(E-A)的全部实根，它们就是A的全部实特征值；,第3步把A的每一个特征值代入齐次线性方程组（E-A）X=O，求出每一个特征值的一个基础解系为（i=1,2,s）则对于不全为零的任意常数，为A对应于特征值（i=1,2,s）的全部特征向量。,例4.3.2求矩阵A=的特征值和特征向量。解第1步写出并计算特征多项式det(E-A)=,第2步求出det(E-A)=0的全部实根，即得到A的特征值为(二重),第3步求出每一个特征值的特征向量对于的特征向量，即为求齐次线性方程组(1EA)X=O的一组基础解系。由,

15、取为自由元，得到基础解系为所以，A的特征值为1的全部特征向量为,，为任意非零实数。对于(二重)，求解齐次线性方程组(3EA)X=O，将系数矩阵进行初等行变换化为阶梯形矩阵，即,取为自由元，得到基础解系为所以，A的特征值为3的全部特征向量为，为任意非零实数。请问读者，零向量可以成为方阵的特征向量吗？,4.3.3将对称矩阵对角化的方法由定理11知，对于任意一个实对称矩阵A，都可找到一个正交矩阵T，使得为对角矩阵。具体步骤如下：第1步求出A的所有不同的特征值。因为由定理9知，n阶实对称矩阵一定可求出所有的实特征值。,第2步求出A对应于每个特征值的一组线性无关的特征向量，即求出齐次线性方程组（E-A）

16、X=O的一组基础解系，并且利用施密特正交化方法，把每组基础解系进行正交化、单位化，对于n阶实对称矩阵A，一定可求出n个正交规范化的特征向量。第3步以n个正交规范化的特征向量作为列向量所得的n阶方阵即为所求之正交矩阵T，以相应的特征值作为主对角线元素的对角矩阵，即为所求的对角矩阵。,例4.3.3设求正交矩阵T，使为对角矩阵。解由于，故由定理11知，一定可找到正交矩阵T，使得为对角矩阵。,第1步先求A的特征值，由det(E-A)=,求得A的不同特征值为(二重)，。,第2步对于（二重），求解齐次线性方程组（3EA）X=O，由,求得其一组基础解系为先正交化；令,再单位化；令,对于，求解齐次线性方程组（

17、6EA）X=O，由,求得它的一组基础解系为,这里只有一个向量，只要单位化，得,第3步以正交单位向量组为列向量组的矩阵T，就是所求的正交矩阵。即,有请问读者，用正交变换法化实对称矩阵为对角阵时，正交变换矩阵是否是惟一的？,4.3.4化二次型为标准形的方法介绍两种方法：1.配方法(1)如果二次型中含有平方项，可直接利用完全平方公式进行配方，化二次型为标准形。(2)如果二次型中不含有平方项,而只含有交叉项，利用平方差公式先作辅助替换使其产生平方项，再利用完全平方公式进行配方，化二次型为标准形。,2.正交变换法首先写出二次型的矩阵A，再将对称矩阵A对角化。即求出矩阵A的所有特征值与之相应的特征向量，先

18、正交化，再单位化。利用正交规范化的特征向量作为列向量所构成的矩阵T，即T为正交矩阵，通过X=TY变换，可将化二次型为标准形。,例4.3.4用配方法，将下列各二次型化成标准形并写出所作的满秩变换。,解用配方法。二次型的标准形不是唯一的，它与所作的满秩变换有关。在配方法中，一般是按x的下标顺序配完全平方，除非遇到较困难时，可以改变这个顺序。对于（1），二次型中含有平方项,可直接利用完全平方公式进行配方，化二次型为标准形。下面分别用两种配方法来化标准形。,第1种先将含有的各项合并在一起，配完全平方项,再将余下的含有的项合并在一起配完全平方,令,从上面方程组解出，得,令则X=CY，将二次型化成标准形为

