《1.4 数学归纳法》课件.ppt

1、第一章,1.4 数学归纳法课件,1了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证明命题的步骤与格式 2能够利用数学归纳法证明代数恒等式和不等式 3能够利用数学归纳法解决整除性问题和几何中的计算问题 本节重点：数学归纳法证明命题的步骤与格式 本节难点：数学归纳法第二步证明中使用归纳假设,1数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法它的基本步骤是： (1)验证：_时，命题成立； (2)在_的前提下，推出_时，命题成立 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立,n1,假设当nk(k1)时命题成立,当nk1,2归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结

2、论后，还需给出严格证明在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与_的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤_,正整数n有关,缺一不可,1用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2当证明从k到k1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对nk1成立时，必须运用命题对nk成立的归纳假设步骤二中，在由k到k1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论关键是明确nk1时证明的目标，充分考虑由nk到nk1时命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、

3、综合法、放缩法等来证明当nk1时命题也成立，这也是证题的常用方法,3用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确 4要注意“观察归纳猜想证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力,5数学归纳法与归纳推理不同(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性结果不一定正确，需要进行严格的证明(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确,6在学习和使用数学归纳法时，需要

4、特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n都成立；,(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题,证明等式,点评 在推证“nk1”命题

5、也成立时，必须把“归纳假设”nk时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法,证明不等式,(2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤：第步p(n0)成立是推理的基础，第步由p(k)p(k1)是推理的依据(即n0成立，则n01成立，n02成立，从而断定命题对所有的自然数均成立)另一方面，第步中，验证nn0中的n0未必是1，根据题目要求，有时可为2，3等；第步中，证明nk1时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上上述归纳假设 .,分析 按照数学归纳法的步骤证明，由nk到nk1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化,证明整除问题,证明 (1)当n1时，353243911

6、723是17的倍数 假设352k123k117m(m是整数)， 则352(k1)123(k1)1352k1223k13 352k12523k18 (352k123k1)817352k1 817m31752k1 17(8m352k1)， m、k都是整数，17(8m352k1)能被17整除， 即nk1时，352n123n1是17的倍数,(2)令f(n)(3n1)7n1 f(1)47127能被9整除 假设f(k)能被9整除(kN*)， f(k1)f(k)(3k4)7k1(3k1)7k7k(18k27)97k(2k3)能被9整除， f(k1)能被9整除 由可知，对任意正整数n，f(n)都能被9整除,点

7、评 用数学归纳法证明整除问题，当nk1时，应先构造出归纳假设的条件，再进行插项、补项等变形整理，即可得证,(2014南京一模)已知数列an满足a10，a21，当nN时，an2an1an.求证：数列an的第4m1项(mN)能被3整除 证明 (1)当m1时，a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303. 即当m1时，第4m1项能被3整除故命题成立,(2)假设当mk时，a4k1能被3整除，则当mk1时， a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k2 2(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1. 显然，3a4k2能被3整除，又由假设知a4k1

8、能被3整除 3a4k22a4k1能被3整除 即当mk1时，a4(k1)1也能被3整除命题也成立 由(1)和(2)知，对于nN，数列an中的第4m1项能被3整除,几何问题,分析 用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当nk1时比nk时，分点增加了多少，区域增加了几块本题中第k1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就容易得到解决,解析 当n1时，一个圆把平面分成两部分，12122，命题成立 假设当nk时命题成立(kN*)，k个圆把平面分成k2k2个部分当nk1时，这k1个圆中的k个圆把平面分成k2k2个部分，第k1个圆被前k个圆分成2k

9、条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k1个圆把平面分成( k2k2)2k(k1)2(k1)2个部分，即命题也成立由、可知，对任意nN*命题都成立,点评 利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从nk到nk1时，新增加量是多少一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k1个中分出1个来，剩下的k个利用假设,点评 关于几何题的证明，应分清k到k1的变化情况，建立k的递推关系,归纳猜想证明,误解 假设nk时，结论成立，即242kk2k1，那242k2(k1)k2k12(k1)(k1)2(k1)1. 即当nk1

10、时，等式也成立 因此，对大于0的自然数n，242nn2n1都成立,误解 假设nk时，结论成立，即242kk2k1，那242k2(k1)k2k12(k1)(k1)2(k1)1. 即当nk1时，等式也成立 因此，对大于0的自然数n，242nn2n1都成立,正解 不成立当n1时，左边2，右边12113，左边右边，所以不成立 点评 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的特别是步骤(1)，往往十分简单，但却是不可忽视的步骤本题中，虽然已经证明了：如果nk时等式成立，那么nk1时等式也成立但是如果仅根据这一步就得出等式对任何nN都成立的结论，那就错了事实上，当n1时，上式左边2，右边12113，左边右

11、边而且等式对任何n都不成立这说明如果缺少步骤(1)这个基础，步骤(2)就没有意义了,答案 D,解析 当n1时，上式可化为abab11； 当n2时，上式可化为ab2(ab)16. 由可得ab5，ab6，验证可知只有选项D适合,3(2014揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开( ) A(k3)3 B(k2)3 C(k1)3 D(k1)3(k2)3 答案 A 解析 因为从nk到nk1的过渡，增加了(k1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k3)3展开，证明余下的项9k227k27能被9整除,二、填空题 4n为正奇数，求证：xnyn能被xy整除，当第二步假设