第2章 逻辑代数基础

1、第二章逻辑代数基础,2.1概述2.2逻辑代数中的三种基本运算2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.4逻辑代数的基本定理2.5逻辑函数及其表示方法2.6逻辑函数的化简方法2.7具有无关项的逻辑函数及其化简,2.1概述,事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为0和1，称为逻辑0状态和逻辑1状态。,逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有和两种逻辑值，有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。,逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0和1称为逻辑常量，

2、并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。,逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。,2.2逻辑代数中的三种基本运算,一、三种基本逻辑关系和运算,与逻辑真值表,与逻辑关系表（功能表）,开关A,开关B,灯F,断断断合合断,合合,灭灭灭,亮,A,B,F,10,11,01,00,0,0,1,0,真值表特点：全“1”得“1”,有“0”得“0”,一、三种基本逻辑关系和运算、三种基本逻辑关系（1）“与”逻辑,2.2逻辑代数中的三种基本运算,2.2逻辑代数中的三种基本运算,一、三种基本逻辑关系和运算、三种基本逻辑关系（2）“或”逻辑,或

3、逻辑真值表,1,A,B,F,10,11,01,00,1,1,1,0,F=A+B+.+N,全“0”得“0”,有“1”得“1”,2.2逻辑代数中的三种基本运算,一、三种基本逻辑关系和运算、三种基本逻辑关系（3）“非”逻辑,非逻辑真值表,A,F,0,1,1,0,1,2.2逻辑代数中的三种基本运算,一、三种基本逻辑关系和运算、三种基本的逻辑运算,00=01=10=0,11=1,0+0=0,0+1=1+0=1+1=1,1=00=1,2.2逻辑代数中的三种基本运算,二、几种常见的复合逻辑运算,“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。,2.2逻辑代数中的三种基本

4、运算,二、几种常见的复合逻辑运算、“与非”逻辑,与非逻辑真值表,2.2逻辑代数中的三种基本运算,二、几种常见的复合逻辑运算2、“或非”逻辑,或非逻辑真值表,2.2逻辑代数中的三种基本运算,二、几种常见的复合逻辑运算3、“与或非”逻辑,与或非逻辑真值表,2.2逻辑代数中的三种基本运算,二、几种常见的复合逻辑运算4、“异或”逻辑,异或逻辑真值表,A,B,F,10,11,01,00,1,1,0,0,(1)A0=A,(3)AA=0,(2)A1=A,(4)AA=1,(5)AB=C;,AC=B;,BC=A,公式:,2.2逻辑代数中的三种基本运算,二、几种常见的复合逻辑运算4、“异或”逻辑,2.2逻辑代数中

5、的三种基本运算,二、几种常见的复合逻辑运算5、“同或”逻辑,同或逻辑真值表,A,B,F,10,11,01,00,0,0,1,1,(2)A1=A,(3)AA=1,(1)A0=A,(4)AA=0,(5)AB=C;,AB=(AB),(1)互为反函数,(2)互为对偶式,AC=B;,BC=A,AB与AB互为对偶式,公式：,同或与异或运算的关系：,2.2逻辑代数中的三种基本运算,二、几种常见的复合逻辑运算5、“同或”逻辑,2.2完,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式,2.3.1基本公式,2.3.2若干常用公式,逻辑关系将逻辑变量A、B、C、.连接起来，,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式,1、逻辑代数：,

6、与普通代数不同的是，,用有限个与、或、非逻辑运算符，,按某种,所得的表达式,称为逻辑代数。,记为,注意：,没有数量的含义。,在逻辑代数中，,不管是变,量还是函数，,其取值都只能是0或1，,并且这里的0和1只表,示两种不同的状态，,有非运算符的叫做反变量。,在逻辑代数中，,等式右边的字母A、B、C等称为输,入逻辑变量，,等式左边的字母Y称为输出逻辑变量，,字母,右侧没有非运算符的叫做原变量，,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式,2、逻辑函数相等的概念：,它们的输入变量都是A、B、C、，,看看它们的真值表是否相同即可。,设有两个逻辑函数,则称Y1和Y2是相等，,如果对应于变量,A、B、C、的任何一

