空间几何体的表面积与体积

1、空,间,几,何,体,第,一,章,本章内容,1.1空间几何体的结构,1.2空间几何体的三视图和直观图,1.3空间几何体的表面积与体积,第一章小结,1.3,空间几何体,表面积与体积,的,1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积,1.3.2球的体积和表面积,柱体、锥体、台体,1.3.1,的表面积与体积,返回目录,1.棱柱、棱锥、棱台的表面积怎样计算?,2.圆柱、圆锥、圆台的表面积怎样计算?,3.柱体、锥体、台体的体积怎样计算?,4.组合体的体积怎样计算?,1.柱体、锥体、台体的表面积,问题1.同学们还记得正方体和长方体的表面积怎样求吗?棱柱、棱锥、棱台的表面是由一些什么样的平面图形组成?圆柱、圆锥、

2、圆台呢?你能计算它们的表面积吗?,棱柱、棱锥、棱台的表面是由底面、侧面的各个多边形组成,各多边形的面积之和即为它们的表面积.,1.柱体、锥体、台体的表面积,问题1.同学们还记得正方体和长方体的表面积怎样求吗?棱柱、棱锥、棱台的表面是由一些什么样的平面图形组成?圆柱、圆锥、圆台呢?你能计算它们的表面积吗?,圆柱、圆锥、圆台的表面是由底面圆和侧面组成.,将侧面展开成平面,就能求侧面积.,例1.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,求它的表面积.,D,解:,这四面体的表面是由4个全等,的等边三角形组成,所以它的表面积S=4SSBC,在SBC中,边长为a,SD为BC边上的高.,则SD=,

3、于是得SSBC=,所以,这个四面体的表面积为,问题2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开成平面后各是什么图形?这些图形的面积你会计算吗?,S圆柱侧=,S圆锥侧=,S圆台侧=,2prh.,=prl.,=pl(r+r).,(变态梯形),底面圆周长,c:,变态三角形,例2.如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm,为了美化花盆外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(p取3.14,结果精确到1毫升,可用计算器)?,解:,因为花盆的盆口是空的,所以外观表面积是侧面积加盆底,面积,再减去渗水孔的面积.,S=S

4、侧+S底-S小孔,999.1(cm2),答:大约需要1000毫升油漆.,=0.09991(m2),1000.09991100999.1(毫升).,练习:(课本27页),第1、2题.,练习:(补充),练习:(补充),解:,此棱台的表面由上底、下底,和侧面的4个梯形组成,它的表面,积为:,S=S上底+S下底+4S梯形,=392(cm2),即这个棱台的表面积为392平方厘米.,解:,设圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为侧面展开图是一个半圆,所以有,2pr=pl,得l=2r,又由表面积得,解得,则直径2r=,答:这个圆锥的底面直径是,解:,这个零件的表面积为,S=S棱柱表+S圆柱侧,1579.485

5、(mm2),10000个零件的表面积约为15794850mm2,约合15.795平方米.,0.1115.7951.737(kg),答:电镀10000个零件约需要锌1.74千克.,2.柱体、锥体与台体的体积,问题1.还记得正方体、长方体、圆柱和圆锥的体积公式吗?由此类推柱体和锥体的体积公式如何?你想想台体的体积怎样求?,柱体体积:,V柱=Sh(S为底面面积,h为柱体高).,锥体体积:,(S为底面面积,h为柱体高).,台体体积:,V台=V大锥体-V小锥体,S为上底面积,(S为下底面积,h为台高).,例3.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边形,

6、边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个(p取3.14)?,解:,每一个螺帽的体积为,V=V棱柱-V圆柱,2956(mm3),=2.956(cm3),7.82.956=23.0568(g),=0.0230568(kg),5.80.0230568252(个).,答:这堆螺帽大约有252个.,习题1.3,A组,第3题.,【练习】,解:,设长方体的长、宽、高分别,为a、b、c,a,b,c,则长方体的体积为,V长方体=abc,三棱锥看成如图的S-ABC,则体积为,S,A,B,C,棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为,【课时小结】,1.棱柱、棱锥、棱台的表面积,各个面多边

7、形的面积之和.,2.圆柱、圆锥、圆台的表面积,底面积加侧面积.,底面积:S底=pr2.,圆柱侧面积:S柱侧=2prh.,圆锥侧面积:S锥侧=prl.,圆台侧面积:S台侧=pl(r+r).,【课时小结】,柱体体积:V柱=Sh.,锥体体积:,台体体积:,3.柱体、锥体、台体体积,习题1.3,A组,第1、2、4、5、6题.,习题1.3,1.五棱台的上、下底面均是正五边形,边长分别是8cm和18cm,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长是13cm,求它的侧面面积.,解:,所求侧面面积是5个等腰梯形之和,一个梯形的高为,=12,S侧=,=780(cm2),答:这个五棱台的侧面积是780平方厘米.,A组,2.已知

8、圆台的上下底面半径分别是r、R,且侧面面积等于两底面积之和,求圆台的母线长.,解:,由已知得,pl(R+r)=p(R2+r2),解得,即圆台的母线长为,解:,如图中盛有水部分,是一个四棱柱,其高为AA1=8,底面积是,ABC面积的,则水的体积为,=6SABC,当底面ABC水平方置时,V水=hSABC,=6SABC,得h=6.,答:液面高为6个单位.,5.如图是一个烟筒的直观图(单位:cm),它的下部是一个四棱台(上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形)形物体;上部是一个四棱柱(底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形)形物体,为防止雨水的侵蚀,增加美观,需要粘贴瓷砖,需要瓷砖多少平方厘米

