高斯消元法解线性方程组.ppt

1、A,1,3.4 高斯消元法解线性方程组,一、线性方程组的矩阵表示,二、用高斯消元法求解线性方程组,三、小结,A,2,在第1章的1.4节，我们学习过用Gramer法则解形如,的线性方程组，也讨论过齐次线性方程组,的求解问题.,A,3,事实上,方程组,与之对应的齐次线性方程组,都可以用矩阵形式表示为:,为n阶系数矩阵,为未知数矩阵,为常数矩阵,A,4,1、非齐次线性方程组,当,时，方程组（1）有唯一解；,当,2、对于齐次线性方程组,当,时，方程组（2）解唯一：只有零解；,当,时，方程组（2）有无穷多解，有非零解；,以上由克兰姆法则得到的结论都是针对n阶线性方程组来说的，而对于未知量个数与方程个数不

2、相等的线性方程组，我们用高斯消元法来讨论,方程组（1）无解或有无穷多解,它是必然有解的。,线性方程组解的情况如下：,A,5,线性方程组的 一般形式：,矩阵表示：,其中,请注意它们的行数、列数,3.4 高斯消元法解线性方程组,一、线性方程组的矩阵表示,A,6,对应的齐次线性方程组：,矩阵表示形式：,其中,A,7,二、用高斯消元法求解线性方程组,下面通过例题，来学习一般线性方程组的解法，这种方法，常称为高斯消元法.此消元法 中方程组的消元步骤对应矩阵的初等,行变换。,A,8,解：,A,9,A,10,所以原方程组有唯一的一组解：,A,11,解,例1 用消元法解齐次线性方程组,A,12,其中,是自由未

3、知量,A,13,例2 用消元法解线性方程组,解 将系数矩阵与常数列矩阵排在一起,称为线性方程组的增广矩阵,记为:,高斯消元法解线性方程组,实际就是对增广矩阵作 初等行变换.下面我们来一步步解这个方程组。,A,14,解:,A,15,再把得到的最后的矩阵写成方程组形式, 得,这时,未知量,是可以任意取值的,称为自由未知量,所以得方程组的解为：,在求出方程组的解后,要注明自由未知量. 自由未 知量的取法是不一唯的,但它的个数是确定的。 （即未知量的个数实际方程个数）,A,16,上面解题中，最简形阶梯矩阵,单位阵,阶梯,下面给出一个更为形象的最简形阶梯矩阵,单位阵,A,17,补例 求解非齐次线性方程组

4、,解,对增广矩阵 进行初等行变换：,此时，可以得到方程组无解的结论,（从第三行发现到一个问题）,A,18,三、小结,通过上面两个例题，可归纳出解线性方程组 高斯消元法的一般步骤：,(1)将线性方程组的增广矩阵，通过初等行变换 化为行最简阶梯矩阵；,（2）将最简阶梯矩阵还原成线性方程组，求出方 程组的一般解，标出自由未知量；,（3）取自由未知量为任意常数字母，写出方程组 的全部解，指出常数字母的任意性.,A,19,高斯(Garl Friederich Gauss，17771855),高斯生于德国的布伦兹维克，他是近代数学伟大的奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列.,高斯很小就显示出了他的数学才能,小时候,其 父并不想让他上学,由于看父亲算账,指出错误,之处,才被其父送入小学读书,当时是班里最小的学生.但成绩很,出色。1796年高斯发现正十七边形的尺规作图法，这是从欧几,1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世。,他