7、组变量取值，,Y1和Y2的值都相同，,若两个逻辑函数相等，,则它们的真值表一定相同；,反,之，,若两个函数的真值表完全相同，,则这两个函数一定,相等。,因此，,要证明两个逻辑函数是否相等，,只要分别,列出它们的真值表，,记为Y1=Y2。,AB,(AB),A+B,AB,(A+B),1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,(AB)=A+B(A+B)=AB,证明等式,(AB)=A+B(A+B)=AB,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式,1、0、1律,A0=0与门有“0”得“0”，即与“0”是“0”；A+1=1或门有“1”得“1”，即或“1”是“1”。例：,分

8、别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式,2、自等律,“与”1、“或”0是自身。,例：,A1=AA+0=A,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式,3、重叠律同一变量的运算规律,AA=AA+A=A显然00=0有“0”得“0”；11=1全“1”得“1”；0+0=0全“0”得“0”；1+1=1有“1”得“1”；故自身“或”、“与”是自身。,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式,4、互补律变量与它的反变量之间的运算规律,A=0与补是“0”,A不是“0”就是“1”01=00+1=1,A+=1或补是“1”,

9、2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式,5、交换律,变量前后交换，等式不变。,AB=BAA+B=B+A,利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明AB=BA：,6、结合律,A(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+C,同级运算，变量自由结合，等式不变。,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式,7、分配律,A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C),与数学运算不同，不管是先“”后“”还是先“”后“”都满足分配律。,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式,例：用真值表证明A+BC=(A+B)(A+C)。,可见，等式两边对应的真值表

10、相同，故等式成立。,证：,8、反演律(狄摩根DeMorgen定律),可用真值表证明。用在逻辑函数的化简和变换中。,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式,9、双重否定律（也称非非律、还原律）一个变量经过两次求反运算之后还原为其本身。,否定的否定是肯定。,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式,10、吸收律,A+AB=A证：A+AB=A(1+B)=A在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的，可以删去。,A(A+B)=A证：A(A+B)=AA+AB=A+AB=A变量A和包含A的和相乘时，结果等于A，即可以将和消掉。,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式

11、2.3.1基本公式,证：,(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC,分配律A(B+C)=AB+AC,=A+AB+AC+BC,重叠律AA=A,=A(1+B+C)+BC,分配律A(B+C)=AB+AC,=A+BC,0-1律A+1=1,例：用基本公式证明A+(BC)=(A+B)(A+C)。,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.2若干常用公式,证：,两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。,推论：,证：,两个乘积项相加时，若它们分别包括B和B，而其他因子相同，则两项定能合并，且可将B和B两个因子消去。,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.2若干常用公

12、式,推论：,证：,与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子组成第三个乘积项，则第三项是多余的。,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.2若干常用公式,证明：,推论（1）：,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.2若干常用公式,推论（2）：,证：,当A与一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子时，则A这个因子可以消去。,当A与一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子时，则其结果为A。,2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.2若干常用公式,2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理,定理：,证:,左右，成立,任何一个含有变量A的等式中，如果将所有出现A的位

13、置都用同一个逻辑函数式来代替，则等式仍然成立。,2.4逻辑代数的基本定理2.4.2反演定理,规则：,那么得到的新函数式称为原函数式Y的反函数式,记为Y。,对于任意一个逻辑函数式Y，做如下处理：,若把式中的运算符“”换成“+”,“+”换成“”;,常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；,原变量换成反变量，反变量换成原变量,保持原函数的运算次序：先括号，然后与，最后或，必要时适当地加入括号。,不属于单个变量上的非号有两种处理方法：,非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换。,将非号去掉，而非号下的函数式保留不变。,例1：,例2：,Y(A、B、C),其反函数为,或,2.4逻辑代数的基本定理2.4.