19、,第2种如果先按配方后，再将余下的含有的项合并在一起，配完全平方，计算如下：,令解得,令通过X=CY，将二次型化成标准形为=从上面两种配方法，可以看出由于所用的满秩变换不同，所得二次型的标准形不一样，所以说二次型的标准形不是唯一的。,对于（2），二次型中没有平方项，而只含有交叉项，利用平方差公式先作辅助变换使其产生平方项，再利用完全平方公式进行配方，化二次型为标准形。先作辅助变换。设,则上述已含有平方项，先对配完全平方,再对配完全平方令,解得又得,令通过X=CZ，将二次型化成标准形为,例4.3.5用正交变换法，将下列二次型化成标准形并写出所作的正交变换。,解先写出二次型的矩阵A，即,再求出A的

20、特征值，由det(EA)=,得到矩阵A的特征值为(三重)，并求其特征值相应的特征向量。,对于(三重)，解齐次线性方程组(3EA)X=O,由,得到一组基础解系为先正交化，由于是正交的，于是令,再把单位化，得,对于，解齐次线性方程组(5EA)X=O,由,得到一组基础解系为再单位化，令,最后，得到正交变换矩阵T，即T=,设X=TY，即用正交变换法化二次型为标准形，得请读者思考一下，正交变换法化二次型为标准形，所得的标准形是惟一的吗？,4.3.5判断二次型或对称矩阵正定的方法1.用定义法对于抽象矩阵或二次型，通常用正定的定义，来判断二次型或对称矩阵的正定性。2.用行列式法对于具体的二次型或对称矩阵，可

21、用定理19，即对称矩阵的所有顺序主子式全大于零，来判断二次型或对称矩阵的正定性。,3.用配方法对于具体的二次型或对称矩阵，还可用惯性定理17，即将二次型化为标准形后，它的正惯性指数是否等于n，来判断二次型或对称矩阵的正定性。,例4.3.6试证：任一n阶可逆方阵A，则是正定矩阵。证由于是抽象矩阵，所以用定义法。显然是对称矩阵，设令Y=AX，得由于A是可逆方阵，所以Y=AX是一个满秩变换，利用定理15知，是正定的，利用定理16，即满秩变换不改变二次型的正定性，可知原二次型也是正定的，故是正定矩阵。,例4.3.7t满足什么条件时？二次型是正定的。解方法一用行列式法。的矩阵A为如果A是正定的，利用定理

22、19知，要求A的所有顺序主子式全大于零，即,10,0即解得所以，当时，是正定的。,方法二用配方法。,若是正定的，利用惯性定理17知，其正惯性指数应等于3，即于是，当时，是正定的。注：一般地说，具体的二次型大多用行列式法，对行列式计算比较麻烦时，可用配方法.,一、填空题1如果向量是正交的，则满足_。参考答案：()=0,4.4本章的自测题,2在向量组中，如果_，并且它们都是非零向量，则称向量组是正交向量组。参考答案：任意两个向量都正交,3若数为矩阵A的特征值，则是A的特征多项式det(EA)的_。参考答案：根,4若数=0为矩阵A的特征值，则齐次线性方程组AX=O必有_解。参考答案：非零,5n阶实对

23、称矩阵的特征值有_个，对应于每一个特征值的特征向量有_个。参考答案：n，无数,6若实对称矩阵A的特征值是特征方程的k重根，则属于的线性无关的特征向量有_个。参考答案：k,7二次型的标准形不含_项，它的标准形的一般表达式为=_。参考答案：，其中X=CY,8二次型如果对任意一组不全为零的实数，都有0则称为_。参考答案：正定二次型,二、是非题1长度等于1的向量称为单位向量。（）参考答案：对,2把向量除以它的长度，称为把向量单位化。（）参考答案：错,3正交向量组一定是线性相关的。（）参考答案：错,4方阵A的特征向量可为零向量。（）参考答案：错,5方阵A的特征值为的特征向量的线性组合仍然是方阵A的特征向量。（）参考答案：对,6n阶实对称矩阵A有n个线性无关的特征向量。（）参考答案：对,7方阵A的特征值不是A的特征多项式的根。（）参考答案：错,8如果二次型通过变换X=CY（C为满秩方阵），使得原二次型化为标准形，则称此变换为正交变换。（）