9、(结果精确到1cm2)?,解:,此问题是求棱台和棱柱的侧面积之和.,棱台侧面的梯形高为,S=S台侧+S柱侧,14359(cm2).,(答略),6.我国铁路路基是用碎石铺设的(如图),请你查询北京到上海的铁路长度,并估计所用碎石方数(结果精确到1m3).,资料:,京沪铁路全长1462km,京沪高铁全长1318km.,解:,按普铁计算,=1260150(m3),答:估计需要1260150方碎石.,1.3.2,球的体积,和表面积,返回目录,1.球的体积公式是怎样的?是用什么方法得到的?,2.球的表面积公式是怎样的?是用什么方法得到的?,问题1.球的体积能像柱体和锥体那样求得吗?将一个西瓜切成很薄的一

10、些片,每片可以近似地看作一个什么几何体?由此请你想一想,用什么样的方法求得球的体积?,1.球的体积,将球体如图切片:,抽出其中的一片,这圆片近似于一个圆柱,根据圆柱的体积公式即可求圆片的体积,各圆片的体积之和即为球的体积.,已知球的半径为R,取半球(如图).,将半球均匀地切成n片,各片体积分别为,V1,V2,V3,Vn,则V球=2V半球.,从下到上第k片的下底半径为,每片近似地看成一个圆柱,则第k片的体积为,则V球=2(V1+V2+Vn).,V球=,rk,2pR3,当半球切得的片数无限多,各片体积越精确,即n无限大时,例(补充).某街心花园有许多钢球(钢的密度是7.9g/cm3).每个钢球重1

11、45kg,并且外径等于50cm,试根据以上数据,判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的,请你计算出它的内径(p取3.14,结果精确到1cm).,解:,按外径求出钢球的体积为,65449.847(cm3),如果是实心球,则球重应为,7.965449.847517053.791(g),517.054(kg),145kg,球是空心的.,设内径为r,则,解得r22.4(cm),答:这个球是空心球,它的内径约为44.8cm.,2r44.8(cm).,已知球O1、球O2、球O3的体积比为1:8:27,求它们的半径比.,解:,由题意得V1:V2:V3=1:8:27,得R13:R23:R33=1:8:27,

12、R1:R2:R3=1:2:3,即球O1、球O2、球O3的半径之比为1:2:3.,练习:(补充),2.球的表面积,问题2.在求球的体积时,我们用切片的方法将球分割成很多个近似圆柱.从中你能否得到启示,怎样将球的表面分割成某平面图形,以求球的表面积?,如图,将球表面进行经纬网状,将每小片的四顶点与球心连结,截割出n个近似棱锥.,其底面积为分别为S1、S2、,分割成n小片,Sn,高近似为R.,则球体积,例4如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:(1)球的体积等于圆柱体积的(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.,证明:,(1),V柱=pR22R,=2pR3.,即球的体积等于圆柱体积的,例4如图,圆

13、柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:(1)球的体积等于圆柱体积的(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.,证明:,(2),S球面=4pR2,S柱侧=2pR2R,=4pR2,即球的表面积等于圆柱的侧面积.,S球面=S柱侧.,练习:(课本28页),第1、2、3题.,1.将一个气球的半径扩大1倍,它的体积增大到原来的几倍?,解:,设原来气球的半径为R,则扩大后的半径,为2R,所以原来气球的体积为,扩大后气球的体积为,答:气球扩大后的体积增大到原来的8倍.,练习:(课本30页),2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是acm,求球的体积.,解:,如图,由正方体与球的对称性,正方体的对角线长就是球的直径.

14、,正方体的棱长为acm,球的半径R=,则球的体积为,3.一个球的体积是100cm3,试计算它的表面积(p取3.14,结果精确到1cm2).,解:,由解得,R2.879(cm),则球的表面积为,S=4pR2,104(cm2).,答:这个球的表面积约为104平方厘米.,【课时小结】,1.球的体积,2.球的表面积,S表球面=4pR2.,习题1.3,B组,第1、2、3题.,习题1.3,B组,1.如图是一个奖杯的三视图,试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积(尺寸如图,单位:cm,p取3.14,结果精确到1cm3).,解:,这个奖杯由球、,四棱柱、四棱台组成.,S=S台全+S柱侧+S球表面,表面积:,棱

15、台侧面梯形的高为,+(8+4)220,+4p22,1197(cm2).,习题1.3,B组,1.如图是一个奖杯的三视图,试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积(尺寸如图,单位:cm,p取3.14,结果精确到1cm3).,解:,这个奖杯由球、,四棱柱、四棱台组成.,V=V台+V柱+V球,体积:,+4820,1067(cm3).,(答略),2.已知三棱柱ABC-ABC的侧面均是矩形,求证:它的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.,证明:,设AB=a,BC=b,a,b,c,CA=c,AA=h,SABBA+SACCA=,h,ah+ch,=h(a+c),SBCCB=bh,a+cb,h(a+c)bh,

16、即SABBA+SACCASBCCB.,SBCCB+SACCASABBA.,任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.,如图,3.分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,画出它们的三视图和直观图,并探讨它们体积之间的关系.,解:,先画出直观图如下:,(1)以AB为轴:,(2)以BC为轴:,(3)以AC为轴:,3.分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,画出它们的三视图和直观图,并探讨它们体积之间的关系.,解:,三视图如下:,(1)以AB为轴:,正视图,侧视图,俯视图,3.分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,画出它们的三视图和直观图,并探讨它们体积之间的关系.,解:,三视图如下:,(2)以BC