14、3对偶定理,对于任意一个逻辑函数，做如下处理：,1）若把式中的运算符“”换成“+”，“+”换成“”；,2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”,得到新函数式为原函数式F的对偶式FD，也称对偶函数。,如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即若F1=F2,则F1D=F2D。使公式的数目增加一倍。,1）求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的。,注意：,2）函数式中有“”和“”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“”换成“”，“”换成“”。,例：,则其对偶式,例：,证明：Y1D=Y2,证1：,2.4完,例：,证2：,2.5逻辑函数及其表示方法,2.5.1逻辑函数,

15、2.5.2逻辑函数的表示方法,2.5.3逻辑函数的两种标准形式,2.5.4逻辑函数形式的变换,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.1逻辑函数,定义：若变量A、B、C的取值确定以后，变量Y的值也唯一地确定了，那么就称Y是A、B、C的逻辑函数。一般表达式为：YF(A、B、C、),2.5逻辑函数及其表示方法2.5.1逻辑函数,例：举重裁判电路,灯Y的亮暗，取决于开关A、B、C是闭合还是断开的情况。故Y是A、B、C的函数。即FG(A、B、C),逻辑式,C,五种常用表达式,F,“与-或”式,“或-与”式,“与非-与非”式,“或非-或非”式,“与或非”式,表达式形式转换,利用还原律,利用反演律,函数表达式的

16、常用形式,一个逻辑函数表达式可以由多种表示形式表示，而一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。但逻辑功能是相同的。（化简、速度即传输延迟时间、要考虑实验室现有的门电路类型）,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.2逻辑函数的表示方法,一、逻辑关系的六种表示方法：,真值表,逻辑函数式,逻辑图,波形图,卡诺图,硬件描述语言,F,断“0”,合“1”,亮“1”,灭“0”,0,0,0,0,1,1,0,挑出函数值为1的项,1,每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项,这些乘积项作逻辑加,F=ABC+ABC+ABC,F=ABC+ABC+ABC,真值表,真值表：是由输入变量的所有可能取值组合及其对应的函数值

17、所构成的表格。,真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2i种不同的取值，将这2i种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。,Y=A（B+C）,波形图：将逻辑函数输入变量每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起来，即得到波形图。,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.2逻辑函数的表示方法,方法：找出真值表中使Y1的输入变量取值组合；每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，取值为1写成原变量，取值为0写成反变量；同排变量相乘（得到最小项），然后分别相加。,二、各种表示方法间的互相转换1、从真值表写出逻辑式

18、(标准与或表达式),真值表,逻辑式,Y=,例：,ABC,+ABC,+ABC,+ABC,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.2逻辑函数的表示方法,方法：将A、B、C输入变量的各种取值逐一代入逻辑式中，计算出Y值，然后列表。,二、各种表示方法间的互相转换2、从逻辑式列出真值表,真值表,逻辑式,Y=A+BC+ABC,例：,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.2逻辑函数的表示方法,二、各种表示方法间的互相转换3、从逻辑式画出逻辑图,逻辑图,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.2逻辑函数的表示方法,二、各种表示方法间的互相转换4、从逻辑图写出逻辑式,逻辑图,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.2逻辑函数的表示方

19、法,二、各种表示方法间的互相转换5、波形图与真值表的相互转换,真值表,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.2逻辑函数的表示方法,三、逻辑函数的运算顺序,1.5.2完,与代数的运算顺序一样:1、先乘，后加；、先括号内，后括号外；、同级运算从左到右。,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.3逻辑函数的两种标准形式,一、最小项和最大项,例：变量逻辑函数中,ABCD、,ABCD、,ABCD、,ABBCD,ABCDC、,是最小项,不是最小项,在n个变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项,通常称为最小项。,定义：,1

20、、最小项,n个变量有2n个最小项，记作mi,3个变量有23（8）个最小项,m0,m1,000,001,0,1,最小项,二进制数,十进制数,编号,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.3逻辑函数的两种标准形式,一、最小项和最大项,1、最小项,将变量按序排列，原变量用1表示，反变量用0表示，得到一组二进制数，将其变换为等值的十进制数。,两个最小项之和可合并成一项并消去一对不同的因子,001,ABC,000,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,三变量的最小项：,最小项的性质：,同一组变量取值任意两个不同最小项的乘积为0，即：mimj=0(ij),全部最小项之和为1，即

21、：,在输入变量的任意取值下，必有一个且只有一个最小项的值为1，其它最小项的值均为0。,两个最小项只有一个因子不同，,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.逻辑函数的两种标准形式,、全体最小项之和为1。,、具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一对因子。,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.逻辑函数的两种标准形式,例：变量逻辑函数中,ABC、,ABC、,ABC、,ABBC、,ACC、,是最大项,不是最大项,在n个变量逻辑函数中，若为n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在中出现一次，则称为该组变量的最大项。,一、最小项和最大项,2、最大项,定义：,n个变量有2n个最大项，记作i

22、。,把或项中的原变量记做“0”，反变量记做“1”，得到一组二进制数，变换为等值的十进制数。,返回,三变量的最大项,M0,M1,000,001,0,1,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.逻辑函数的两种标准形式,一、最小项和最大项,2、最大项,同一组变量取值任意两个不同最大项的和为1，即Mi+Mj=1(ij),全部最大项之积为0，即,在输入变量的任意取值下，必有一个且只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1;,两个最大项只有一个因子不同，两个最大项之积可合并成一项并消去一对不同的因子,即等于各相同变量之和。,如：,或Mi=mi,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.逻辑函数的两种标准形式,一、最小

23、项和最大项3、最小项与最大项的关系,m0=ABC=(A+B+C),M0=A+B+C,mi=Mi,其余类推,（1）相同编号的最小项和最大项存在互补关系,m1,m3,m5,m7,=,=,(2)若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数F可用等同于这些最小项相对应的最大项之积表示。,即：,可推出：,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.逻辑函数的两种标准形式,二、逻辑函数的两种标准形式1、最小项之和形式（也称标准与或式）,定义：任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。,形式：Y=mi,方法：首先将逻辑函数式化为若干乘积项之和的形式(与或式)，任何对于不是最

24、小项表达式的乘积项都可用公式A+A=1和A(B+C)ABAC将缺少的因子补全来配项展开成最小项表达式。,例：,非标准形式为：,则化为标准形式与或式为：,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,m1ABC,m5ABC,m3ABC,m2ABC,将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。,2.5逻辑函数及其表示方法2.5.逻辑函数的两种标准形式,二、逻辑函数的两种标准形式、最大项之积形式（也称标准或与式）,定义：以最大项相乘的形式出现的逻辑式称标准或与式。形式：Y=Mk例：,例：,与或式为：,则或与式为：,本节小结,逻辑代数是分

25、析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。与、或、非是3种基本逻辑关系，也是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或非、异或、同或则是由与、或、非3种基本逻辑运算复合而成的5种常用逻辑运算。逻辑代数的公式和定理是推演、变换及化简逻辑函数的依据。,2.5完,2.6逻辑函数的化简方法,2.6.1化简的意义,2.6.2公式化简法,2.6.3卡诺图化简法,2.6.4具有无关项的逻辑函数及其化简,2.6逻辑函数的化简方法2.6.1化简的意义,一、化简的意义,使逻辑图简化，从而使电路具有下列优点：,逻辑电路所用门的数

26、量少,每个门的输入端个数少,逻辑电路构成级数少,逻辑电路保证能可靠地工作,例：,显然，两电路的功能完全一样。,Y=ABC+ABC+ABC=A(BC+BC+BC)=A(BC+BC+BC+BC)=AB+AC,Y=ABC+ABC+ABC,2.6逻辑函数的化简方法2.6.1化简的意义,二、逻辑函数的最简表达式,使逻辑函数达到最简形式，从而使逻辑电路达到最简。、最简与或表达式函数式中相加的乘积项不能再减少，而且每项相乘的因子不能再减少时，则函数式为最简形式。例：上例中，Y=ABC+ABC+ABC不是最简形式；Y=AB+AC是最简形式。,例：,Y=ABC+ABC+ABC,化成最简与或式为,用与门和或门实现

27、为,2.6逻辑函数的化简方法2.6.1化简的意义,二、化简的要求,2、最简与非与非表达式,将逻辑函数式化成最简的与或式；,非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。,方法：,最简与或式为：Y=AB+AC,用与非门实现为,Y=AB+AC=(AB+AC)=(AB)(AC),利用狄摩根定理，去掉下面的非号；,在最简与或表达式的基础上两次取反；,二、化简的要求,3、最简或与表达式,括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。,求出反函数的最简与或表达式,利用反演规则写出函数的最简或与表达式,2.6逻辑函数的化简方法2.6.1化简的意义,二、化简的要求,4、最简或非或非

28、表达式,非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。,求最简或与表达式,两次取反,用摩根定律去掉下面的非号,2.6逻辑函数的化简方法2.6.1化简的意义,二、化简的要求,5、最简与或非表达式,非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。,求最简或非-或非表达式,用摩根定律去掉大非号下面的非号,2.6逻辑函数的化简方法2.6.1化简的意义,2.6逻辑函数的化简方法2.6.2公式化简法,一、并项法,例：,ABC+ABC=AC(B+B)=AC,将两项合并为一项，消去B和B这一对因子。A和B都可以是任意复杂的逻辑式。,AB+AB=A,利用公式,例：,若两

29、个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。,二、吸收法,利用公式A+AB=A将AB项吸收而消去。,例：,AB+ABCD(E+F)=AB,2.6逻辑函数的化简方法2.6.2公式化简法,例：,三、消项法,消去多余乘积项。,例：,ABC+CD+ABD,利用公式,2.6逻辑函数的化简方法2.6.2公式化简法,AB+AC+BC=AB+AC,=ABC+CD,及AB+AC+BCD=AB+AC,例：,解：先求出Y的对偶函数YD，并对其进行化简。,求YD的对偶函数，便得的最简或与表达式。,2.6逻辑函数的化简方法2.6.2公式化简法,四、消

30、因子法,例：,AB+(AB)C=AB+C,A+AB=A+B,消去多余因子A。,利用公式,例：,五、配项法,A(B+B)=A,（互补律）,例：,、利用公式,为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。,2.6逻辑函数的化简方法2.6.2公式化简法,2.6逻辑函数的化简方法2.6.2公式化简法,五、配项法,例：,A+A=,在函数式中重复写入某一项，以达到进一步简化的目的。,（重叠律）,、利用公式,例：,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,一、卡诺图表示法、表示最小项的卡诺图,、定义将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻的排列，所得到的

31、图形成为n变量最小项的卡诺图。,一、卡诺图表示法、表示最小项的卡诺图,、卡诺图画法、二变量卡诺图,每个最小项有2个最小项与它相邻,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,一、卡诺图表示法、表示最小项的卡诺图,、卡诺图画法、三变量卡诺图,每个最小项有三个最小项与它相邻,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,、卡诺图画法、四变量卡诺图,一、卡诺图表示法、表示最小项的卡诺图,每个最小项有4个最小项与它相邻,最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的,最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,、卡诺图画法、五变量卡诺图,注

32、意：中心轴对称两边的最小项也是相邻项。,一、卡诺图表示法、表示最小项的卡诺图,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,一、卡诺图表示法2、用卡诺图表示的逻辑函数(1)、由逻辑函数画出卡诺图,1、根据标准与或式画卡诺图方法：、将逻辑函数化成最小项之和形式；、在卡诺图上，对应于函数式中最小项的位置填1，其余位置填0。,即任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入1的那些最小项之和。,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,例：画Y=A+BC的卡诺图。解：最小项之和形式为：,卡诺图为：,卡诺图为：,解：最小项之和形式为：,m1,m4,m6,m15,m8,m9,m11,m10,一、卡诺图表

33、示法2、用卡诺图表示的逻辑函数(1)、由逻辑函数画出卡诺图,2、由一般逻辑式直接画卡诺图因为将逻辑式转化为标准与或式时，要乘未出现变量的互补律，因此，不转化而直接画在卡诺图上即可。,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,卡诺图为：（填0处可省略）,例：画Y=ABCCD+BD的卡诺图。,先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,BD项少A、C，则在B=1，D=1，A、C=0、1处都填1。,ABC项少D，则在A=0，B=1，C=0，D=0、1处都填1；

34、,CD项少A、B，则在C=0，D=1，A、B=0、1处都填1；,分项看：,解：这是四变量逻辑函数，画四变量卡诺图。,变换为与或表达式,公因子为,公因子为,说明：如果求得了函数的反函数，则对中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入0，其余方格内填入1。,一、卡诺图表示法,2、用卡诺图表示的逻辑函数,(2)、由卡诺图写出逻辑函数,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,例：,卡诺图为：,则可写出原函数表达式为：(由1组成的项),反函数表达式为：(由0组成的项),二、用卡诺图化简逻辑函数、化简的依据,A+AB=A,因为卡诺图上下左右任意相邻的两格之间，只改变一个变量，因此，当两个相邻项为

35、“”时，可合并为一项。其依据是基本公式：,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,二、用卡诺图化简逻辑函数、合并最小项的规则、消去变量个数规则,、圈相邻两个“”，可消去改变值的一个变量；、圈相邻四个“”，可消去改变值的两个变量；、圈相邻八个“”，可消去改变值的三个变量；、圈相邻n个“”，可消去改变值的n个变量；,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,例：圈相邻两个“”,可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。,例：圈相邻四个“”。,B,例：圈相邻八个“”。,二、用卡诺图化简逻辑函数、合并最小项的规则、画圈的规则,、先圈大，后圈小，即先圈八格，后圈四

36、格、二格保证所得乘积项数目最少且每个乘积项包含的因子最少；、必须是相邻方格的“”，才能圈起来；、允许方格重叠被圈(A+A=A)，但每个圈内必须有一个以上（含）的“”未被其它圈圈过；、没有相邻项的“”，要单独圈出。、不能漏掉任何一个标“1”的方格。,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,二、用卡诺图化简逻辑函数、合并最小项的规则、求反函数与求原函数的区别,求原函数时圈的是“”，求反函数时圈的是“”。其消去变量个数和画圈的规律都相同。,化简时，圈“1”还是圈“0”，根据需要，哪个简单，采用哪个。（当0的数目远小于1的数目，或要将函数化为最简的与或非式，或要求Y的化简结果）,2.6逻辑函数

37、的化简方法2.6.3卡诺图化简法,得反函数为：,则原函数为：,返回,小结：相邻最小项的数目必须为偶数个，才能合并为一项，并消去变量。包含的最小项数目越多，即由这些最小项所形成的圈越大，消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达式就越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。,二、用卡诺图化简逻辑函数3、卡诺图化简举例、化简函数为最简“与或”式,步骤：,根据逻辑函数式画卡诺图；,合并最小项；,化成最简与或表达式；,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,二、用卡诺图化简逻辑函数3、卡诺图化简举例、化简函数为最简“与或”式,、化简函数式,化简后得：,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺

38、图化简法,二、用卡诺图化简逻辑函数3、卡诺图化简举例、化简函数为最简“与或”式,化简后得：,、化简函数式,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,二、用卡诺图化简逻辑函数3、卡诺图化简举例、化简函数为最简“与或”式（圈“”）,化简后得：,、化简函数式,或,显然化简结果不是唯一的，圈法不同，其结果也就不同。,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,二、用卡诺图化简逻辑函数3、卡诺图化简举例、化简函数为最简“与或非”式（圈“”）化简函数式,化简后得：,反函数最简“与或”表达式为：,原函数最简“与或非”表达式为：,2.6逻辑函数的化简方法2.6.3卡诺图化简法,两点说明：,在有些情况

39、下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。,不是最简,最简,在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。,1,1,1,00011110,00011110,1,1,1,1,1,2.6逻辑函数的化简方法2.6.4具有无关项的逻辑函数及其化简,一、约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项、约束、约束条件和约束项、约束,定义：对输入变量取值所加的限制称为约束，同时把这一组变量称为具有约束的一组变量。,例：,电动机A=1表示电动机正转，B=1表示电动机反转，C=1表示电动机停止。则：A=1时，必须

40、B=0、C=0B=1时，必须A=0、C=0C=1时，必须A=0、B=0,表示正转、反转和停止工作状态的逻辑函数可写成,电动机任何时候只能执行且必须执行其中的一个指令，所以不允许两个或两个以上的变量同时为1，ABC的取值不能是000、011、101、110、111中的任何一种。即逻辑变量A、B、C之间互相制约，取值有限制，这就是约束。,例：,四叉路口的交通灯A=1表示绿灯亮，B=1表示黄灯亮，C=1表示红灯亮。则：A=1时，必须B=0、C=0B=1时，必须A=0、C=0C=1时，必须A=0、B=0即逻辑变量A、B、C之间互相制约，取值有限制，这就是约束。,一、约束项、任意项和逻辑函数的无关项、约束、约束条件和约束项、约束条件,定义：用与描述约束的具体内容，称为约束条件。,2.6逻辑函数的化简方法2.6.4具有无关项的逻辑函数及其化简,电动机A=1表示电动机正转，B=1